Evolución del tiempo

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La evolución temporal es el cambio de estado que se produce con el paso del tiempo , aplicable a sistemas con estado interno (también llamados sistemas con estado ). En esta formulación, no se requiere que el tiempo sea un parámetro continuo, sino que puede ser discreto o incluso finito. En física clásica , la evolución temporal de una colección de cuerpos rígidos se rige por los principios de la mecánica clásica . En su forma más rudimentaria, estos principios expresan la relación entre las fuerzas que actúan sobre los cuerpos y su aceleración dada por las leyes de movimiento de Newton . Estos principios pueden expresarse de manera equivalente de forma más abstracta mediante la mecánica hamiltoniana o la mecánica lagrangiana .

El concepto de evolución temporal también puede aplicarse a otros sistemas con estado. Por ejemplo, el funcionamiento de una máquina de Turing puede considerarse como la evolución temporal del estado de control de la máquina junto con el estado de la cinta (o posiblemente de varias cintas), incluida la posición del cabezal (o cabezales) de lectura y escritura de la máquina. En este caso, el tiempo se considera como pasos discretos.

Los sistemas con estado suelen tener descripciones duales en términos de estados o en términos de valores observables . En tales sistemas, la evolución temporal también puede referirse al cambio en los valores observables. Esto es particularmente relevante en la mecánica cuántica , donde la imagen de Schrödinger y la imagen de Heisenberg son (en su mayoría) ^{[ aclaración necesaria ]} descripciones equivalentes de la evolución temporal.

Consideremos un sistema con un espacio de estados X para el cual la evolución es determinista y reversible . Para ser más concretos, supongamos también que el tiempo es un parámetro que abarca el conjunto de números reales R. Entonces, la evolución temporal viene dada por una familia de transformaciones de estados biyectivas .

${\displaystyle (\operatorname {F} _{t,s}\colon X\rightarrow X)_{s,t\in \mathbb {R} }}$.

F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el instante t , cuyo estado en el instante s es x . Se cumple la siguiente identidad

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x).}$

Para ver por qué esto es cierto, supongamos que x ∈ X es el estado en el tiempo s . Entonces, por la definición de F, F _{t , s} ( x ) es el estado del sistema en el tiempo t y, en consecuencia, aplicando la definición una vez más, F _{u , t} (F _{t , s} ( x )) es el estado en el tiempo u . Pero esto también es F _{u , s} ( x ).

En algunos contextos de la física matemática, las aplicaciones F _{t , s} se denominan operadores de propagación o simplemente propagadores . En la mecánica clásica , los propagadores son funciones que operan en el espacio de fases de un sistema físico. En la mecánica cuántica , los propagadores suelen ser operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Los propagadores se pueden expresar como exponenciales ordenadas en el tiempo del hamiltoniano integrado. Las propiedades asintóticas de la evolución temporal están dadas por la matriz de dispersión . ^[1]

Un espacio de estados con un propagador distinguido también se denomina sistema dinámico .

Decir que la evolución del tiempo es homogénea significa que

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}=\operatorname {F} _{u-t,0}}$Para todos .${\displaystyle u,t\in \mathbb {R} }$

En el caso de un sistema homogéneo, las aplicaciones G _t = F _{t ,0 forman un} grupo uniparamétrico de transformaciones de X , es decir

${\displaystyle \operatorname {G} _{t+s}=\operatorname {G} _{t}\operatorname {G} _{s}.}$

Para sistemas no reversibles, los operadores de propagación F _{t , s} se definen siempre que t ≥ s y satisfacen la identidad de propagación

${\displaystyle \operatorname {F} _{u,t}(\operatorname {F} _{t,s}(x))=\operatorname {F} _{u,s}(x)}$Para cualquier .${\displaystyle u\geq t\geq s}$

En el caso homogéneo los propagadores son exponenciales del hamiltoniano.

En la imagen de Schrödinger , el operador hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en el momento , entonces${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Esta es la ecuación de Schrödinger . Dado el estado en un tiempo inicial ( ), si es independiente del tiempo, entonces el operador de evolución temporal unitario es el operador exponencial como se muestra en la ecuación${\displaystyle t=0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =U(t)\left|\psi (0)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

• Flecha del tiempo
• Simetría de traslación temporal
• Sistema hamiltoniano
• Propagador
• Operador de evolución temporal
• Hamiltoniano (teoría del control)

• Amann, H.; Arendt, W.; Neubrander, F.; Nicaise, S.; von Below, J. (2008), Amann, Herbert; Arendt, Wolfgang; Hieber, Matías; Neubrander, Frank M; Nicaise, Serge; von Below, Joachim (eds.), Análisis funcional y ecuaciones de evolución: el volumen de Günter Lumer, Basilea: Birkhäuser, doi :10.1007/978-3-7643-7794-6, ISBN 978-3-7643-7793-9, Sr.  2402015.
• Jerome, JW; Polizzi, E. (2014), "Discretización de sistemas cuánticos dependientes del tiempo: propagación en tiempo real del operador de evolución", Applicable Analysis , 93 (12): 2574–2597, arXiv : 1309.3587 , doi :10.1080/00036811.2013.878863, S2CID  17905545.
• Lanford, OE (1975), "Evolución temporal de grandes sistemas clásicos", en Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, vol. 38, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 1–111, doi :10.1007/3-540-07171-7_1, ISBN 978-3-540-37505-0.
• Lanford, OE; Lebowitz, JL (1975), "Evolución temporal y propiedades ergódicas de sistemas armónicos", en Moser J. (ed.), Dynamical Systems, Theory and Applications , Lecture Notes in Physics, vol. 38, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 144–177, doi :10.1007/3-540-07171-7_3, ISBN 978-3-540-37505-0.

• Lumer, Günter (1994), "Ecuaciones de evolución. Soluciones para problemas de evolución irregular mediante soluciones generalizadas y valores iniciales generalizados. Aplicaciones a modelos de choques periódicos", Annales Universitatis Saraviensis , Series Mathematicae, 5 (1), MR  1286099.