Curvatura media
Medida de geometría diferencial

En matemáticas , la curvatura media de una superficie es una medida extrínseca de curvatura que proviene de la geometría diferencial y que describe localmente la curvatura de una superficie incrustada en algún espacio ambiental como el espacio euclidiano . yo {\estilo de visualización H} S {\estilo de visualización S}

El concepto fue utilizado por Sophie Germain en su trabajo sobre la teoría de la elasticidad . [1] [2] Jean Baptiste Marie Meusnier lo utilizó en 1776, en sus estudios de superficies mínimas . Es importante en el análisis de superficies mínimas , que tienen una curvatura media cero, y en el análisis de interfaces físicas entre fluidos (como películas de jabón ) que, por ejemplo, tienen una curvatura media constante en flujos estáticos, mediante la ecuación de Young-Laplace .

Definición

Sea un punto en la superficie dentro del espacio euclidiano tridimensional R 3 . Cada plano que pasa por contiene la línea normal a corta en una curva (plana). Fijar una elección de normal unitaria da una curvatura con signo a esa curva. A medida que el plano se rota un ángulo (que siempre contiene la línea normal), esa curvatura puede variar. La curvatura máxima y la curvatura mínima se conocen como las curvaturas principales de . pag {\estilo de visualización p} S {\estilo de visualización S} pag {\estilo de visualización p} S {\estilo de visualización S} S {\estilo de visualización S} θ {\estilo de visualización \theta} k 1 estilo de visualización kappa _{1} k 2 estilo de visualización kappa _{2} S {\estilo de visualización S}

La curvatura media en es entonces el promedio de la curvatura firmada en todos los ángulos : pag ∈ S {\displaystyle p\en S} θ {\estilo de visualización \theta}

yo = 1 2 π ∫ 0 2 π k ( θ ) d θ {\displaystyle H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta } .

Aplicando el teorema de Euler , esto es igual al promedio de las curvaturas principales (Spivak 1999, Volumen 3, Capítulo 2):

yo = 1 2 ( k 1 + k 2 ) . {\displaystyle H={1 \sobre 2}(\kappa _ {1}+\kappa _ {2}).}

De manera más general (Spivak 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie la curvatura media se da como yo {\estilo de visualización T}

yo = 1 norte ∑ i = 1 norte k i . {\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}

De manera más abstracta, la curvatura media es la traza de la segunda forma fundamental dividida por n (o equivalentemente, el operador de forma ).

Además, la curvatura media puede escribirse en términos de la derivada covariante como yo {\estilo de visualización H} ∇ {\displaystyle \nabla}

yo norte → = gramo i yo ∇ i ∇ yo incógnita , {\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _ {i}\nabla _ {j}X,}

utilizando las relaciones de Gauss-Weingarten, donde es una hipersuperficie suavemente incrustada, un vector normal unitario y el tensor métrico . incógnita ( incógnita ) {\estilo de visualización X(x)} norte → {\displaystyle {\vec {n}}} gramo i yo estilo de visualización g_ {ij}}

Una superficie es mínima si y solo si la curvatura media es cero. Además, se dice que una superficie que evoluciona bajo la curvatura media de la superficie obedece a una ecuación de tipo calor llamada ecuación de flujo de curvatura media . S {\estilo de visualización S}

La esfera es la única superficie embebida de curvatura media positiva constante sin límites ni singularidades. Sin embargo, el resultado no es cierto cuando la condición "superficie embebida" se debilita a "superficie sumergida". [3]

Superficies en el espacio 3D

Para una superficie definida en el espacio 3D, la curvatura media está relacionada con una unidad normal de la superficie:

2 yo = − ∇ ⋅ norte ^ {\displaystyle 2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}}

donde la normal elegida afecta el signo de la curvatura. El signo de la curvatura depende de la normal elegida: la curvatura es positiva si la superficie se curva "hacia" la normal. La fórmula anterior es válida para superficies en el espacio 3D definidas de cualquier manera, siempre que se pueda calcular la divergencia de la normal unitaria. La curvatura media también se puede calcular

2 yo = Rastro ( ( I I ) ( I − 1 ) ) {\displaystyle 2H={\text{Traza}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))}

donde I y II denotan matrices de forma cuadrática primera y segunda, respectivamente.

Si es una parametrización de la superficie y son dos vectores linealmente independientes en el espacio de parámetros, entonces la curvatura media se puede escribir en términos de la primera y segunda formas fundamentales como donde , , , , , . [4] S ( incógnita , y ) {\displaystyle S(x,y)} tú , en {\estilo de visualización u,v} yo GRAMO − 2 metro F + norte mi 2 ( mi GRAMO − F 2 ) {\displaystyle {\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}} mi = I ( tú , tú ) {\displaystyle E=\mathrm {I} (u,u)} F = I ( tú , en ) {\displaystyle F=\mathrm {I} (u,v)} GRAMO = I ( en , en ) {\displaystyle G=\mathrm {I} (v,v)} yo = I I ( tú , tú ) {\displaystyle l=\mathrm {II} (u,u)} metro = I I ( tú , en ) {\displaystyle m=\mathrm {II} (u,v)} norte = I I ( en , en ) {\displaystyle n=\mathrm {II} (v,v)}

Para el caso especial de una superficie definida como función de dos coordenadas, p. ej. , y utilizando la normal que apunta hacia arriba, la expresión de curvatura media (duplicada) es el = S ( incógnita , y ) {\displaystyle z=S(x,y)}

2 yo = − ∇ ⋅ ( ∇ ( el − S ) | ∇ ( el − S ) | ) = ∇ ⋅ ( ∇ S − ∇ el 1 + | ∇ S | 2 ) = ( 1 + ( ∂ S ∂ incógnita ) 2 ) ∂ 2 S ∂ y 2 − 2 ∂ S ∂ incógnita ∂ S ∂ y ∂ 2 S ∂ incógnita ∂ y + ( 1 + ( ∂ S ∂ y ) 2 ) ∂ 2 S ∂ incógnita 2 ( 1 + ( ∂ S ∂ incógnita ) 2 + ( ∂ S ∂ y ) 2 ) 3 / 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}

En particular, en un punto donde , la curvatura media es la mitad de la traza de la matriz hessiana de . ∇ S = 0 {\displaystyle \nabla S=0} S {\displaystyle S}

Si además se sabe que la superficie es axisimétrica con , z = S ( r ) {\displaystyle z=S(r)}

2 H = ∂ 2 S ∂ r 2 ( 1 + ( ∂ S ∂ r ) 2 ) 3 / 2 + ∂ S ∂ r 1 r ( 1 + ( ∂ S ∂ r ) 2 ) 1 / 2 , {\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},}

donde viene de la derivada de . ∂ S ∂ r 1 r {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}} z = S ( r ) = S ( x 2 + y 2 ) {\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}

Forma implícita de curvatura media

La curvatura media de una superficie especificada por una ecuación se puede calcular utilizando el gradiente y la matriz hessiana. F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} ∇ F = ( ∂ F ∂ x , ∂ F ∂ y , ∂ F ∂ z ) {\displaystyle \nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}

Hess ( F ) = ( ∂ 2 F ∂ x 2 ∂ 2 F ∂ x ∂ y ∂ 2 F ∂ x ∂ z ∂ 2 F ∂ y ∂ x ∂ 2 F ∂ y 2 ∂ 2 F ∂ y ∂ z ∂ 2 F ∂ z ∂ x ∂ 2 F ∂ z ∂ y ∂ 2 F ∂ z 2 ) . {\displaystyle \textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.}

La curvatura media viene dada por: [5] [6]

H = ∇ F   Hess ( F )   ∇ F T − | ∇ F | 2 Trace ( Hess ( F ) ) 2 | ∇ F | 3 {\displaystyle H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}}

Otra forma es como la divergencia de la normal unitaria. Una normal unitaria está dada por y la curvatura media es ∇ F | ∇ F | {\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}}

H = − 1 2 ∇ ⋅ ( ∇ F | ∇ F | ) . {\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).}

En mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos se utiliza ocasionalmente una definición alternativa para evitar factores de dos:

H f = ( κ 1 + κ 2 ) {\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,} .

Esto da como resultado que la presión según la ecuación de Young-Laplace dentro de una gota esférica en equilibrio sea la tensión superficial multiplicada por ; las dos curvaturas son iguales al recíproco del radio de la gota. H f {\displaystyle H_{f}}

κ 1 = κ 2 = r − 1 {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,} .

Superficies mínimas

Una representación de la superficie mínima de Costa.

Una superficie mínima es una superficie que tiene una curvatura media cero en todos los puntos. Ejemplos clásicos incluyen la superficie catenoide , la helicoide y la superficie de Enneper . Descubrimientos recientes incluyen la superficie mínima de Costa y la giroide .

Superficies CMC

Una extensión de la idea de superficie mínima son las superficies de curvatura media constante. Las superficies de curvatura media constante unitaria en el espacio hiperbólico se denominan superficies de Bryant . [7]

Véase también

Notas

  1. ^ Marie-Louise Dubreil-Jacotin sobre Sophie Germain Archivado el 23 de febrero de 2008 en Wayback Machine.
  2. ^ Lodder, J. (2003). "Curvatura en el currículo de cálculo". The American Mathematical Monthly . 110 (7): 593–605. doi :10.2307/3647744. JSTOR  3647744.
  3. ^ Wente, Henry C. (1986). "Contraejemplo de una conjetura de H. Hopf". Revista del Pacífico de Matemáticas . 121 (1): 193–243. doi : 10.2140/pjm.1986.121.193 . MR  0815044. Zbl  0586.53003.
  4. ^ Do Carmo, Manfredo (2016). Geometría diferencial de curvas y superficies (segunda edición). Dover. p. 158. ISBN 978-0-486-80699-0.
  5. ^ Goldman, R. (2005). "Fórmulas de curvatura para curvas y superficies implícitas". Diseño geométrico asistido por ordenador . 22 (7): 632–658. doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005.
  6. ^ Spivak, M (1975). Una introducción completa a la geometría diferencial . Vol. 3. Publicar o perecer, Boston.
  7. ^ Rosenberg, Harold (2002), "Superficies Bryant", La teoría global de superficies mínimas en espacios planos (Martina Franca, 1999), Lecture Notes in Math., vol. 1775, Berlín: Springer, págs. 67-111, doi :10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN 978-3-540-43120-6, Sr.  1901614.

Referencias

  • Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (volúmenes 3-4) (3.ª ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volumen 3), (Volumen 4).
  • P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies móviles . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
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