Completando el cuadrado

En álgebra elemental , completar el cuadrado es una técnica para convertir un polinomio cuadrático de la forma ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle hacha^{2}+bx+c}$ a la forma ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a(xh)^{2}+k}$ para algunos valores de ⁠ ⁠${\estilo de visualización h}$ y ⁠ ⁠${\estilo de visualización k}$ . ^[1] En términos de una nueva cantidad ⁠ ⁠${\estilo de visualización xh}$ , esta expresión es un polinomio cuadrático sin término lineal. Al despejar posteriormente ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle (xh)^{2}}$ y sacar la raíz cuadrada , un problema cuadrático se puede reducir a un problema lineal.

El nombre de completar el cuadrado proviene de una imagen geométrica en la que ⁠ ⁠${\estilo de visualización x}$ representa una longitud desconocida. Entonces la cantidad ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ representa el área de un cuadrado de lado ⁠ ⁠${\estilo de visualización x}$ y la cantidad ⁠ ⁠${\displaystyle {\frac {b}{a}}x}$ representa el área de un par de rectángulos congruentes con lados ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . A este cuadrado y par de rectángulos se agrega un cuadrado más, de longitud de lado ⁠ ⁠ . Este paso crucial completa un cuadrado más grande de longitud de lado ⁠ ⁠ .${\estilo de visualización x}$${\displaystyle {\frac {b}{2a}}}$${\displaystyle {\frac {b}{2a}}}$${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}}$

Completar el cuadrado es el método más antiguo para resolver ecuaciones cuadráticas generales , utilizado en tablillas de arcilla de la Antigua Babilonia que datan de 1800-1600 a. C., y todavía se enseña en cursos de álgebra elemental en la actualidad. También se utiliza para graficar funciones cuadráticas , derivar la fórmula cuadrática y, de manera más general, en cálculos que involucran polinomios cuadráticos, por ejemplo, en cálculo que evalúa integrales gaussianas con un término lineal en el exponente, ^[2] y encuentra transformadas de Laplace . ^{[3] [4]}

La técnica de completar el cuadrado era conocida en el Antiguo Imperio Babilónico . ^[5]

Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi , un famoso polímata que escribió el antiguo tratado algebraico Al-Jabr , utilizó la técnica de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. ^[6]

La fórmula en álgebra elemental para calcular el cuadrado de un binomio es:$${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

Por ejemplo:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

En cualquier cuadrado perfecto, el coeficiente de x es el doble del número p , y el término constante es igual a p ² .

Considere el siguiente polinomio cuadrático :$$estilo de visualización x^{2}+10x+28.}$$

Esta cuadrática no es un cuadrado perfecto, ya que 28 no es el cuadrado de 5:$${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

Sin embargo, es posible escribir la ecuación cuadrática original como la suma de este cuadrado y una constante:$${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

A esto se le llama completar el cuadrado .

Dada cualquier cuadrática mónica es posible formar un cuadrado que tenga los mismos dos primeros términos:$${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$$${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

Este cuadrado difiere del cuadrático original solo en el valor del término constante. Por lo tanto, podemos escribir donde . Esta operación se conoce como completar el cuadrado . Por ejemplo:$${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

Dado un polinomio cuadrático de la forma es posible factorizar el coeficiente a y luego completar el cuadrado para el polinomio mónico resultante .$$Estilo de visualización: ax^{2}+bx+c$$

Ejemplo: Este proceso de factorización del coeficiente a se puede simplificar aún más factorizándolo únicamente de los dos primeros términos. No es necesario incluir el número entero al final del polinomio.$${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Ejemplo:$${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Esto permite escribir cualquier polinomio cuadrático en la forma$${\displaystyle a(xh)^{2}+k.}$$

El resultado de completar el cuadrado puede escribirse como una fórmula. En el caso general, se tiene ^[7] con$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(xh)^{2}+k,}$$$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{y}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$$

En particular, cuando a = 1 , se tiene con$${\displaystyle x^{2}+bx+c=(xh)^{2}+k,}$$$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{y}}\quad k=ch^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$$

Resolviendo la ecuación en términos de y reorganizando la expresión resultante , se obtiene la fórmula cuadrática para las raíces de la ecuación cuadrática :${\displaystyle a(xh)^{2}+k=0}$${\estilo de visualización xh,}$$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

El caso de la matriz es muy similar: donde y . Nótese que tiene que ser simétrica .$${\displaystyle x^{\mathrm {T}}Ax+x^{\mathrm {T}}b+c=(xh)^{\mathrm {T}}A(xh)+k}$$${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$${\estilo de visualización A}$

Si no es simétrico las fórmulas para y deben generalizarse a:${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización h}$${\estilo de visualización k}$$${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{y}}\quad k=ch^{\mathrm {T} }Ah=cb^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

En geometría analítica , la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola en el plano xy . Dado un polinomio cuadrático de la forma, los números h y k pueden interpretarse como las coordenadas cartesianas del vértice (o punto estacionario ) de la parábola. Es decir, h es la coordenada x del eje de simetría (es decir, el eje de simetría tiene la ecuación x = h ), y k es el valor mínimo (o valor máximo, si a  < 0) de la función cuadrática.$${\displaystyle a(xh)^{2}+k}$$

Una forma de ver esto es notar que la gráfica de la función f ( x ) = x ² es una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0). Por lo tanto, la gráfica de la función f ( x − h ) = ( x − h ) ² es una parábola desplazada hacia la derecha por h cuyo vértice está en ( h , 0), como se muestra en la figura superior. En contraste, la gráfica de la función f ( x ) + k = x ² + k es una parábola desplazada hacia arriba por k cuyo vértice está en (0, k ) , como se muestra en la figura central. Combinando los desplazamientos horizontales y verticales se obtiene que f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + k es una parábola desplazada hacia la derecha por h y hacia arriba por k cuyo vértice está en ( h , k ) , como se muestra en la figura inferior.

Completar el cuadrado se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática . Por ejemplo:$${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$$

El primer paso es completar el cuadrado:$${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$$

A continuación resolvemos el término al cuadrado:$${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$$

Entonces o bien y por lo tanto$${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{o}}\quad x+3=2,}$$$${\displaystyle x=-5\quad {\text{o}}\quad x=-1.}$$

Esto se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Cuando x ² tiene un coeficiente distinto de 1, el primer paso es dividir la ecuación por este coeficiente: para ver un ejemplo, véase el caso no monónico que aparece a continuación.

A diferencia de los métodos que implican factorizar la ecuación, lo cual es confiable solo si las raíces son racionales , al completar el cuadrado se encontrarán las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, considere la ecuación$${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

Completando el cuadrado se obtiene entonces :$${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$$${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$$${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{o}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

En lenguaje conciso: así que$${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$$${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

Las ecuaciones con raíces complejas se pueden manejar de la misma manera. Por ejemplo:$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

Para una ecuación que involucra una ecuación cuadrática no monótona , el primer paso para resolverla es dividir por el coeficiente de x ² . Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$$

La aplicación de este procedimiento a la forma general de una ecuación cuadrática conduce a la fórmula cuadrática .

Completar el cuadrado se puede utilizar para evaluar cualquier integral de la forma utilizando las integrales básicas$${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

Por ejemplo, considere la integral$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

Completando el cuadrado en el denominador obtenemos:$${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

Esto ahora se puede evaluar utilizando la sustitución u  =  x  + 3, que produce$${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

Considere la expresión donde z y b son números complejos , z ^* y b ^* son los conjugados complejos de z y b , respectivamente, y c es un número real . Usando la identidad | u | ² = uu ^* podemos reescribir esto como que es claramente una cantidad real. Esto se debe a que$${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$$${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

Como otro ejemplo, la expresión donde a , b , c , x e y son números reales, con a  > 0 y b  > 0, puede expresarse en términos del cuadrado del valor absoluto de un número complejo. Definir$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$$${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

Entonces así es$${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

Una matriz M es idempotente cuando M ² = M . Las matrices idempotentes generalizan las propiedades idempotentes de 0 y 1. El método de completar el cuadrado para abordar la ecuación muestra que algunas matrices idempotentes 2×2 están parametrizadas por un círculo en el plano ( a , b ):$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$

La matriz será idempotente siempre que, al completar el cuadrado, se convierta en En el plano ( a , b ), esta es la ecuación de una circunferencia con centro (1/2, 0) y radio 1/2.${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$

Considere completar el cuadrado para la ecuación.$${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$$

Dado que x ² representa el área de un cuadrado con un lado de longitud x , y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x , el proceso de completar el cuadrado puede verse como una manipulación visual de rectángulos.

Los intentos simples de combinar los rectángulos x2 y bx ^para formar un cuadrado más grande dan como resultado una esquina faltante. El término ( b /2) ² agregado a cada lado de la ecuación anterior es precisamente el área de la esquina faltante, de donde se deriva la terminología "completar el cuadrado". ^[8]

Como se enseña convencionalmente, completar el cuadrado consiste en sumar el tercer término, v ² a para obtener un cuadrado. También hay casos en los que se puede sumar el término medio, ya sea 2 uv o −2 uv , a para obtener un cuadrado.$${\displaystyle u^{2}+2uv}$$$${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$$

Escribiendo demostramos que la suma de un número positivo x y su recíproco es siempre mayor o igual a 2. El cuadrado de una expresión real es siempre mayor o igual a cero, lo que da el límite establecido; y aquí logramos 2 justo cuando x es 1, lo que hace que el cuadrado se desvanezca.$${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$

Consideremos el problema de factorizar el polinomio$${\displaystyle x^{4}+324.}$$

Esto es así porque el término medio es 2( x ² )(18) = 36 x ² . Por lo tanto, obtenemos (la última línea se agrega simplemente para seguir la convención de grados decrecientes de términos).$${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$

El mismo argumento muestra que siempre es factorizable como (también conocida como identidad de Sophie Germain ).${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$$${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$

"Completar el cuadrado" consiste en observar que los dos primeros términos de un polinomio cuadrático son también los primeros términos del cuadrado de un polinomio lineal , y utilizar esto para expresar el polinomio cuadrático como la suma de un cuadrado y una constante.

Completar el cubo es una técnica similar que permite transformar un polinomio cúbico en un polinomio cúbico sin término de grado dos.

Más precisamente, si

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

es un polinomio en x tal que sus dos primeros términos son los dos primeros términos de la forma desarrollada de ${\displaystyle a\neq 0,}$

${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.}$

Entonces, el cambio de variable

${\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}}$

proporciona un polinomio cúbico sin término de grado dos, que se llama forma deprimida del polinomio original.${\displaystyle t}$

Esta transformación es generalmente el primer paso de los métodos para resolver la ecuación cúbica general.

De manera más general, se puede utilizar una transformación similar para eliminar términos de grado en polinomios de grado , lo que se denomina transformación de Tschirnhaus .${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

• Álgebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 , páginas 539–544 
• Álgebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X , páginas 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 

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• Completando el cuadrado en PlanetMath .