Cádlag

En matemáticas , una función càdlàg ( en francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("continua a la derecha con límites a la izquierda") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida sobre los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua a la derecha en todas partes y tiene límites a la izquierda en todas partes. Las funciones càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias muestrales continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio dado se conoce como espacio de Skorokhod .

Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continúa a la izquierda, límite a la derecha ", la inversión de izquierda a derecha de càdlàg, y càllàl, que significa " continúa a la una, límite a la otra " (continua en un lado, límite en el otro lado), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.

Sea un espacio métrico y sea . Una función se denomina función càdlàg si, para cada ,${\estilo de visualización (M,d)}$${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R}}$${\displaystyle f:E\to M}$${\displaystyle t\en E}$

• el límite izquierdo existe; y${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$
• El límite correcto existe y es igual a .${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$${\displaystyle f(t)}$

Es decir, es continua hacia la derecha con límites hacia la izquierda.${\estilo de visualización f}$

• Todas las funciones continuas en un subconjunto de números reales son funciones continuas en ese subconjunto.
• Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativa son funciones de càdlàg. Por ejemplo, la acumulativa en el punto corresponde a la probabilidad de ser menor o igual que , es decir . En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas es cerrado a la derecha.${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización r}$${\displaystyle \mathbb {P}[X\leq r]}$${\displaystyle (-\infty ,r]}$
• La derivada derecha de cualquier función convexa definida en un intervalo abierto, es una función cadlag creciente.${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ ${\estilo de visualización f}$

El conjunto de todas las funciones càdlàg desde hasta se denota a menudo por (o simplemente ) y se llama espacio de Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que, intuitivamente, nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme solo nos permite "mover un poco el espacio"). ^[1] Para simplificar, tome y — vea Billingsley ^[2] para una construcción más general.${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$${\displaystyle \mathbb {D}}$ ${\displaystyle E=[0,T]}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$

Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , . Para cualquier , establezca${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta)}$${\displaystyle F\subseteq E}$

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

y, para , defina el módulo càdlàg como${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

donde el ínfimo recorre todas las particiones , con . Esta definición tiene sentido para funciones no càdlàg (así como el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas). es càdlàg si y solo si .${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\puntos <t_{k}=T\},\;k\en E}$${\displaystyle \min_{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$

Ahora denotemos el conjunto de todas las biyecciones continuas estrictamente crecientes desde a sí mismo (estas son "ondulaciones en el tiempo"). Sea${\estilo de visualización \Lambda}$${\estilo de visualización E}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

denota la norma uniforme sobre funciones en . Defina la métrica de Skorokhod sobre por${\estilo de visualización E}$ ${\estilo de visualización \sigma}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|fg\circ \lambda \|\},}$

donde es la función identidad. En términos de la intuición del "bamboleo", mide el tamaño del "bamboleo en el tiempo" y mide el tamaño del "bamboleo en el espacio".${\displaystyle I:E\a E}$${\displaystyle \|\lambda -I\|}$${\displaystyle \|fg\circ \lambda \|}$

La métrica de Skorokhod es, en efecto, una métrica. La topología generada por se denomina topología de Skorokhod en . ${\estilo de visualización \Sigma}$${\estilo de visualización \sigma}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

Una métrica equivalente,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|fg\circ \lambda \|),}$

Se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. ^[3]

El espacio de funciones continuas en es un subespacio de . La topología de Skorokhod relativizada coincide con la topología uniforme allí.${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización E}$${\displaystyle \mathbb {D}}$${\estilo de visualización C}$

Aunque no es un espacio completo con respecto a la métrica de Skorokhod , existe una métrica topológicamente equivalente con respecto a la cual es completa. ^[4]${\displaystyle \mathbb {D}}$${\estilo de visualización \sigma}$ $estilo de visualización {\sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

Con respecto a o , es un espacio separable . Por lo tanto, el espacio de Skorokhod es un espacio polaco .${\estilo de visualización \sigma}$$estilo de visualización {\sigma _{0}}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio de Skorokhod es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\puntos }}$${\displaystyle \mathbb {D}}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ para todos }}\varepsilon >0.}$

Según la topología de Skorokhod y la adición puntual de funciones, no existe un grupo topológico, como se puede observar en el siguiente ejemplo:${\displaystyle \mathbb {D}}$

Sea un intervalo semiabierto y tomemos como una sucesión de funciones características. A pesar de que en la topología de Skorokhod la sucesión no converge a 0.${\displaystyle E=[0,2)}$${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi_{[1,2)}}$${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$

• Espacio clásico de Wiener

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.