Cuadrado mágico

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En matemáticas , especialmente en matemáticas históricas y recreativas , una matriz cuadrada de números, generalmente enteros positivos , se denomina cuadrado mágico si las sumas de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. ^{[1] [2]} El "orden" del cuadrado mágico es el número de números enteros a lo largo de un lado ( n ), y la suma constante se llama " constante mágica ". Si la matriz incluye solo los números enteros positivos , se dice que el cuadrado mágico es "normal". Algunos autores toman "cuadrado mágico" como "cuadrado mágico normal". ^[3]${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$

Los cuadrados mágicos que incluyen entradas repetidas no entran en esta definición y se denominan "triviales". Algunos ejemplos conocidos, como el cuadrado mágico de la Sagrada Familia y el cuadrado de Parker, son triviales en este sentido. Cuando todas las filas y columnas, pero no ambas diagonales, suman la constante mágica, se obtiene un cuadrado semimágico (a veces llamado cuadrado ortomágico ).

El estudio matemático de un cuadrado mágico generalmente se ocupa de su construcción, clasificación y enumeración. Aunque no existen métodos completamente generales para producir todos los cuadrados mágicos de todos los órdenes, históricamente se han descubierto tres técnicas generales: por el método de borde, haciendo cuadrados mágicos compuestos y añadiendo dos cuadrados preliminares. También hay estrategias más específicas como el método de enumeración continua que reproduce patrones específicos. Los cuadrados mágicos generalmente se clasifican según su orden n como: impar si n es impar, uniformemente par (también conocido como "doblemente par") si n es un múltiplo de 4, imparmente par (también conocido como "simplemente par") si n es cualquier otro número par. Esta clasificación se basa en diferentes técnicas necesarias para construir cuadrados impares, uniformemente pares e imparmente pares. Además de esto, dependiendo de otras propiedades, los cuadrados mágicos también se clasifican como cuadrados mágicos asociativos , cuadrados mágicos pandiagonales , cuadrados mágicos más perfectos , etc. Más desafiante aún es el intento de clasificar todos los cuadrados mágicos de un orden determinado como transformaciones de un conjunto más pequeño de cuadrados. A excepción de n ≤ 5, la enumeración de cuadrados mágicos de orden superior sigue siendo un desafío abierto. La enumeración de los cuadrados mágicos más perfectos de cualquier orden recién se logró a fines del siglo XX.

Los cuadrados mágicos tienen una larga historia, que se remonta al menos al año 190 a. C. en China. En diversas épocas han adquirido un significado oculto o mítico y han aparecido como símbolos en obras de arte. En la época moderna se han generalizado de diversas maneras, entre ellas, mediante el uso de restricciones adicionales o diferentes, la multiplicación en lugar de la adición de celdas, el uso de formas alternativas o más de dos dimensiones y la sustitución de números por formas y la adición por operaciones geométricas.

El cuadrado mágico de tercer orden era conocido por los matemáticos chinos ya en el año 190 a. C., y fue dado explícitamente en el primer siglo de la era común. El primer ejemplo datable del cuadrado mágico de cuarto orden ocurrió en el año 587 d. C. en la India. Ejemplos de cuadrados mágicos de orden 3 a 9 aparecen en una enciclopedia de Bagdad de alrededor del  año 983 , la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). A finales del siglo XII, los métodos generales para construir cuadrados mágicos estaban bien establecidos. En esa época, algunos de estos cuadrados se usaban cada vez más junto con letras mágicas, como en Shams Al-ma'arif , para fines ocultistas. ^[4] En la India, Narayana enumeró todos los cuadrados mágicos pandiagonales de cuarto orden en 1356. Los cuadrados mágicos se dieron a conocer en Europa a través de la traducción de fuentes árabes como objetos ocultos durante el Renacimiento, y la teoría general tuvo que redescubrirse independientemente de los desarrollos previos en China, India y Oriente Medio. También son notables las culturas antiguas con una tradición de matemáticas y numerología que no descubrieron los cuadrados mágicos: griegos, babilonios, egipcios y americanos precolombinos.

Aunque las antiguas referencias al patrón de números pares e impares en el cuadrado mágico 3×3 aparecen en el I Ching , la primera instancia inequívoca de este cuadrado mágico aparece en el capítulo llamado Mingtang (Salón Brillante) de un libro del siglo I Da Dai Liji (Registro de Ritos del Anciano Dai), que pretendía describir los antiguos ritos chinos de la dinastía Zhou. ^{[5] [6] [7] [8]} Estos números también aparecen en un texto matemático posiblemente anterior llamado Shushu jiyi (Memorias sobre algunas tradiciones del arte matemático), que se dice que fue escrito en 190 a. C. Esta es la primera aparición registrada de un cuadrado mágico; y se utilizó principalmente para adivinación y astrología. ^[5] El cuadrado mágico 3×3 fue denominado los "Nueve Salones" por los primeros matemáticos chinos. ^[7] La ​​identificación del cuadrado mágico 3×3 con el legendario diagrama de Luoshu se hizo recién en el siglo XII, después de lo cual se lo denominó cuadrado de Luoshu. ^{[5] [7]} El tratado chino más antiguo que se conserva que muestra cuadrados mágicos de orden mayor que 3 es Xugu zheqi suanfa (Continuación de los métodos matemáticos antiguos para dilucidar lo extraño) de Yang Hui escrito en 1275. ^{[5] [7]} El contenido del tratado de Yang Hui se recopiló de obras más antiguas, tanto nativas como extranjeras; y solo explica la construcción de cuadrados mágicos de tercer y cuarto orden, mientras que simplemente transmite los diagramas terminados de cuadrados más grandes. ^[7] Da un cuadrado mágico de orden 3, dos cuadrados para cada orden de 4 a 8, uno de orden nueve y un cuadrado semimágico de orden 10. También da seis círculos mágicos de diversa complejidad. ^[9]

Los cuadrados mágicos de orden 3 a 9 anteriores están tomados del tratado de Yang Hui, en el que el principio de Luo Shu es claramente evidente. ^{[7] [8]} El cuadrado de orden 5 es un cuadrado mágico bordeado, con un cuadrado central de 3 × 3 formado según el principio de Luo Shu. El cuadrado de orden 9 es un cuadrado mágico compuesto, en el que los nueve subcuadrados de 3 × 3 también son mágicos. ^[7] Después de Yang Hui, los cuadrados mágicos aparecen con frecuencia en las matemáticas chinas, como en el Dayan suoyin de Ding Yidong ( c.  1300 ), el Suanfa tongzong de Cheng Dawei (1593), el Shuduyan de Fang Zhongtong (1661) que contiene círculos, cubos y esferas mágicos, el Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c.  1650 ), que publicó el primer cuadrado mágico de China de orden diez, y por último el Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c.  1880 ), que dio varias configuraciones mágicas tridimensionales. ^{[5] [8]} Sin embargo, a pesar de ser el primero en descubrir los cuadrados mágicos y obtener una ventaja de varios siglos, el desarrollo chino de los cuadrados mágicos es muy inferior en comparación con los desarrollos indios, de Oriente Medio o europeos. El punto culminante de las matemáticas chinas que tratan los cuadrados mágicos parece estar contenido en el trabajo de Yang Hui; pero incluso como una colección de métodos más antiguos, este trabajo es mucho más primitivo, carente de métodos generales para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, en comparación con una colección similar escrita en la misma época por el erudito bizantino Manuel Moschopoulos . ^[7] Esto posiblemente se deba a la fascinación de los eruditos chinos por el principio de Lo Shu, que intentaron adaptar para resolver cuadrados superiores; y después de Yang Hui y la caída de la dinastía Yuan , su purga sistemática de las influencias extranjeras en las matemáticas chinas. ^[7]

Japón y China tienen tradiciones matemáticas similares y se han influenciado mutuamente en repetidas ocasiones en la historia de los cuadrados mágicos. ^[10] El interés japonés en los cuadrados mágicos comenzó después de la difusión de obras chinas ( Suanfa de Yang Hui y Suanfa tongzong de Cheng Dawei ) en el siglo XVII y, como resultado, casi todos los wasans dedicaron su tiempo a su estudio.

En la edición de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku dio cuadrados mágicos con borde tanto pares como impares, así como círculos mágicos; mientras que la edición de 1684 del mismo libro contenía una gran sección sobre cuadrados mágicos, demostrando que tenía un método general para construir cuadrados mágicos con borde. ^[11] En Jinko-ki (1665) de Muramatsu Kudayu Mosei, se muestran tanto cuadrados mágicos como círculos mágicos. El cuadrado más grande que construye Mosei es de orden 19. Varios cuadrados mágicos y círculos mágicos también fueron publicados por Nozawa Teicho en Dokai-sho (1666), Sato Seiko en Kongenki (1666) y Hosino Sanenobu en Ko-ko-gen Sho (1673). ^[12] Uno de los Siete Libros de Seki Takakazu ( Hojin Yensan ) (1683) está dedicado completamente a los cuadrados y círculos mágicos. Este es el primer libro japonés que da un tratamiento general de los cuadrados mágicos en el que se describen claramente los algoritmos para construir cuadrados mágicos con borde impar, simplemente par y doblemente par. ^[13] En 1694 y 1695, Yueki Ando dio diferentes métodos para crear los cuadrados mágicos y mostró cuadrados de orden 3 a 30. Un cubo mágico de cuarto orden fue construido por Yoshizane Tanaka (1651-1719) en Rakusho-kikan (1683). El estudio de los cuadrados mágicos fue continuado por los alumnos de Seki, en particular por Katahiro Takebe, cuyos cuadrados fueron mostrados en el cuarto volumen de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga en Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima en Kyushi Iko quien redescubrió un método para producir los cuadrados impares dado por Agrippa, ^[14] y Naonobu Ajima . ^{[15] [16]} Así, a principios del siglo XVIII, los matemáticos japoneses poseían métodos para construir cuadrados mágicos de orden arbitrario. Después de esto, los intentos de enumerar los cuadrados mágicos fueron iniciados por Nushizumi Yamaji. ^[16]

El cuadrado mágico 3×3 aparece por primera vez en la India en Gargasamhita de Garga, quien recomienda su uso para pacificar los nueve planetas ( navagraha ). La versión más antigua de este texto data del año 100 d. C., pero el pasaje sobre los planetas no podría haber sido escrito antes del año 400 d. C. El primer ejemplo datable del cuadrado mágico 3×3 en la India aparece en un texto médico Siddhayog ( c.  900 d. C. ) de Vrnda, que se prescribía a las mujeres en labor de parto para facilitar el parto. ^[17]

El cuadrado mágico de cuarto orden más antiguo del mundo se encuentra en una obra enciclopédica escrita por Varahamihira alrededor del año 587 d. C. llamada Brhat Samhita . El cuadrado mágico se construyó con el propósito de hacer perfumes utilizando 4 sustancias seleccionadas de 16 sustancias diferentes. Cada celda del cuadrado representa un ingrediente particular, mientras que el número en la celda representa la proporción del ingrediente asociado, de modo que la mezcla de cualquier combinación de cuatro ingredientes a lo largo de las columnas, filas, diagonales, etc., da como resultado un volumen total de la mezcla de 18. Aunque el libro trata principalmente sobre adivinación, el cuadrado mágico se presenta como una cuestión de diseño combinatorio y no se le atribuyen propiedades mágicas. Las características especiales de este cuadrado mágico fueron comentadas por Bhattotpala ( c.  966 d. C. ) ^{[18] [17]}

El cuadrado de Varahamihira que se muestra arriba tiene una suma de 18. Aquí los números del 1 al 8 aparecen dos veces en el cuadrado. Es un cuadrado mágico pandiagonal . Se pueden obtener cuatro cuadrados mágicos diferentes sumando 8 a uno de los dos conjuntos de secuencias del 1 al 8. La secuencia se selecciona de manera que el número 8 se sume exactamente dos veces en cada fila, cada columna y cada una de las diagonales principales. Uno de los posibles cuadrados mágicos se muestra en el lado derecho. Este cuadrado mágico es notable porque es una rotación de 90 grados de un cuadrado mágico que aparece en el mundo islámico del siglo XIII como uno de los cuadrados mágicos más populares. ^[19]

La construcción del cuadrado mágico de cuarto orden se detalla en una obra titulada Kaksaputa , compuesta por el alquimista Nagarjuna alrededor del siglo X d. C. Todos los cuadrados dados por Nagarjuna son cuadrados mágicos de 4 × 4, y uno de ellos se llama Nagarjuniya en su honor. Nagarjuna dio un método para construir un cuadrado mágico de 4 × 4 utilizando un cuadrado esqueleto primario, dada una suma mágica par o impar. ^[18] El cuadrado de Nagarjuniya se da a continuación y tiene una suma total de 100.

El cuadrado de Nagarjuniya es un cuadrado mágico pandiagonal . El cuadrado de Nagarjuniya está formado por dos progresiones aritméticas que comienzan en 6 y 16 con ocho términos cada una, con una diferencia común entre términos sucesivos de 4. Cuando estas dos progresiones se reducen a la progresión normal de 1 a 8, se obtiene el cuadrado adyacente.

Alrededor del siglo XII, se inscribió un cuadrado mágico de 4×4 en la pared del templo de Parshvanath en Khajuraho , India. Varios himnos jainistas enseñan cómo hacer cuadrados mágicos, aunque no se puede datarlos. ^[17]

Hasta donde se sabe, el primer estudio sistemático de los cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkar Pheru , un erudito jainista, en su Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contiene una pequeña sección sobre los cuadrados mágicos que consta de nueve versos. Aquí da un cuadrado de orden cuatro y alude a su reordenamiento; clasifica los cuadrados mágicos en tres (impar, par-par e impar-par) según su orden; da un cuadrado de orden seis; y prescribe un método para construir cada uno de los cuadrados pares e impares. Para los cuadrados pares, Pheru divide el cuadrado en cuadrados componentes de orden cuatro y coloca los números en celdas de acuerdo con el patrón de un cuadrado estándar de orden cuatro. Para los cuadrados impares, Pheru da el método utilizando el movimiento del caballo o movimiento del caballo . Aunque algorítmicamente diferente, da el mismo cuadrado que el método de De la Loubere. ^[17]

El siguiente trabajo exhaustivo sobre los cuadrados mágicos fue realizado por Narayana Pandit , quien en el capítulo catorce de su Ganita Kaumudi (1356) da métodos generales para su construcción, junto con los principios que gobiernan tales construcciones. Consta de 55 versos para las reglas y 17 versos para los ejemplos. Narayana da un método para construir todos los cuadrados panmágicos de cuarto orden utilizando el movimiento del caballo; enumera el número de cuadrados mágicos pandiagonales de orden cuatro, 384, incluyendo cada variación hecha por rotación y reflexión; tres métodos generales para cuadrados que tienen cualquier orden y suma constante cuando se conoce un cuadrado estándar del mismo orden; dos métodos para construir cuadrados par-par, par-impar y de cuadrados cuando se da la suma. Si bien Narayana describe un método más antiguo para cada especie de cuadrado, afirma que el método de superposición para cuadrados par-par e impar y un método de intercambio para cuadrados par-impar son de su propia invención. El método de superposición fue redescubierto más tarde por De la Hire en Europa. En la última sección, concibe otras figuras, como círculos, rectángulos y hexágonos, en las que los números pueden organizarse para poseer propiedades similares a las de los cuadrados mágicos. ^{[18] [17]} A continuación se presentan algunos de los cuadrados mágicos construidos por Narayana: ^[18]

El cuadrado de orden 8 es interesante en sí mismo, ya que es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto. Por cierto, Narayana afirma que el propósito de estudiar los cuadrados mágicos es construir yantra , destruir el ego de los malos matemáticos y para el placer de los buenos matemáticos. El tema de los cuadrados mágicos se conoce como bhadraganita y Narayana afirma que el dios Shiva fue el primero en enseñarlo a los hombres . ^[17]

Aunque no se conoce la historia temprana de los cuadrados mágicos en Persia y Arabia, se ha sugerido que eran conocidos en tiempos preislámicos. ^[20] Sin embargo, está claro que el estudio de los cuadrados mágicos era común en el Islam medieval , y se cree que comenzó después de la introducción del ajedrez en la región. ^{[21] [22] [23]} La primera aparición datable de un cuadrado mágico de orden 3 ocurre en el Kitab al-mawazin al-Saghir (El pequeño libro de las balanzas) de Jābir ibn Hayyān (fl. c. 721 - c. 815) , donde el cuadrado mágico y su numerología relacionada se asocian con la alquimia. ^[8] Si bien se sabe que los tratados sobre cuadrados mágicos se escribieron en el siglo IX, los primeros tratados existentes datan del siglo X: uno de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c.  998 ) y otro de Ali b. Ahmad al-Antaki ( c.  987 ). ^{[22] [24] [25]} Estos primeros tratados eran puramente matemáticos, y la designación árabe para los cuadrados mágicos utilizados es wafq al-a'dad , que se traduce como disposición armoniosa de los números . ^[23] A finales del siglo X, los dos tratados de Buzjani y Antaki dejan claro que los matemáticos de Oriente Medio habían entendido cómo construir cuadrados con borde de cualquier orden, así como cuadrados mágicos simples de órdenes pequeños ( n ≤ 6) que se utilizaban para hacer cuadrados mágicos compuestos. ^{[22] [24]} Un ejemplar de cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 ideados por matemáticos de Oriente Medio aparece en una enciclopedia de Bagdad de c.  983 , la Rasa'il Ikhwan al-Safa (la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ). ^[26] Los cuadrados de orden 3 a 7 de Rasa'il se dan a continuación: ^[26]

En el siglo XI se descubrieron varias formas de construir cuadrados mágicos simples para órdenes impares y par-par; el caso más difícil del caso par-impar ( n = 4k + 2 ) fue resuelto por Ibn al-Haytham con k par (c. 1040), y completamente a principios del siglo XII, si no ya en la segunda mitad del siglo XI. ^[22] Casi al mismo tiempo, se estaban construyendo cuadrados pandiagonales. Los tratados sobre cuadrados mágicos fueron numerosos en los siglos XI y XII. Estos desarrollos posteriores tendieron a ser mejoras o simplificaciones de los métodos existentes. A partir del siglo XIII, los cuadrados mágicos se utilizaron cada vez más con fines ocultistas. ^[22] Sin embargo, muchos de estos textos posteriores escritos con fines ocultistas simplemente representan ciertos cuadrados mágicos y mencionan sus atributos, sin describir su principio de construcción, y solo algunos autores mantuvieron viva la teoría general. ^[22] Uno de estos ocultistas fue el argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), quien dio métodos generales para construir cuadrados mágicos con bordes; otros fueron el egipcio del siglo XVII Shabramallisi y el nigeriano del siglo XVIII al-Kishnawi. ^[27]

El cuadrado mágico de orden tres fue descrito como un amuleto para la procreación ^{[28] [29]} desde sus primeras apariciones literarias en las obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. c. 721 – c. 815) ^{[29] [30]} y al-Ghazālī (1058–1111) ^[31] y fue preservado en la tradición de las tablas planetarias. La primera aparición de la asociación de siete cuadrados mágicos con las virtudes de los siete cuerpos celestes aparece en el Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) del erudito andaluz Ibn Zarkali (conocido como Azarquiel en Europa) (1029–1087) . ^[32] Un siglo después, el erudito argelino Ahmad al-Buni atribuyó propiedades místicas a los cuadrados mágicos en su influyente libro Shams al-Ma'arif ( El libro del sol de la gnosis y las sutilezas de las cosas elevadas ), que también describe su construcción. Esta tradición sobre una serie de cuadrados mágicos del orden tres al nueve, que están asociados con los siete planetas, sobrevive en versiones griegas, árabes y latinas. ^[33] También hay referencias al uso de cuadrados mágicos en cálculos astrológicos, una práctica que parece haberse originado con los árabes. ^{[34] [35]}

A diferencia de lo que ocurrió en Persia y Arabia, existe una mejor documentación sobre cómo se transmitieron los cuadrados mágicos a Europa. Alrededor de 1315, influenciado por fuentes árabes, el erudito bizantino griego Manuel Moschopoulos escribió un tratado matemático sobre el tema de los cuadrados mágicos, dejando de lado el misticismo de sus predecesores de Oriente Medio, donde dio dos métodos para los cuadrados impares y dos métodos para los cuadrados pares. Moschopoulos fue esencialmente desconocido para la Europa latina hasta finales del siglo XVII, cuando Philippe de la Hire redescubrió su tratado en la Biblioteca Real de París. ^[36] Sin embargo, no fue el primer europeo en escribir sobre los cuadrados mágicos; y los cuadrados mágicos se difundieron al resto de Europa a través de España e Italia como objetos ocultos. Los primeros tratados ocultistas que mostraban los cuadrados no describían cómo se construían. Por lo tanto, la teoría completa tuvo que ser redescubierta.

Los cuadrados mágicos aparecieron por primera vez en Europa en Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Andalus, como cuadrados planetarios en el siglo XI. ^[32] El cuadrado mágico de tres fue discutido de manera numerológica a principios del siglo XII por el erudito judío Abraham ibn Ezra de Toledo, lo que influyó en los cabalistas posteriores. ^[37] La ​​obra de Ibn Zarkali fue traducida como Libro de Astromagia en la década de 1280, ^[38] debido a Alfonso X de Castilla. ^{[39] [32]} En el texto alfonsí, los cuadrados mágicos de diferentes órdenes se asignan a los respectivos planetas, como en la literatura islámica; desafortunadamente, de todos los cuadrados discutidos, el cuadrado mágico de Marte de orden cinco es el único cuadrado exhibido en el manuscrito. ^{[40] [32]}

Los cuadrados mágicos vuelven a aparecer en Florencia, Italia, en el siglo XIV. Un cuadrado de 6×6 y uno de 9×9 se exhiben en un manuscrito del Trattato d'Abbaco (Tratado del ábaco) de Paolo Dagomari . ^{[41] [42]} Es interesante observar que Paolo Dagomari, al igual que Pacioli después de él, se refiere a los cuadrados como una base útil para inventar juegos y cuestiones matemáticas, y no menciona ningún uso mágico. Sin embargo, por cierto, también se refiere a ellos como los cuadrados del Sol y de la Luna respectivamente, y menciona que entran en cálculos astrológicos que no están mejor especificados. Como se dijo, el mismo punto de vista parece motivar al florentino Luca Pacioli , quien describe cuadrados de 3×3 a 9×9 en su obra De Viribus Quantitatis a fines del siglo XV. ^{[43] [44]}

Los cuadrados planetarios se habían difundido en el norte de Europa a finales del siglo XV. Por ejemplo, el manuscrito de Cracovia de Picatrix de Polonia muestra cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9. El mismo conjunto de cuadrados que en el manuscrito de Cracovia aparece más tarde en los escritos de Paracelso en Archidoxa Magica (1567), aunque en forma muy confusa. En 1514, Alberto Durero inmortalizó un cuadrado de 4 × 4 en su famoso grabado Melencolia I. El contemporáneo de Paracelso, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, publicó su famoso libro de tres volúmenes De occulta philosophia en 1531, donde dedicó el Capítulo 22 del Libro II a los cuadrados planetarios que se muestran a continuación. ^[37] El mismo conjunto de cuadrados dados por Agrippa reaparece en 1539 en Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , donde explica la construcción de los cuadrados ordenados impares utilizando el "método del diamante", que luego fue reproducido por Bachet. ^[45] La tradición de los cuadrados planetarios fue continuada hasta el siglo XVII por Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Alemania, los tratados matemáticos sobre los cuadrados mágicos fueron escritos en 1544 por Michael Stifel en Arithmetica Integra , quien redescubrió los cuadrados bordeados, y Adam Riese , quien redescubrió el método de numeración continua para construir cuadrados ordenados impares publicados por Agrippa. Sin embargo, debido a las convulsiones religiosas de esa época, estos trabajos eran desconocidos para el resto de Europa. ^[37]

En Francia, en 1624, Claude Gaspard Bachet describió el "método del diamante" para construir los cuadrados impares ordenados de Agripa en su libro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy y Pierre Fermat intercambiaron cartas sobre cuadrados y cubos mágicos, y en una de las cartas Fermat se jacta de ser capaz de construir 1.004.144.995.344 cuadrados mágicos de orden 8 con su método. ^[45] Antoine Arnauld dio un relato temprano sobre la construcción de cuadrados con borde en su Nouveaux éléments de géométrie (1667). ^[46] En los dos tratados Des quarrez ou tables magiques y Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados póstumamente en 1693, veinte años después de su muerte, Bernard Frenicle de Bessy demostró que había exactamente 880 cuadrados mágicos distintos de orden cuatro. Frenicle proporcionó métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden par e impar, donde los cuadrados de orden par se construían utilizando bordes. También demostró que intercambiar filas y columnas de un cuadrado mágico producía nuevos cuadrados mágicos. ^[45] En 1691, Simon de la Loubère describió el método continuo indio de construcción de cuadrados mágicos de orden impar en su libro Du Royaume de Siam , que había aprendido mientras regresaba de una misión diplomática a Siam, que era más rápido que el método de Bachet. En un intento de explicar su funcionamiento, de la Loubère utilizó los números primarios y los números raíz, y redescubrió el método de sumar dos cuadrados preliminares. Este método fue investigado más a fondo por el abad Poignard en el Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire en Mémoires de l'Académie des Sciences para la Royal Academy (1705), y por Joseph Sauveur en Construction des quarrés magiques (1710). Los cuadrados concéntricos con bordes también fueron estudiados por De la Hire en 1705, mientras que Sauveur introdujo los cubos mágicos y los cuadrados con letras, que fueron retomados más tarde por Euler en 1776, a quien a menudo se le atribuye el mérito de idearlos. En 1750, d'Ons-le-Bray redescubrió el método de construcción de cuadrados doblemente pares y simplemente pares utilizando la técnica de los bordes; mientras que en 1767, Benjamin Franklin publicó un cuadrado semimágico que tenía las propiedades del cuadrado de Franklin epónimo. ^[47] En ese momento, el misticismo anterior asociado a los cuadrados mágicos había desaparecido por completo y el tema fue tratado como parte de las matemáticas recreativas. ^{[37] [48]}

En el siglo XIX, Bernard Violle trató exhaustivamente los cuadrados mágicos en su obra de tres volúmenes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), en la que también describía los cubos mágicos, los paralelogramos, los paralelepípedos y los círculos. Los cuadrados pandiagonales fueron estudiados extensamente por Andrew Hollingworth Frost, que los aprendió mientras estaba en la ciudad de Nasik, India (por lo que los llamó cuadrados de Nasik) en una serie de artículos: On the knight's path (1877), On the General Properties of Nasik Squares (1878), On the General Properties of Nasik Cubes (1878), On the construction of Nasik Squares of any order (1896). Demostró que es imposible tener cuadrados mágicos pandiagonales normales y simples pares. Frederick AP Barnard construyó cuadrados mágicos incrustados y otras figuras mágicas tridimensionales como esferas mágicas y cilindros mágicos en Theory of magic squares and of magic cubes (1888). ^[48] ​​En 1897, Emroy McClintock publicó Sobre la forma más perfecta de los cuadrados mágicos , acuñando las palabras cuadrado pandiagonal y cuadrado más perfecto , que anteriormente se habían denominado perfecto, o diabólico, o Nasik.

Leyendas que datan de tan temprano como 650 a. C. cuentan la historia del Lo Shu (洛書) o "rollo del río Lo". ^{[8] Según la leyenda, en una época en} la antigua China hubo una gran inundación. Mientras el gran rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, una tortuga emergió de ella con un curioso patrón en su caparazón: una cuadrícula de 3 × 3 en la que se disponían puntos circulares de números, de modo que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal era la misma: 15. Según la leyenda, a partir de entonces la gente pudo usar este patrón de cierta manera para controlar el río y protegerse de las inundaciones ^{[ cita requerida ]} . El cuadrado Lo Shu , como se llama al cuadrado mágico en el caparazón de la tortuga, es el único cuadrado mágico normal de orden tres en el que 1 está en la parte inferior y 2 en la esquina superior derecha. Cada cuadrado mágico normal de orden tres se obtiene del Lo Shu por rotación o reflexión.

Hay un conocido cuadrado mágico normal de 4×4 del siglo XII inscrito en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. ^{[18] [17] [49]}

Este se conoce como Chautisa Yantra ( Chautisa , 34; Yantra , lit. "dispositivo"), ya que su suma mágica es 34. Es uno de los tres cuadrados mágicos pandiagonales de 4×4 y también es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto . El estudio de este cuadrado llevó a la apreciación de los cuadrados pandiagonales por parte de los matemáticos europeos a fines del siglo XIX. Los cuadrados pandiagonales se denominaban cuadrados Nasik o cuadrados Jain en la literatura inglesa más antigua.

Se cree que el cuadrado mágico normal de orden cuatro que Alberto Durero inmortalizó en su grabado de 1514 Melencolia I , mencionado anteriormente, es el primero que se vio en el arte europeo. El cuadrado asociado con Júpiter aparece como un talismán utilizado para alejar la melancolía. Es muy similar al cuadrado de Yang Hui , que se creó en China unos 250 años antes de la época de Durero. Como ocurre con todos los cuadrados mágicos normales de orden cuatro, la suma mágica es 34. Pero en el cuadrado de Durero esta suma también se encuentra en cada uno de los cuadrantes, en los cuatro cuadrados centrales y en los cuadrados de las esquinas (tanto de la cuadrícula de 4x4 como de las cuatro cuadrículas de 3x3 que contenía). Esta suma también se puede encontrar en los cuatro números exteriores en el sentido de las agujas del reloj desde las esquinas (3+8+14+9) y también en los cuatro en el sentido contrario a las agujas del reloj (las ubicaciones de las cuatro reinas en las dos soluciones del rompecabezas de las 4 reinas ^[50] ), los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2+8+9+15 y 3+5+12+14), la suma de las dos entradas centrales de las dos columnas y filas externas (5+9+8+12 y 3+2+15+14), y en cuatro cuartetos con forma de cometa o cruz (3+5+11+15, 2+10+8+14, 3+9+7+15 y 2+6+12+14). Los dos números en el medio de la fila inferior dan la fecha del grabado: 1514. Se ha especulado que los números 4,1 que bordean la fecha de publicación corresponden a las iniciales de Durero D,A. Pero si esa hubiera sido su intención, podría haber invertido el orden de las columnas 1 y 4 para lograr "A1514D" sin comprometer las propiedades del cuadrado.

El cuadrado mágico de Durero también puede extenderse a un cubo mágico. ^[51]

La fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia en Barcelona , ​​conceptualizada por Antoni Gaudí y diseñada por el escultor Josep Subirachs , presenta un cuadrado mágico de orden trivial 4: La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesús en el momento de la Pasión . ^[52] Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico Melancolía , pero se han reducido los números en cuatro de las celdas en 1.

Los cuadrados triviales como éste no suelen ser matemáticamente interesantes y sólo tienen importancia histórica. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs sobre la teoría de los cuadrados mágicos, el famoso escultor cometió un error innecesario, y apoya esta afirmación dando varios ejemplos de cuadrados mágicos 4×4 no triviales que muestran la constante mágica deseada de 33. ^[53]

De manera similar al cuadrado mágico de Durero, el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también puede extenderse a un cubo mágico. ^[54]

El cuadrado de Parker , llamado así por el matemático recreativo Matt Parker , ^[55] es un intento de crear un cuadrado mágico de cuadrados de 3  ×  3, un problema sin resolver muy apreciado desde Euler . ^[56] El cuadrado de Parker es un cuadrado semimágico trivial, ya que utiliza algunos números más de una vez, y la diagonal 23 ² + 37 ² + 47 ² suma4107 , no3051 en cuanto a todas las demás filas y columnas, y la otra diagonal. El cuadrado de Parker se hizo popular en la cultura matemática. ^{[ cita requerida ]} El cuadrado de Parker se convirtió en una "mascota para la gente que lo intenta, pero al final fracasa". ^{[ 57 ] [ se necesita una mejor fuente ]}

El cuadrado de Gardner, llamado así en honor al matemático recreativo Martin Gardner , similar al cuadrado de Parker, se plantea como un problema para determinar a, b, c y d. ^{[ cita requerida ]}

Esta solución para a = 74, b = 113, c = 94 y d = 97 da un cuadrado semimágico; la diagonal 127 ² + b ² + d ² suma38 307 , no21 609 como para todas las demás filas y columnas, y la otra diagonal. ^{[58] [59] [60]}

La constante que es la suma de cualquier fila, columna o diagonal se llama constante mágica o suma mágica, M. Todo cuadrado mágico normal tiene una constante que depende del orden n , calculada mediante la fórmula . Esto se puede demostrar observando que la suma de es . Como la suma de cada fila es , la suma de filas es , que cuando se divide por el orden n da como resultado la constante mágica como . Para los cuadrados mágicos normales de órdenes n = 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las constantes mágicas son, respectivamente: 15, 34, 65, 111, 175 y 260 (secuencia A006003 en la OEIS ).${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle 1,2,...,n^{2}}$${\displaystyle n^{2}(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle nM=n^{2}(n^{2}+1)/2}$${\displaystyle M=n(n^{2}+1)/2}$

El cuadrado mágico 1×1, con una sola celda que contiene el número 1, se llama trivial , porque normalmente no se lo considera cuando se habla de cuadrados mágicos; pero de hecho es un cuadrado mágico por definición, si una sola celda se considera un cuadrado de orden uno.

Se pueden construir cuadrados mágicos normales de todos los tamaños excepto 2×2 (es decir, donde el orden n = 2). ^[61]

Si los números en el cuadrado mágico se ven como masas ubicadas en varias celdas, entonces el centro de masa de un cuadrado mágico coincide con su centro geométrico.

El momento de inercia de un cuadrado mágico se ha definido como la suma de todas las celdas del número en la celda multiplicado por el cuadrado de la distancia desde el centro de la celda hasta el centro del cuadrado; aquí la unidad de medida es el ancho de una celda. ^[62] (Así, por ejemplo, una celda de esquina de un cuadrado de 3×3 tiene una distancia de 1, una celda de borde que no es de esquina tiene una distancia de 1, y la celda del centro tiene una distancia de 0). Entonces, todos los cuadrados mágicos de un orden dado tienen el mismo momento de inercia entre sí. Para el caso de orden 3, el momento de inercia es siempre 60, mientras que para el caso de orden 4, el momento de inercia es siempre 340. En general, para el caso n × n , el momento de inercia es ^[62]${\displaystyle {\sqrt {2}},}$${\displaystyle n^{2}(n^{4}-1)/12.}$

Dividiendo cada número del cuadrado mágico por la constante mágica se obtendrá una matriz doblemente estocástica , cuyas sumas de filas y columnas son iguales a la unidad. Sin embargo, a diferencia de la matriz doblemente estocástica, las sumas diagonales de dichas matrices también serán iguales a la unidad. Por lo tanto, dichas matrices constituyen un subconjunto de la matriz doblemente estocástica. El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que para cualquier matriz doblemente estocástica , existen números reales , donde y matrices de permutación tales que${\displaystyle A}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}\geq 0}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\theta _{i}=1}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$

${\displaystyle A=\theta _{1}P_{1}+\cdots +\theta _{k}P_{k}.}$

Esta representación puede no ser única en general. Sin embargo, según el teorema de Marcus-Ree, no es necesario que haya más de términos en cualquier descomposición. ^[63] Claramente, esta descomposición también se aplica a los cuadrados mágicos, ya que un cuadrado mágico se puede recuperar de una matriz doblemente estocástica multiplicándola por la constante mágica.${\displaystyle k\leq n^{2}-2n+2}$

Si bien la clasificación de los cuadrados mágicos se puede realizar de muchas maneras, a continuación se ofrecen algunas categorías útiles. Una matriz cuadrada de n × n de números enteros 1, 2, ..., n ² se denomina:

• Cuadrado semimágico cuando sus filas y columnas se suman para dar la constante mágica.
• Cuadrado mágico simple cuando sus filas, columnas y dos diagonales se suman para dar una constante mágica y nada más. También se conocen como cuadrados mágicos ordinarios o cuadrados mágicos normales .
• Cuadrado mágico autocomplementario cuando es un cuadrado mágico que al complementarse (es decir, cada número restado de n ² + 1) dará una versión rotada o reflejada del cuadrado mágico original.
• Cuadrado mágico asociativo cuando se trata de un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que todo número sumado al número equidistante, en línea recta, del centro da n ² + 1. También se les llama cuadrados mágicos simétricos . Los cuadrados mágicos asociativos no existen para cuadrados de orden par simple. Todos los cuadrados mágicos asociativos son también cuadrados mágicos autocomplementarios.
• Cuadrado mágico pandiagonal cuando es un cuadrado mágico con una propiedad adicional, la de que las diagonales rotas suman la constante mágica. También se les llama cuadrados panmágicos , cuadrados perfectos , cuadrados diabólicos , cuadrados jainistas o cuadrados de Nasik . Los cuadrados panmágicos no existen para órdenes pares simples. Sin embargo, los cuadrados no normales pares simples pueden ser panmágicos.
• Cuadrado mágico ultra cuando es a la vez asociativo y pandiagonal. El cuadrado mágico ultra existe solo para órdenes n ≥ 5.
• Cuadrado mágico con borde cuando es un cuadrado mágico y sigue siendo mágico cuando se eliminan las filas y columnas del borde exterior. También se denominan cuadrados mágicos con borde concéntricos si al eliminar sucesivamente un borde de un cuadrado se obtiene otro cuadrado mágico con borde más pequeño. Los cuadrados mágicos con borde no existen para el orden 4.
• Cuadrado mágico compuesto cuando se trata de un cuadrado mágico que se crea "multiplicando" (en cierto sentido) cuadrados mágicos más pequeños, de modo que el orden del cuadrado mágico compuesto es un múltiplo del orden de los cuadrados más pequeños. Dichos cuadrados normalmente se pueden dividir en subcuadrados mágicos más pequeños que no se superponen.
• Cuadrado mágico incrustado cuando se trata de un cuadrado mágico en cuyo interior se encuentra incrustado un subcuadrado mágico, independientemente de la técnica de construcción. Los subcuadrados mágicos incrustados se denominan a su vez incrustaciones .
• Cuadrado mágico perfectísimo cuando es un cuadrado mágico pandiagonal con dos propiedades adicionales (i) cada subcuadrado de 2×2 suma 1/ k de la constante mágica donde n = 4 k , y (ii) todos los pares de números enteros distantes n /2 a lo largo de cualquier diagonal (mayor o quebrada) son complementarios (es decir, suman n ² + 1). La primera propiedad se denomina compacidad , mientras que la segunda propiedad se denomina completitud . Los cuadrados mágicos perfectísimos existen solo para cuadrados de orden doblemente par. Todos los cuadrados pandiagonales de orden 4 también son perfectísimos.
• Cuadrado mágico de Franklin cuando es un cuadrado mágico doblemente par con tres propiedades adicionales: (i) cada diagonal doblada se suma a la constante mágica, (ii) cada media fila y media columna que comienza en un borde exterior se suma a la mitad de la constante mágica, y (iii) el cuadrado es compacto .
• Cuadrado multimágico cuando se trata de un cuadrado mágico que sigue siendo mágico incluso si todos sus números se sustituyen por su k -ésima potencia para 1 ≤ k ≤ P . También se les conoce como cuadrado P-multimágico o cuadrados satánicos . También se les denomina cuadrados bimágicos , cuadrados trimágicos , cuadrados tetramágicos y cuadrados pentámagos cuando el valor de P es 2, 3, 4 y 5 respectivamente.

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Cuántos toros mágicos y cuadrados mágicos de orden n hay para y , respectivamente?${\displaystyle n>5}$${\displaystyle n>6}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Cuadrados de orden bajo

Sólo existe un cuadrado mágico (trivial) de orden 1 y ningún cuadrado mágico de orden 2. Como se mencionó anteriormente, el conjunto de cuadrados normales de orden tres constituye una única clase de equivalencia , todos equivalentes al cuadrado de Lo Shu. Por lo tanto, básicamente sólo existe un cuadrado mágico normal de orden 3.

El número de cuadrados mágicos n × n diferentes para n de 1 a 6, sin contar rotaciones y reflexiones es:

1, 0, 1, 880, 275305224, 17753889197660635632. (secuencia A006052 en la OEIS )

El número para n = 6 se había estimado previamente en (1,7745 ± 0,0016) × 10 ¹⁹ . ^{[64] [65] [62]}

Toros mágicos

En relación con la secuencia anterior, una nueva clasificación enumera los toros mágicos que muestran estos cuadrados mágicos. El número de toros mágicos de orden n, de 1 a 5, es:

1, 0, 1, 255, 251449712 (secuencia A270876 en la OEIS ).

Cuadrados y toros de orden superior

El número de cuadrados mágicos normales distintos aumenta rápidamente para órdenes superiores. ^[66]

Los 880 cuadrados mágicos de orden 4 se muestran en 255 toros mágicos de orden 4 y los 275.305.224 cuadrados de orden 5 se muestran en 251.449.712 toros mágicos de orden 5. Todavía no se conocen los números de toros mágicos y cuadrados normales distintos para órdenes más allá de 5 y 6, respectivamente. ^{[67] [ cita requerida ]}

Los algoritmos tienden a generar únicamente cuadrados mágicos de un cierto tipo o clasificación, lo que hace que contar todos los cuadrados mágicos posibles sea bastante difícil. Dado que los métodos de conteo tradicionales han demostrado ser infructuosos, se ha aplicado el análisis estadístico mediante el método de Monte Carlo . El principio básico aplicado a los cuadrados mágicos es generar aleatoriamente matrices n × n de elementos del 1 al n ² y verificar si el resultado es un cuadrado mágico. Luego se utiliza la probabilidad de que una matriz de números generada aleatoriamente sea un cuadrado mágico para aproximar el número de cuadrados mágicos. ^[68]

Versiones más complejas del método de Monte Carlo, como el método de Monte Carlo de intercambio y el método de Monte Carlo de retroceso, han producido estimaciones aún más precisas. Con estos métodos se ha demostrado que la probabilidad de cuadrados mágicos disminuye rápidamente a medida que n aumenta. Con el uso de funciones de ajuste se obtienen las curvas que se ven a la derecha.

• La suma de dos cuadrados mágicos cualesquiera del mismo orden mediante la adición de matrices es un cuadrado mágico.
• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando todos sus números sufren la misma transformación lineal (es decir, una función de la forma f ( x ) = m x + b ). Por ejemplo, un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus números se multiplican por cualquier constante. ^[69] Además, un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se suma o resta una constante a sus números, o si sus números se restan de una constante. En particular, si cada elemento de un cuadrado mágico normal de orden se resta de , se obtiene el complemento del cuadrado original. ^[69] En el ejemplo siguiente, cada elemento del cuadrado mágico de la izquierda se resta de 17 para obtener el cuadrado mágico complementario de la derecha.${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}+1}$

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se transforma por cualquier elemento de D ₄ , el grupo de simetría de un cuadrado (véase Grupo diedro de orden 8 § El grupo de simetría de un cuadrado: grupo diedro de orden 8 ). Cada combinación de una o más rotaciones de 90 grados, reflexiones o ambas produce ocho cuadrados trivialmente distintos que generalmente se consideran equivalentes. Se dice que los ocho cuadrados de este tipo forman una única clase de equivalencia . ^{[70] [69]} Los ocho cuadrados mágicos equivalentes para el cuadrado mágico 3×3 se muestran a continuación:

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando tanto sus filas como sus columnas se permutan simétricamente por tal que para . Cada permutación de las filas o columnas conserva todas las sumas de filas y columnas, pero generalmente no las dos sumas diagonales. Si se aplica la misma permutación tanto a las filas como a las columnas, entonces el elemento diagonal en fila y columna se asigna a la fila y columna que está en la misma diagonal; por lo tanto, aplicar la misma permutación a filas y columnas conserva la suma diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha). Si la permutación es simétrica como se describe, entonces el elemento diagonal en fila y columna se asigna a la fila y columna que está en la misma diagonal; por lo tanto, aplicar la misma permutación simétrica tanto a filas como a columnas conserva ambas sumas diagonales. Para pares , existen tales permutaciones simétricas, y para impares. En el ejemplo siguiente, el cuadrado mágico original de la izquierda tiene sus filas y columnas permutadas simétricamente por dando como resultado el cuadrado mágico de la derecha.${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)+p(n+1-i)=n+1}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n+1-i}$${\displaystyle p(i)}$${\displaystyle p(n+1-i)=n+1-p(i)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)!}$${\displaystyle 2^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (4,6,5,2,1,3)}$

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando se intercambian las filas y y las columnas y porque se trata de una permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. ^{[69] [48]} En el ejemplo siguiente, el cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las filas y columnas 1 y 4 del cuadrado original de la izquierda.${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n+1-i)}$

• Un cuadrado mágico de orden sigue siendo mágico cuando se intercambian las filas y , se intercambian las filas y , se intercambian las columnas y , y se intercambian las columnas y , porque se trata de otra permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. En el ejemplo siguiente, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido mediante esta transformación. En el cuadrado del medio, se han intercambiado las filas 1 y 2 y las filas 3 y 4. El cuadrado final de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 2 y las columnas 3 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo en particular, esta transformación rota los cuadrantes 180 grados. El cuadrado del medio también es mágico porque el cuadrado original es asociativo.${\displaystyle n}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle (n+1-j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (n+1-i)}$${\displaystyle (n+1-j)}$${\displaystyle i<j<{\frac {n+1}{2}}}$

• Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus cuadrantes se intercambian diagonalmente porque esta es otra permutación simétrica de la forma descrita anteriormente. Para el orden par , permutar las filas y columnas mediante la permutación donde para , y para . Para el orden impar , permutar las filas y columnas mediante la permutación donde para , y para . Para el cuadrado de orden impar, las mitades de la fila y columna centrales también se intercambian. ^[69] A continuación se ofrecen ejemplos de cuadrados mágicos de orden 4 y 5:${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle i\leq {\frac {n}{2}}}$${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle i>{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(i)=i+{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle i<{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle p(i)=i-{\frac {n+1}{2}}}$${\displaystyle i>{\frac {n+1}{2}}}$

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando se intercambian dos filas o columnas equidistantes del centro. ^{[71] [72]} Para un cuadrado par, hay n /2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; por lo tanto, se pueden obtener 2 ^{n /2} × 2 ^{n /2} = 2 ⁿ cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n - 1)/2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; y 2 ^{​​n -1} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos combinando dichos intercambios. Intercambiar todas las filas voltea el cuadrado verticalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje horizontal), mientras que intercambiar todas las columnas voltea el cuadrado horizontalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje vertical). En el ejemplo siguiente, un cuadrado mágico asociativo de 4 × 4 a la izquierda se transforma en un cuadrado a la derecha intercambiando la segunda y la tercera fila, lo que produce el famoso cuadrado mágico de Durero.

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando se intercambian dos filas (o columnas) del mismo lado junto con las filas (o columnas) correspondientes del otro lado. ^{[71] [72]} Para un cuadrado par, dado que hay n /2 filas (o columnas) del mismo lado, hay n ( n - 2)/8 pares de tales filas (o columnas) que se pueden intercambiar. Por lo tanto, se pueden obtener 2 ^{n ( n -2)/8} × 2 ^{n ( n -2)/8} = 2 ^{n ( n -2)/4} cuadrados mágicos equivalentes combinando tales intercambios. Para un cuadrado impar, dado que hay ( n - 1)/2 filas o columnas del mismo lado, hay ( n - 1)( n - 3)/8 pares de tales filas o columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} × 2 ^{( n - 1)( n - 3)/8} = 2 ^{( n - 1)( n - 3)/4} cuadrados mágicos equivalentes obtenidos al combinar dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas del mismo lado, se invierte cada cuadrante del cuadrado verticalmente, mientras que al intercambiar todas las columnas del mismo lado, se invierte cada cuadrante del cuadrado horizontalmente. En el ejemplo siguiente, el cuadrado original está a la izquierda, cuyas filas 1 y 2 se intercambian entre sí, junto con las filas 3 y 4, para obtener el cuadrado transformado a la derecha.

• Un cuadrado mágico asociativo sigue siendo asociativo cuando sus entradas se reemplazan con números correspondientes de un conjunto de s progresiones aritméticas con la misma diferencia común entre r términos, tales que r × s = n ² , y cuyos términos iniciales también están en progresión aritmética, para obtener un cuadrado mágico no normal. Aquí, s o r deben ser múltiplos de n . Tengamos s progresiones aritméticas dadas por

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}a&a+c&a+2c&\cdots &a+(r-1)c\\a+d&a+c+d&a+2c+d&\cdots &a+(r-1)c+d\\a+2d&a+c+2d&a+2c+2d&\cdots &a+(r-1)c+2d\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a+(s-1)d&a+c+(s-1)d&a+2c+(s-1)d&\cdots &a+(r-1)c+(s-1)d\\\end{array}}}$

donde a es el término inicial, c es la diferencia común de las progresiones aritméticas y d es la diferencia común entre los términos iniciales de cada progresión. La nueva constante mágica será

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}{\big [}(r-1)c+(s-1)d{\big ]}.}$

Si s = r = n , entonces sigue la simplificación

${\displaystyle M=na+{\frac {n}{2}}(n-1)(c+d).}$

Con a = c = 1 y d = n , se obtiene el habitual M = n ( n ² +1)/2 . Para M dado, los a , c y d requeridos se pueden encontrar resolviendo la ecuación diofántica lineal . En los ejemplos siguientes, hay cuadrados mágicos normales de orden 4 en el lado más a la izquierda. El segundo cuadrado es un cuadrado mágico no normal correspondiente con r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 y d = 10 de modo que la nueva constante mágica es M = 38. El tercer cuadrado es un cuadrado mágico normal de orden 5, que es una versión rotada 90 grados en el sentido de las agujas del reloj del cuadrado generado por el método de De la Loubere. En el lado más a la derecha hay un cuadrado mágico no normal correspondiente con a = 4, c = 1 y d = 6 de modo que la nueva constante mágica es M = 90.

• Un cuadrado mágico pandiagonal sigue siendo un cuadrado mágico pandiagonal bajo un desplazamiento cíclico de filas o columnas o de ambas. ^[69] Esto nos permite posicionar un número dado en cualquiera de las n ² celdas de un cuadrado de orden n . Por lo tanto, para un cuadrado panmágico dado, hay n ² cuadrados panmágicos equivalentes. En el ejemplo siguiente, el cuadrado original de la izquierda se transforma desplazando la primera fila hacia abajo para obtener un nuevo cuadrado panmágico en el medio. A continuación, la 1.ª y la 2.ª columna del cuadrado panmágico del medio se desplazan circularmente hacia la derecha para obtener un nuevo cuadrado panmágico a la derecha.

• Un cuadrado mágico con borde sigue siendo un cuadrado mágico con borde después de permutar las celdas del borde en las filas o columnas, junto con sus términos complementarios correspondientes, manteniendo fijas las celdas de las esquinas. Dado que las celdas en cada fila y columna de cada borde concéntrico se pueden permutar independientemente, cuando el orden n ≥ 5 es impar, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) ² cuadrados con borde equivalentes. Cuando n ≥ 6 es par, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) ² cuadrados con borde equivalentes. En el ejemplo siguiente, se da un cuadrado de orden 5 cuya fila del borde se ha permutado y se pueden obtener (3!) ^{2 = 36 de dichos cuadrados equivalentes.}

• Un cuadrado mágico con borde sigue siendo un cuadrado mágico con borde después de que cada uno de sus bordes concéntricos se rota o refleja de forma independiente con respecto al cuadrado mágico central. Si hay b bordes, esta transformación producirá 8 ^b cuadrados equivalentes. En el ejemplo siguiente del cuadrado mágico de 5x5, el borde se ha rotado 90 grados en sentido antihorario.

• Un cuadrado mágico compuesto sigue siendo un cuadrado mágico compuesto cuando los cuadrados mágicos incrustados experimentan transformaciones que no alteran la propiedad mágica (por ejemplo, rotación, reflexión, desplazamiento de filas y columnas, etc.).

A lo largo de los milenios se han descubierto muchas formas de construir cuadrados mágicos. Estos métodos se pueden clasificar como métodos generales y métodos especiales, en el sentido de que los métodos generales nos permiten construir más de un cuadrado mágico de un orden determinado, mientras que los métodos especiales nos permiten construir solo un cuadrado mágico de un orden determinado. Los métodos especiales son algoritmos específicos, mientras que los métodos generales pueden requerir algo de ensayo y error.

Los métodos especiales son las formas más sencillas de construir cuadrados mágicos. Siguen ciertos algoritmos que generan patrones regulares de números en un cuadrado. La exactitud de estos métodos especiales se puede demostrar utilizando uno de los métodos generales que se dan en secciones posteriores. Después de que se ha construido un cuadrado mágico utilizando un método especial, las transformaciones descritas en la sección anterior se pueden aplicar para producir más cuadrados mágicos. Los métodos especiales suelen mencionarse utilizando el nombre del autor (si se conoce) que describió el método, por ejemplo, el método de De la Loubere, el método de Starchey, el método de Bachet, etc.

Se cree que existen cuadrados mágicos para todos los órdenes, excepto para el orden 2. Los cuadrados mágicos se pueden clasificar según su orden como impares, doblemente pares ( n divisible por cuatro) y simplemente pares ( n par, pero no divisible por cuatro). Esta clasificación se basa en el hecho de que se deben emplear técnicas completamente diferentes para construir estos diferentes tipos de cuadrados. Los cuadrados mágicos impares y doblemente pares son fáciles de generar; la construcción de cuadrados mágicos simplemente pares es más difícil, pero existen varios métodos, incluido el método LUX de John Horton Conway para cuadrados mágicos y el método Strachey para cuadrados mágicos .

En el siglo XIX, Édouard Lucas ideó la fórmula general de los cuadrados mágicos de orden 3. Consideremos la siguiente tabla formada por los números enteros positivos a , b y c :

Estos nueve números serán enteros positivos distintos que forman un cuadrado mágico con la constante mágica 3 c siempre que 0 < a < b < c − a y b ≠ 2 a . Además, todo cuadrado mágico 3×3 de enteros positivos distintos tiene esta forma.

En 1997, Lee Sallows descubrió que, dejando de lado las rotaciones y las reflexiones, cada paralelogramo distinto dibujado en el diagrama de Argand define un cuadrado mágico único de 3×3, y viceversa, un resultado que nunca antes se había observado. ^[70]

Un método para construir cuadrados mágicos de orden impar fue publicado por el diplomático francés de la Loubère en su libro, Una nueva relación histórica del reino de Siam (Du Royaume de Siam, 1693), en el capítulo titulado El problema del cuadrado mágico según los indios . ^[73] El método funciona de la siguiente manera:

El método prescribe comenzar en la columna central de la primera fila con el número 1. Después de eso, el movimiento fundamental para llenar los cuadrados es diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha, un paso a la vez. Si un cuadrado se llena con un múltiplo del orden n , uno se mueve verticalmente hacia abajo un cuadrado, luego continúa como antes. Cuando un movimiento "hacia arriba y hacia la derecha" dejaría el cuadrado, se envuelve hasta la última fila o la primera columna, respectivamente.

Es posible empezar desde otros cuadrados en lugar de la columna central de la primera fila, pero entonces solo las sumas de las filas y las columnas serán idénticas y darán como resultado una suma mágica, mientras que las sumas diagonales serán diferentes. El resultado será, por tanto, un cuadrado semimágico y no un cuadrado mágico verdadero. Moverse en direcciones distintas a la del noreste también puede dar como resultado cuadrados mágicos.

Doblemente par significa que n es un múltiplo par de un entero par; o 4 p (por ejemplo, 4, 8, 12), donde p es un entero.

Patrón genérico Todos los números se escriben en orden de izquierda a derecha en cada fila, comenzando por la esquina superior izquierda. Luego, los números se mantienen en el mismo lugar o se intercambian con sus números diametralmente opuestos en un patrón regular determinado. En el cuadrado mágico de orden cuatro, los números en los cuatro cuadrados centrales y un cuadrado en cada esquina se mantienen en el mismo lugar y los demás se intercambian con sus números diametralmente opuestos.

Construcción de un cuadrado mágico de orden 4 Empezando desde la parte superior izquierda, recorra de izquierda a derecha cada fila del cuadrado, contando cada celda del 1 al 16 y llenando las celdas a lo largo de las diagonales con su número correspondiente. Una vez que llegue a la celda inferior derecha, continúe yendo de derecha a izquierda, comenzando desde la parte inferior derecha de la tabla a través de cada fila, y complete las celdas no diagonales contando del 1 al 16 con su número correspondiente. Como se muestra a continuación:

Una extensión del ejemplo anterior para los órdenes 8 y 12 Primero genere una tabla de patrones, donde un '1' indica seleccionar del cuadrado donde los números están escritos en orden 1 a n ² (de izquierda a derecha, de arriba a abajo), y un '0' indica seleccionar del cuadrado donde los números están escritos en orden inverso n ² a 1. Para M = 4, la tabla de patrones es como se muestra a continuación (tercera matriz desde la izquierda). Con las celdas inalteradas (celdas con '1') sombreadas, se obtiene un patrón entrecruzado.

Los patrones son a) hay igual número de '1' y '0' en cada fila y columna; b) cada fila y cada columna son "palindrómicas"; c) las mitades izquierda y derecha son imágenes especulares; y d) las mitades superior e inferior son imágenes especulares (c y d implican b). La tabla de patrones se puede denotar usando hexadecimales como (9, 6, 6, 9) para simplificar (1 nibble por fila, 4 filas). El método más simple de generar el patrón requerido para cuadrados doblemente pares de orden superior es copiar el patrón genérico para el cuadrado de cuarto orden en cada subcuadrado de cuatro por cuatro.

Para M = 8, las posibles opciones para el patrón son (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 mordiscos por fila, 8 filas).

Para M = 12, la tabla de patrones (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) produce un cuadrado mágico (3 nibbles por fila, 12 filas). Es posible contar la cantidad de opciones que uno tiene basándose en la tabla de patrones, teniendo en cuenta las simetrías rotacionales.

El primer descubrimiento del método de superposición lo realizó el matemático indio Narayana en el siglo XIV. El mismo método fue redescubierto y estudiado posteriormente en Europa a principios del siglo XVIII por de la Loubere, Poignard, de La Hire y Sauveur; y el método suele denominarse método de de la Hire. Aunque el trabajo de Euler sobre el cuadrado mágico no era original, es famoso por su conjetura sobre la imposibilidad de construir cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales ordenados con números pares impares . Esta conjetura fue refutada a mediados del siglo XX. Para mayor claridad de la exposición, se pueden distinguir dos variaciones importantes de este método.

Este método consiste en construir dos cuadrados preliminares, que al sumarse dan el cuadrado mágico. Como ejemplo práctico, se considera un cuadrado mágico de 3×3. Cada número del cuadrado natural de 3×3 por un par de números se puede etiquetar como

donde cada par de alfabetos griego y latino, p. ej. αa , se deben sumar, es decir αa = α + a . Aquí, ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) y ( a , b , c ) = (1, 2, 3). Los números 0, 3 y 6 se denominan números raíz, mientras que los números 1, 2 y 3 se denominan números primarios . Una restricción general importante aquí es

• Una letra griega se empareja con una letra latina solo una vez .

De esta forma, el cuadrado original se puede dividir ahora en dos cuadrados más simples:

Los cuadrados con letras se denominan cuadrados griegos o cuadrados latinos si están llenos de letras griegas o latinas, respectivamente. Se puede construir un cuadrado mágico asegurándose de que los cuadrados griegos y latinos también sean cuadrados mágicos. La inversa de esta afirmación también es a menudo, pero no siempre (por ejemplo, cuadrados mágicos con borde), cierta: un cuadrado mágico se puede descomponer en un cuadrado griego y un cuadrado latino, que son a su vez cuadrados mágicos. Por lo tanto, el método es útil tanto para la síntesis como para el análisis de un cuadrado mágico. Por último, al examinar el patrón en el que se disponen los números en el cuadrado terminado, a menudo es posible idear un algoritmo más rápido para construir cuadrados de orden superior que repliquen el patrón dado, sin la necesidad de crear los cuadrados griegos y latinos preliminares.

Durante la construcción del cuadrado mágico 3×3, los cuadrados griego y latino con solo tres términos únicos son mucho más fáciles de manejar que el cuadrado original con nueve términos diferentes. La suma de las filas y la suma de las columnas del cuadrado griego serán las mismas, α + β + γ , si

• Cada letra aparece exactamente una vez en una columna o fila determinada .

Esto se puede lograr mediante la permutación cíclica de α , β y γ . La satisfacción de estas dos condiciones garantiza que el cuadrado resultante sea un cuadrado semimágico; y se dice que estos cuadrados griegos y latinos son mutuamente ortogonales entre sí. Para un orden dado n , hay como máximo n - 1 cuadrados en un conjunto de cuadrados mutuamente ortogonales, sin contar las variaciones debidas a la permutación de los símbolos. Este límite superior es exacto cuando n es un número primo.

Para construir un cuadrado mágico, también debemos asegurarnos de que las diagonales sumen una constante mágica. Para ello, tenemos una tercera condición:

• o bien todas las letras deben aparecer exactamente una vez en ambas diagonales; o en el caso de cuadrados ordenados impares, una de las diagonales debe consistir enteramente en el término medio, mientras que la otra diagonal debe tener todas las letras exactamente una vez .

Los cuadrados griegos y latinos mutuamente ortogonales que satisfacen la primera parte de la tercera condición (que todas las letras aparezcan en ambas diagonales) se dicen que son cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales .

Cuadrados impares: Para el cuadrado impar 3×3, como α , β y γ están en progresión aritmética, su suma es igual al producto del orden del cuadrado por el término medio, es decir α + β + γ = 3 β . Por lo tanto, las sumas diagonales serán iguales si tenemos β s en la diagonal principal y α , β , γ en la diagonal oblicua. De manera similar, para el cuadrado latino. Los cuadrados griego y latino resultantes y su combinación serán los siguientes. El cuadrado latino es simplemente una rotación de 90 grados en sentido antihorario del cuadrado griego (o equivalentemente, volteándolo sobre el eje vertical) con las letras correspondientes intercambiadas. Sustituir los valores de las letras griegas y latinas dará como resultado el cuadrado mágico 3×3.

En el caso de los cuadrados impares, este método explica por qué funcionan el método siamés (método de De la Loubere) y sus variantes. Este método básico se puede utilizar para construir cuadrados mágicos impares ordenados de órdenes superiores. En resumen:

• Para los cuadrados de orden impar, para construir un cuadrado griego, se coloca el término del medio a lo largo de la diagonal principal y el resto de los términos a lo largo de la diagonal oblicua. Las celdas vacías restantes se llenan con movimientos diagonales. El cuadrado latino se puede construir rotando o volteando el cuadrado griego y reemplazando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griego y latino.

Una peculiaridad del método de construcción dado anteriormente para los cuadrados mágicos impares es que el número medio ( n ² + 1)/2 siempre aparecerá en la celda central del cuadrado mágico. Como hay ( n - 1)! formas de ordenar los términos de la diagonal oblicua, podemos obtener ( n - 1)! cuadrados griegos de esta manera; lo mismo con los cuadrados latinos. Además, como cada cuadrado griego puede emparejarse con ( n - 1)! cuadrados latinos, y como para cada cuadrado griego el término medio puede ubicarse arbitrariamente en la diagonal principal o en la diagonal oblicua (y correspondientemente a lo largo de la diagonal oblicua o la diagonal principal para los cuadrados latinos), podemos construir un total de 2 × ( n - 1)! × ( n - 1)! cuadrados mágicos usando este método. Para n = 3, 5 y 7, esto dará 8, 1152 y 1.036.800 cuadrados mágicos diferentes, respectivamente. Dividiendo por 8 para descuidar los cuadrados equivalentes debidos a la rotación y las reflexiones, obtenemos 1, 144 y 129,600 cuadrados mágicos esencialmente diferentes, respectivamente.

Como otro ejemplo, se da la construcción de un cuadrado mágico de 5x5. Los números se escriben directamente en lugar de las letras. Los cuadrados numerados se denominan cuadrado primario o cuadrado raíz si están llenos de números primarios o números raíz, respectivamente. Los números se colocan sobre la diagonal oblicua en el cuadrado raíz de modo que la columna central del cuadrado raíz resultante tenga 0, 5, 10, 15, 20 (de abajo hacia arriba). El cuadrado primario se obtiene rotando el cuadrado raíz en sentido antihorario 90 grados y reemplazando los números. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico asociativo, en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor, 26. Por ejemplo, 16+10, 3+23, 6+20, etc. En el cuadrado terminado, se coloca 1 en la celda central de la fila inferior y los números sucesivos se colocan mediante un movimiento alargado del caballo (dos celdas a la derecha, dos celdas hacia abajo) o, equivalentemente, el movimiento del alfil (dos celdas en diagonal hacia abajo a la derecha). Cuando se produce una colisión, el movimiento de ruptura consiste en desplazarse una casilla hacia arriba. Todos los números impares se encuentran dentro del rombo central formado por 1, 5, 25 y 21, mientras que los números pares se colocan en las esquinas. La aparición de los números pares se puede deducir copiando el cuadrado a los lados adyacentes. Los números pares de cuatro cuadrados adyacentes formarán una cruz.

A continuación se muestra una variación del ejemplo anterior, en el que la secuencia diagonal oblicua se toma en un orden diferente. El cuadrado mágico resultante es la versión invertida del famoso cuadrado mágico de Marte de Agripa. Es un cuadrado mágico asociativo y es el mismo que el producido por el método de Moschopoulos. Aquí el cuadrado resultante comienza con un 1 colocado en la celda que está a la derecha de la celda central y procede como el método de De la Loubere, con un movimiento de abajo a derecha. Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura consiste en desplazar dos celdas hacia la derecha.

En los ejemplos anteriores, para el cuadrado griego, la segunda fila se puede obtener a partir de la primera fila desplazándola circularmente una celda hacia la derecha. De manera similar, la tercera fila es una versión desplazada circularmente de la segunda fila una celda hacia la derecha, y así sucesivamente. Asimismo, las filas del cuadrado latino se desplazan circularmente una celda hacia la izquierda. Los desplazamientos de fila para los cuadrados griego y latino son en direcciones opuestas entre sí. Es posible desplazar circularmente las filas más de una celda para crear el cuadrado griego y latino.

• Para los cuadrados de orden impar, cuyo orden no es divisible por tres, podemos crear los cuadrados griegos desplazando una fila dos lugares hacia la izquierda o hacia la derecha para formar la siguiente fila. El cuadrado latino se forma girando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes. Esto nos da un cuadrado latino cuyas filas se crean desplazando la fila en la dirección opuesta a la del cuadrado griego. Un cuadrado griego y un cuadrado latino deben emparejarse de manera que sus desplazamientos de fila estén en direcciones opuestas entre sí. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griego y latino. Cuando el orden también resulta ser un número primo, este método siempre crea un cuadrado mágico pandiagonal.

Esto recrea esencialmente el movimiento del caballo. Todas las letras aparecerán en ambas diagonales, lo que garantiza una suma diagonal correcta. Dado que hay n ! permutaciones de las letras griegas con las que podemos crear la primera fila del cuadrado griego, hay n ! cuadrados griegos que se pueden crear desplazando la primera fila en una dirección. Del mismo modo, hay n ! cuadrados latinos creados desplazando la primera fila en la dirección opuesta. Dado que un cuadrado griego se puede combinar con cualquier cuadrado latino con desplazamientos de fila opuestos, hay n ! × n ! combinaciones de este tipo. Por último, dado que el cuadrado griego se puede crear desplazando las filas hacia la izquierda o hacia la derecha, hay un total de 2 × n ! × n ! cuadrados mágicos que se pueden formar con este método. Para n = 5 y 7, dado que son números primos, este método crea 28.800 y 50.803.200 cuadrados mágicos pandiagonales. Dividiendo por 8 para ignorar los cuadrados equivalentes debidos a la rotación y las reflexiones, obtenemos 3.600 y 6.350.400 cuadrados equivalentes. Dividiendo por n ² para ignorar los cuadrados panmágicos equivalentes debido al desplazamiento cíclico de filas o columnas, obtenemos 144 y 129.600 cuadrados panmágicos esencialmente diferentes. Para los cuadrados de orden 5, estos son los únicos cuadrados panmágicos que existen. La condición de que el orden del cuadrado no sea divisible por 3 significa que no podemos construir cuadrados de órdenes 9, 15, 21, 27, etc., mediante este método.

En el ejemplo siguiente, el cuadrado se ha construido de forma que el 1 se encuentra en la celda central. En el cuadrado terminado, los números se pueden enumerar de forma continua mediante el movimiento del caballo (dos celdas hacia arriba, una celda a la derecha). Cuando se produce una colisión, el movimiento de ruptura consiste en mover una celda hacia arriba y una celda a la izquierda. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico pandiagonal. Este cuadrado también tiene otra propiedad diabólica: cualesquiera cinco celdas en patrón quincuncial formadas por cualquier subcuadrado impar, incluido el envolvente, suman la constante mágica, 65. Por ejemplo, 13+7+1+20+24, 23+1+9+15+17, 13+21+10+19+2, etc. Además, las cuatro esquinas de cualquier cuadrado de 5 × 5 y la celda central, así como las celdas del medio de cada lado junto con la celda central, incluido el envolvente, dan la suma mágica: 13+10+19+22+1 y 20+24+12+8+1. Por último los cuatro romboides que forman cruces alargadas también dan la suma mágica: 23+1+9+24+8, 15+1+17+20+12, 14+1+18+13+19, 7+1+25+22+10.

También podemos combinar los cuadrados griegos y latinos construidos por diferentes métodos. En el ejemplo siguiente, el cuadrado primario se forma utilizando el movimiento del caballo. Hemos recreado el cuadrado mágico obtenido por el método de De la Loubere. Como antes, podemos formar 8 × ( n - 1)! × n ! cuadrados mágicos mediante esta combinación. Para n = 5 y 7, esto creará 23.040 y 29.030.400 cuadrados mágicos. Después de dividir por 8 para descuidar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y la reflexión, obtenemos 2.880 y 3.628.800 cuadrados.

Para los cuadrados de orden 5, estos tres métodos dan un censo completo del número de cuadrados mágicos que se pueden construir mediante el método de superposición. Despreciando la rotación y las reflexiones, el número total de cuadrados mágicos de orden 5 producidos por el método de superposición es 144 + 3600 + 2880 = 6624.

Cuadrados pares: También podemos construir cuadrados pares ordenados de esta manera. Como no existe un término medio entre los alfabetos griego y latino para los cuadrados pares ordenados, además de las dos primeras restricciones, para que las sumas diagonales den como resultado la constante mágica, todas las letras del alfabeto deben aparecer en la diagonal principal y en la diagonal oblicua.

A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado de 4 × 4. Para la diagonal y la diagonal oblicua dadas en el cuadrado griego, el resto de las celdas se pueden completar utilizando la condición de que cada letra aparezca solo una vez en una fila y una columna.

Usando estos dos cuadrados grecolatinos, podemos construir 2 × 4! × 4! = 1,152 cuadrados mágicos. Dividiendo por 8 para eliminar los cuadrados equivalentes debidos a la rotación y las reflexiones, obtenemos 144 cuadrados mágicos esencialmente diferentes de orden 4. Estos son los únicos cuadrados mágicos que se pueden construir por el método de Euler, ya que solo hay dos cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales de orden 4.

De manera similar, se puede construir un cuadrado mágico de 8×8 como el que se muestra a continuación. En este caso, el orden de aparición de los números no es importante; sin embargo, los cuadrantes imitan el patrón de disposición de los cuadrados grecolatinos de 4×4.

El método de Euler ha dado origen al estudio de los cuadrados grecolatinos . El método de Euler para construir cuadrados mágicos es válido para cualquier orden excepto 2 y 6.

Variaciones : Los cuadrados mágicos construidos a partir de cuadrados grecolatinos doblemente diagonales y ortogonales entre sí son interesantes en sí mismos, ya que la propiedad mágica surge de la posición relativa de las letras en el cuadrado, y no de ninguna propiedad aritmética del valor asignado a ellas. Esto significa que podemos asignar cualquier valor a las letras de dichos cuadrados y aún así obtener un cuadrado mágico. Esta es la base para construir cuadrados que muestren cierta información (por ejemplo, cumpleaños, años, etc.) en el cuadrado y para crear "cuadrados reversibles". Por ejemplo, podemos mostrar el número π ≈3.141 592 en la fila inferior de un cuadrado mágico de 4×4 utilizando el cuadrado grecolatino dado anteriormente asignando ( α , β , γ , δ ) = (10, 0, 90, 15) y ( a , b , c , d ) = (0, 2, 3, 4). Obtendremos el siguiente cuadrado mágico no normal con la suma mágica 124:

El método de Narayana-De la Hire para los cuadrados impares es el mismo que el de Euler. Sin embargo, para los cuadrados pares, eliminamos el segundo requisito de que cada letra griega y latina aparezca solo una vez en una fila o columna dada. Esto nos permite aprovechar el hecho de que la suma de una progresión aritmética con un número par de términos es igual a la suma de dos términos simétricos opuestos multiplicada por la mitad del número total de términos. Por lo tanto, al construir los cuadrados griegos o latinos,

• Para cuadrados ordenados pares, una letra puede aparecer n /2 veces en una columna pero sólo una vez en una fila, o viceversa.

Como ejemplo, si tomamos un cuadrado de 4×4, donde los términos griegos y latinos tienen los valores ( α , β , γ , δ ) = (0, 4, 8, 12) y ( a , b , c , d ) = (1, 2, 3, 4), respectivamente, entonces tenemos α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ). De manera similar, a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ). Esto significa que el par complementario α y δ (o β y γ ) puede aparecer dos veces en una columna (o fila) y aún así dar la suma mágica deseada. Por lo tanto, podemos construir:

• Para los cuadrados ordenados uniformemente, el cuadrado mágico griego se forma colocando primero los alfabetos griegos a lo largo de la diagonal principal en algún orden. Luego, la diagonal oblicua se llena en el mismo orden o eligiendo los términos que son complementarios a los términos de la diagonal principal. Finalmente, las celdas restantes se llenan columna por columna. Dada una columna, usamos los términos complementarios en las celdas diagonales intersectadas por esa columna, asegurándonos de que aparezcan solo una vez en una fila dada, pero n /2 veces en la columna dada. El cuadrado latino se obtiene volteando o rotando el cuadrado griego e intercambiando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico final se obtiene sumando los cuadrados griego y latino.

En el ejemplo que se muestra a continuación, la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) se rellena con una secuencia ordenada como α , β , γ , δ , mientras que la diagonal oblicua (de abajo a la izquierda a arriba a la derecha) se rellena en el mismo orden. Las celdas restantes se rellenan columna por columna de modo que las letras complementarias aparezcan solo una vez dentro de una fila, pero dos veces dentro de una columna. En la primera columna, dado que α aparece en la primera y cuarta fila, las celdas restantes se rellenan con su término complementario δ . De manera similar, las celdas vacías en la segunda columna se rellenan con γ ; en la tercera columna, β ; y en la cuarta columna, α . Cada letra griega aparece solo una vez a lo largo de las filas, pero dos veces a lo largo de las columnas. Como tal, las sumas de las filas son α + β + γ + δ mientras que las sumas de las columnas son 2 ( α + δ ) o 2 ( β + γ ). Lo mismo ocurre con el cuadrado latino, que se obtiene invirtiendo el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes.

El ejemplo anterior explica por qué funciona el método de "entrecruzamiento" para el cuadrado mágico doblemente par. Otro posible cuadrado mágico de 4×4, que también es pandiagonal y el más perfecto, se construye a continuación utilizando la misma regla. Sin embargo, la secuencia diagonal se elige de modo que las cuatro letras α , β , γ y δ aparezcan dentro del subcuadrado central de 2×2. Las celdas restantes se llenan columna por columna de modo que cada letra aparezca solo una vez dentro de una fila. En la primera columna, las celdas vacías deben llenarse con una de las letras seleccionadas del par complementario α y δ . Dada la primera columna, la entrada en la segunda fila solo puede ser δ ya que α ya está allí en la segunda fila; mientras que, en la tercera fila, la entrada solo puede ser α ya que δ ya está presente en la tercera fila. Procedemos de manera similar hasta que se llenan todas las celdas. El cuadrado latino que se muestra a continuación se ha obtenido invirtiendo el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal y reemplazando los alfabetos griegos con los alfabetos latinos correspondientes.

También podemos utilizar este método para construir cuadrados mágicos pares. Sin embargo, en este caso debemos ser más cuidadosos, ya que el criterio de emparejar de forma única los alfabetos griego y latino no se cumple automáticamente. La violación de esta condición hace que falten algunos números en el cuadrado final, mientras que otros se duplican. Por lo tanto, aquí hay una salvedad importante:

• Para los cuadrados pares simples, en el cuadrado griego, se comprueban las celdas de las columnas que están emparejadas verticalmente con su complemento. En tal caso, la celda correspondiente del cuadrado latino debe contener la misma letra que su celda emparejada horizontalmente.

A continuación se muestra una construcción de un cuadrado mágico de 6x6, donde los números se dan directamente, en lugar de las letras. El segundo cuadrado se construye invirtiendo el primer cuadrado a lo largo de la diagonal principal. Aquí, en la primera columna del cuadrado raíz, la tercera celda se empareja con su complemento en la cuarta celda. Por lo tanto, en el cuadrado principal, los números en la primera y sexta celda de la tercera fila son iguales. Lo mismo ocurre con otras columnas y filas. En este ejemplo, la versión invertida del cuadrado raíz satisface esta condición.

A continuación se ofrece otro ejemplo de un cuadrado mágico de 6×6 construido de esta manera. En este caso, las entradas diagonales están dispuestas de forma diferente. El cuadrado principal se construye invirtiendo el cuadrado raíz sobre la diagonal principal. En el segundo cuadrado, no se cumple la condición de que sea un cuadrado par, lo que da lugar a un cuadrado mágico no normal (tercer cuadrado) en el que los números 3, 13, 24 y 34 están duplicados, mientras que faltan los números 4, 18, 19 y 33.

La última condición es un poco arbitraria y puede que no siempre sea necesario invocarla, como en este ejemplo, donde en el cuadrado raíz cada celda está emparejada verticalmente con su complemento:

Como ejemplo más, hemos generado un cuadrado mágico de 8×8. A diferencia del patrón entrecruzado de la sección anterior para cuadrados de números pares, aquí tenemos un patrón cuadriculado para las celdas modificadas y no modificadas. Además, en cada cuadrante los números pares e impares aparecen en columnas alternadas.

Variaciones : Son posibles varias variaciones de la idea básica: un par complementario puede aparecer n /2 veces o menos en una columna . Es decir, una columna de un cuadrado griego puede construirse utilizando más de un par complementario. Este método nos permite dotar al cuadrado mágico de propiedades mucho más ricas. La idea también puede extenderse a las diagonales. A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado mágico de 8×8. En el cuadrado terminado, cada uno de los cuatro cuadrantes son también cuadrados panmágicos, cada cuadrante con la misma constante mágica 130.

En este método, el objetivo es envolver un borde alrededor de un cuadrado mágico más pequeño que sirve como núcleo. Consideremos el cuadrado 3×3 como ejemplo. Restando el número central 5 de cada número 1, 2, ..., 9, obtenemos 0, ± 1, ± 2, ± 3 y ± 4, a los que, a falta de mejores palabras, siguiendo a S. Harry White, nos referiremos como números de hueso. La constante mágica de un cuadrado mágico, al que nos referiremos como el cuadrado esqueleto, formado por estos números de hueso será cero, ya que al sumar todas las filas de un cuadrado mágico se obtendrá nM = Σ k = 0; por lo tanto, M = 0.

No es difícil argumentar que el número del medio debería colocarse en la celda central: sea x el número colocado en la celda del medio, entonces la suma de la columna del medio, la fila del medio y las dos diagonales da Σ k + 3 x = 4 M . Como Σ k = 3 M , tenemos x = M / 3. Aquí M = 0, entonces x = 0.

Si colocamos el número 0 del medio en la celda central, queremos construir un borde de modo que el cuadrado resultante sea mágico. Sea el borde dado por:

Como la suma de cada fila, columna y diagonales debe ser una constante (que es cero), tenemos

a + a* = 0,

b + b* = 0,

u + u* = 0,

v + v* = 0.

Ahora bien, si hemos elegido a , b , u y v , entonces tenemos a* = - a , b* = - b , u* = - u y v* = - v . Esto significa que si asignamos un número dado a una variable, digamos a = 1, entonces su complemento se asignará a a* , es decir, a* = - 1. Por tanto, de ocho variables desconocidas, es suficiente especificar el valor de solo cuatro variables. Consideraremos a , b , u y v como variables independientes, mientras que a* , b* , u* y v* como variables dependientes. Esto nos permite considerar un número de hueso ± x como un solo número independientemente del signo porque (1) su asignación a una variable dada, digamos a , implicará automáticamente que el mismo número de signo opuesto se compartirá con su complemento a* , y (2) a dos variables independientes, digamos a y b , no se les puede asignar el mismo número de hueso. Pero, ¿cómo deberíamos elegir a , b , u y v ? Tenemos la suma de la fila superior y la suma de la columna derecha como

u + a + v = 0,

v + b + u* = 0.

Como 0 es un número par, solo hay dos formas en las que la suma de tres números enteros dará como resultado un número par: 1) si los tres son pares, o 2) si dos son impares y uno es par. Como en nuestra elección de números solo tenemos dos números pares distintos de cero (± 2 y ± 4), la primera afirmación es falsa. Por lo tanto, debe ser cierto que la segunda afirmación es verdadera: que dos de los números son impares y uno par.

La única forma en que las dos ecuaciones anteriores pueden satisfacer esta condición de paridad simultáneamente, y aún así ser consistentes con el conjunto de números que tenemos, es cuando u y v son impares. Por el contrario, si hubiéramos asumido que u y a son impares y v es par en la primera ecuación, entonces u* = - u será impar en la segunda ecuación, haciendo que b también sea impar, para satisfacer la condición de paridad. Pero esto requiere tres números impares ( u , a y b ), lo que contradice el hecho de que solo tenemos dos números impares (± 1 y ± 3) que podemos usar. Esto demuestra que los números de hueso impares ocupan las celdas de las esquinas. Cuando se convierte a números normales sumando 5, esto implica que las esquinas de un cuadrado mágico de 3 × 3 están todas ocupadas por números pares.

Por lo tanto, tomando u = 1 y v = 3, tenemos a = - 4 y b = - 2. Por lo tanto, el cuadrado esqueleto terminado será como el de la izquierda. Sumando 5 a cada número, obtenemos el cuadrado mágico terminado.

Se puede utilizar un argumento similar para construir cuadrados más grandes. Dado que no existe un cuadrado mágico de 2×2 alrededor del cual podamos envolver un borde para construir un cuadrado mágico de 4×4, el siguiente orden más pequeño para el cual podemos construir un cuadrado con borde es el orden 5.

Consideremos el cuadrado de quinto orden. Para ello, tenemos un núcleo mágico de 3×3, alrededor del cual envolveremos un borde mágico. Los números de hueso que se utilizarán serán ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 y ± 12. Sin tener en cuenta los signos, tenemos 8 números de hueso, 4 de los cuales son pares y 4 de los cuales son impares. En general, para un cuadrado de cualquier orden n , habrá 4( n - 1) celdas de borde, que se rellenarán utilizando 2( n - 1) números de hueso. Sea el borde mágico dado como

Como antes, deberíamos

• Coloque un número de hueso y su complementario uno frente al otro, de modo que la suma mágica sea cero.

Es suficiente determinar los números u, v, a, b, c, d, e, f para describir el borde mágico. Como antes, tenemos las dos ecuaciones de restricción para la fila superior y la columna derecha:

u + a + b + c + v = 0

v + d + e + f + u* = 0.

Son posibles múltiples soluciones. El procedimiento estándar es:

• Primero intentamos determinar las celdas de las esquinas, después intentaremos determinar el resto del borde.

Hay 28 formas de elegir dos números del conjunto de 8 números de hueso para las celdas de las esquinas u y v . Sin embargo, no todos los pares son admisibles. Entre los 28 pares, 16 pares están formados por un número par y uno impar, 6 pares tienen ambos como números pares, mientras que 6 pares los tienen a ambos como números impares.