Vaina Debye

La vaina de Debye (también llamada vaina electrostática ) es una capa del plasma que tiene una mayor densidad de iones positivos y, por lo tanto, un exceso de carga positiva total que equilibra una carga negativa opuesta en la superficie de un material con el que está en contacto. El espesor de dicha capa es de varias longitudes de Debye , un valor cuyo tamaño depende de varias características del plasma (por ejemplo, temperatura, densidad, etc.).

Una envoltura de Debye surge en un plasma porque los electrones suelen tener una temperatura del orden de magnitud o mayor que la de los iones y son mucho más ligeros. En consecuencia, son más rápidos que los iones por al menos un factor de . Por lo tanto, en la interfaz con una superficie de material, los electrones saldrán volando del plasma, cargando la superficie de forma negativa en relación con el plasma en masa. Debido al blindaje de Debye , la longitud de escala de la región de transición será la longitud de Debye . A medida que aumenta el potencial, cada vez más electrones se reflejan en el potencial de la envoltura. Finalmente, se alcanza un equilibrio cuando la diferencia de potencial es unas pocas veces la temperatura de los electrones.${\displaystyle {\sqrt {m_{\mathrm {i} }/m_{\mathrm {e} }}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {D} }}$

La capa de Debye es la transición de un plasma a una superficie sólida. Se da una física similar entre dos regiones de plasma que tienen características diferentes; la transición entre estas regiones se conoce como doble capa y presenta una capa positiva y una negativa.

Las vainas fueron descritas por primera vez por el físico estadounidense Irving Langmuir . En 1923 escribió:

"Los electrones son repelidos por el electrodo negativo, mientras que los iones positivos son atraídos hacia él. Alrededor de cada electrodo negativo hay, por tanto, una vaina de espesor definido que contiene sólo iones positivos y átomos neutros. [...] Los electrones son reflejados desde la superficie exterior de la vaina, mientras que todos los iones positivos que llegan a la vaina son atraídos hacia el electrodo. [...] De ello se deduce directamente que no se produce ningún cambio en la corriente de iones positivos que llega al electrodo. De hecho, el electrodo está perfectamente protegido de la descarga por la vaina de iones positivos, y su potencial no puede influir en los fenómenos que se producen en el arco, ni en la corriente que fluye hacia el electrodo". ^[1]

Langmuir y el coautor Albert W. Hull describieron además una vaina formada en una válvula termoiónica :

"La figura 1 muestra gráficamente la condición que existe en un tubo de este tipo que contiene vapor de mercurio. El espacio entre el filamento y la placa está lleno de una mezcla de electrones e iones positivos, en cantidades casi iguales, a la que se le ha dado el nombre de "plasma". Un cable sumergido en el plasma, a potencial cero con respecto a él, absorberá todos los iones y electrones que lo golpeen. Como los electrones se mueven aproximadamente 600 veces más rápido que los iones, chocarán contra el cable 600 veces más electrones que iones. Si el cable está aislado, debe asumir un potencial negativo tal que reciba cantidades iguales de electrones e iones, es decir, un potencial tal que repela todos los electrones menos 1 de cada 600 que se dirigen hacia él."

"Supongamos que este cable, que podemos tomar como parte de una rejilla, se hace aún más negativo con vistas a controlar la corriente a través del tubo. Ahora repelerá todos los electrones que se dirijan hacia él, pero recibirá todos los iones positivos que vuelen hacia él. Habrá entonces una región alrededor del cable que contiene iones positivos y ningún electrón, como se muestra esquemáticamente en la figura 1. Los iones se aceleran a medida que se acercan al cable negativo, y existirá un gradiente de potencial en esta envoltura, como podemos llamarla, de iones positivos, de modo que el potencial es cada vez menos negativo a medida que nos alejamos del cable, y a una cierta distancia es igual al potencial del plasma. Esta distancia la definimos como el límite de la envoltura. Más allá de esta distancia no hay efecto debido al potencial del cable". ^[2]

La física cuantitativa de la vaina de Debye está determinada por cuatro fenómenos:

Conservación de energía de los iones: Si asumimos por simplicidad que los iones fríos de masa entran en la vaina con una velocidad , teniendo carga opuesta al electrón, la conservación de energía en el potencial de la vaina requiere${\displaystyle m_{\mathrm {i} }}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u(x)^{2}={\frac {1}{2}}m_{\mathrm {i} }\,u_{0}^{2}-e\,\varphi (x)}$,

donde la carga del electrón se toma positivamente, es decir x .${\displaystyle e}$${\displaystyle e=1.602}$${\displaystyle 10^{-19}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} }$

Continuidad iónica: En el estado estable, los iones no se acumulan en ninguna parte, por lo que el flujo es el mismo en todas partes:

${\displaystyle n_{0}\,u_{0}=n_{\mathrm {i} }(x)\,u(x)}$.

Relación de Boltzmann para los electrones: Dado que la mayoría de los electrones se reflejan, su densidad está dada por

${\displaystyle n_{\mathrm {e} }(x)=n_{0}\exp {\Big (}{\frac {e\,\varphi (x)}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}{\Big )}}$.

Ecuación de Poisson : La curvatura del potencial electrostático está relacionada con la densidad de carga neta de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}={\frac {e(n_{\mathrm {e} }(x)-n_{\mathrm {i} }(x))}{\epsilon _{0}}}}$.

Combinando estas ecuaciones y escribiéndolas en términos del potencial adimensional, la posición y la velocidad iónica,

${\displaystyle \chi (\xi )=-{\frac {e\varphi (\xi )}{k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }}}}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{\lambda _{\mathrm {D} }}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {M}}={\frac {u_{\mathrm {o} }}{(k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}}}$

Llegamos a la ecuación de la vaina:

${\displaystyle \chi ''=\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}-e^{-\chi }}$.

La ecuación de la vaina se puede integrar una vez multiplicando por :${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle \int _{0}^{\xi }\chi '\chi ''\,d\xi _{1}=\int _{0}^{\xi }\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{-1/2}\chi '\,d\xi _{1}-\int _{0}^{\xi }e^{-\chi }\chi '\,d\xi _{1}}$

En el borde de la vaina ( ), podemos definir el potencial como cero ( ) y suponer que el campo eléctrico también es cero ( ). Con estas condiciones de contorno, las integraciones dan${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \chi =0}$${\displaystyle \chi '=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}^{2}\left[\left(1+{\frac {2\chi }{{\mathfrak {M}}^{2}}}\right)^{1/2}-1\right]+e^{-\chi }-1}$

Esto se puede reescribir fácilmente como una integral en forma cerrada, aunque una que solo se puede resolver numéricamente. Sin embargo, se puede derivar analíticamente una pieza importante de información. Dado que el lado izquierdo es un cuadrado, el lado derecho también debe ser no negativo para cada valor de , en particular para valores pequeños. Al observar la expansión de Taylor alrededor de , vemos que el primer término que no se anula es el cuadrático, de modo que podemos requerir${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \chi =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(-{\frac {1}{{\mathfrak {M}}^{2}}}+1\right)\geq 0}$,

o

${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{2}\geq 1}$,

o

${\displaystyle u_{0}\geq (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}}$.

Esta desigualdad se conoce como el criterio de la envoltura de Bohm, en honor a su descubridor, David Bohm . Si los iones entran en la envoltura con demasiada lentitud, el potencial de la envoltura se "comerá" el plasma para acelerarlos. Finalmente, se desarrollará una denominada preenvoltura con una caída de potencial del orden de y una escala determinada por la física de la fuente de iones (a menudo la misma que las dimensiones del plasma). Normalmente, el criterio de Bohm se cumplirá con igualdad, pero hay algunas situaciones en las que los iones entran en la envoltura con velocidad supersónica.${\displaystyle (k_{\mathrm {B} }T_{\mathrm {e} }/2e)}$

Aunque la ecuación de la envoltura debe integrarse numéricamente, podemos encontrar una solución aproximada analíticamente ignorando el término. Esto equivale a ignorar la densidad electrónica en la envoltura, o analizar solo la parte de la envoltura donde no hay electrones. Para una superficie "flotante", es decir, una que no extrae corriente neta del plasma, esta es una aproximación útil aunque aproximada. Para una superficie fuertemente polarizada negativamente de modo que extrae la corriente de saturación iónica , la aproximación es muy buena. Es habitual, aunque no estrictamente necesario, simplificar aún más la ecuación suponiendo que es mucho mayor que la unidad. Entonces la ecuación de la envoltura toma la forma simple${\displaystyle e^{-\chi }}$${\displaystyle 2\chi /{\mathfrak {M}}^{2}}$

${\displaystyle \chi ''={\frac {\mathfrak {M}}{(2\chi )^{1/2}}}}$.

Como antes, multiplicamos por e integramos para obtener${\displaystyle \chi '}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\chi '^{2}={\mathfrak {M}}(2\chi )^{1/2}}$,

o

${\displaystyle \chi ^{-1/4}\chi '=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}}$.

Esto se integra fácilmente sobre ξ para producir

${\displaystyle {\frac {4}{3}}\chi _{\mathrm {w} }^{3/4}=2^{3/4}{\mathfrak {M}}^{1/2}d}$,

donde es el potencial (normalizado) en la pared (en relación con el borde de la vaina), y d es el espesor de la vaina. Volviendo a las variables y y notando que la corriente de iones en la pared es , tenemos${\displaystyle \chi _{\mathrm {w} }}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle J=e\,n_{0}\,u_{0}}$

${\displaystyle J={\frac {4}{9}}\left({\frac {2e}{m_{i}}}\right)^{1/2}{\frac {|\varphi _{w}|^{3/2}}{4\pi d^{2}}}}$.

Esta ecuación se conoce como ley de Child , en honor a Clement D. Child (1868-1933), quien la publicó por primera vez en 1911, o como ley de Child-Langmuir , en honor también a Irving Langmuir , quien la descubrió de forma independiente y la publicó en 1913. Se utilizó por primera vez para dar la corriente limitada por la carga espacial en un diodo de vacío con espaciado entre electrodos d . También se puede invertir para dar el espesor de la vaina de Debye en función de la caída de tensión estableciendo :${\displaystyle J=j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}$

${\displaystyle d={\frac {2}{3}}\left({\frac {2e}{m_{\mathrm {i} }}}\right)^{1/4}{\frac {|\varphi _{\mathrm {w} }|^{3/4}}{2{\sqrt {\pi j_{\mathrm {ion} }^{\mathrm {sat} }}}}}}$.

En los últimos años, la Ley Child-Langmuir (CL) se ha revisado como se informa en dos artículos de revisión. ^{[3] [4]}

• Difusión ambipolar
• Doble capa (plasma) , especialmente la sección Capas dobles portadoras de corriente formadas por haces individuales de temperatura cero