Resolución angular

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La resolución angular describe la capacidad de cualquier dispositivo de formación de imágenes , como un telescopio óptico o radiotelescopio , un microscopio , una cámara o un ojo , para distinguir pequeños detalles de un objeto, lo que la convierte en un determinante principal de la resolución de la imagen . Se utiliza en óptica aplicada a las ondas de luz, en la teoría de antenas aplicada a las ondas de radio y en la acústica aplicada a las ondas de sonido. El uso coloquial del término "resolución" a veces causa confusión; cuando se dice que un sistema óptico tiene una alta resolución o una alta resolución angular, significa que la distancia percibida, o la distancia angular real, entre objetos vecinos resueltos es pequeña. El valor que cuantifica esta propiedad, θ, que se da por el criterio de Rayleigh, es bajo para un sistema con una alta resolución. El término estrechamente relacionado resolución espacial se refiere a la precisión de una medición con respecto al espacio, que está directamente relacionada con la resolución angular en los instrumentos de formación de imágenes. El criterio de Rayleigh muestra que la dispersión angular mínima que puede resolver un sistema de formación de imágenes está limitada por la difracción a la relación entre la longitud de onda de las ondas y el ancho de apertura . Por esta razón, los sistemas de imágenes de alta resolución, como los telescopios astronómicos , los teleobjetivos de las cámaras de larga distancia y los radiotelescopios, tienen grandes aperturas.

El poder de resolución es la capacidad de un dispositivo de obtención de imágenes para separar (es decir, ver como distintos) puntos de un objeto que se encuentran a una distancia angular pequeña o es el poder de un instrumento óptico para separar objetos lejanos, que están próximos entre sí, en imágenes individuales. El término resolución o distancia mínima resoluble es la distancia mínima entre objetos distinguibles en una imagen, aunque el término es utilizado vagamente por muchos usuarios de microscopios y telescopios para describir el poder de resolución. Como se explica a continuación, la resolución limitada por difracción se define por el criterio de Rayleigh como la separación angular de dos fuentes puntuales cuando el máximo de cada fuente se encuentra en el primer mínimo del patrón de difracción ( disco de Airy ) de la otra. En el análisis científico, en general, el término "resolución" se utiliza para describir la precisión con la que cualquier instrumento mide y registra (en una imagen o espectro) cualquier variable en el espécimen o muestra en estudio.

La resolución del sistema de imágenes puede verse limitada por aberraciones o por difracción que provocan borrosidad en la imagen. Estos dos fenómenos tienen orígenes diferentes y no están relacionados. Las aberraciones se pueden explicar mediante óptica geométrica y, en principio, se pueden resolver aumentando la calidad óptica del sistema. Por otro lado, la difracción proviene de la naturaleza ondulatoria de la luz y está determinada por la apertura finita de los elementos ópticos. La apertura circular de la lente es análoga a una versión bidimensional del experimento de una sola rendija . La luz que pasa a través de la lente interfiere consigo misma creando un patrón de difracción en forma de anillo, conocido como patrón de Airy , si el frente de onda de la luz transmitida se toma como esférico o plano sobre la apertura de salida.

La interacción entre difracción y aberración se puede caracterizar mediante la función de dispersión de puntos (PSF). Cuanto más estrecha sea la apertura de una lente, más probable es que la PSF esté dominada por la difracción. En ese caso, la resolución angular de un sistema óptico se puede estimar (a partir del diámetro de la apertura y la longitud de onda de la luz) mediante el criterio de Rayleigh definido por Lord Rayleigh : se considera que dos fuentes puntuales están resueltas cuando el máximo de difracción principal (centro) del disco de Airy de una imagen coincide con el primer mínimo del disco de Airy de la otra ^{[1] [2],} como se muestra en las fotografías adjuntas. (En la fotografía inferior a la derecha que muestra el límite del criterio de Rayleigh, el máximo central de una fuente puntual puede parecer que se encuentra fuera del primer mínimo de la otra, pero el examen con una regla verifica que los dos se cruzan). Si la distancia es mayor, los dos puntos están bien resueltos y si es menor, se consideran no resueltos. Rayleigh defendió este criterio en fuentes de igual intensidad ^{[2] .}

Considerando la difracción a través de una apertura circular, esto se traduce en:

${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{considerando que}}\,\sin \theta \approx \theta )}$

donde θ es la resolución angular ( radianes ), λ es la longitud de onda de la luz y D es el diámetro de apertura de la lente. El factor 1,22 se deriva de un cálculo de la posición del primer anillo circular oscuro que rodea el disco central de Airy del patrón de difracción . Este número es más precisamente 1,21966989... ( OEIS : A245461 ), el primer cero de la función de Bessel de orden uno de primer tipo dividido por π .$Estilo de visualización J_{1}(x)}$

El criterio formal de Rayleigh se acerca al límite de resolución empírica hallado anteriormente por el astrónomo inglés WR Dawes , que puso a prueba a observadores humanos en estrellas binarias cercanas de igual brillo. El resultado, θ = 4,56/ D , con D en pulgadas y θ en segundos de arco , es ligeramente más estrecho que el calculado con el criterio de Rayleigh. Un cálculo utilizando discos de Airy como función de dispersión de puntos muestra que en el límite de Dawes hay una caída del 5% entre los dos máximos, mientras que en el criterio de Rayleigh hay una caída del 26,3%. ^[3] Las técnicas modernas de procesamiento de imágenes , incluida la deconvolución de la función de dispersión de puntos, permiten la resolución de sistemas binarios con una separación angular incluso menor.

Utilizando una aproximación de ángulo pequeño , la resolución angular puede convertirse en una resolución espacial , Δ ℓ , mediante la multiplicación del ángulo (en radianes) por la distancia al objeto. Para un microscopio, esa distancia es cercana a la longitud focal f del objetivo . Para este caso, el criterio de Rayleigh dice:

${\displaystyle \Delta \ell \aproximadamente 1,22{\frac {f\lambda }{D}}}$.

Este es el radio , en el plano de la imagen, del punto más pequeño al que se puede enfocar un haz de luz colimado , que también corresponde al tamaño del objeto más pequeño que la lente puede resolver. ^[4] El tamaño es proporcional a la longitud de onda, λ , y así, por ejemplo, la luz azul se puede enfocar en un punto más pequeño que la luz roja . Si la lente está enfocando un haz de luz con una extensión finita (por ejemplo, un rayo láser ), el valor de D corresponde al diámetro del haz de luz, no a la lente. ^{[Nota 1]} Dado que la resolución espacial es inversamente proporcional a D , esto conduce al resultado ligeramente sorprendente de que un haz de luz ancho puede enfocarse en un punto más pequeño que uno estrecho. Este resultado está relacionado con las propiedades de Fourier de una lente.

Un resultado similar se aplica a un sensor pequeño que toma imágenes de un sujeto en el infinito: la resolución angular se puede convertir en una resolución espacial en el sensor utilizando f como la distancia al sensor de imagen; esto relaciona la resolución espacial de la imagen con el número f .y​#:

${\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)}$.

Dado que este es el radio del disco de Airy, la resolución se estima mejor mediante el diámetro.${\displaystyle 2.44\lambda\cdot(f/\#)}$

Las fuentes puntuales separadas por un ángulo menor que la resolución angular no se pueden resolver. Un solo telescopio óptico puede tener una resolución angular menor a un segundo de arco , pero la visibilidad astronómica y otros efectos atmosféricos hacen que lograr esto sea muy difícil.

La resolución angular R de un telescopio generalmente se puede aproximar mediante

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{D}}}$

donde λ es la longitud de onda de la radiación observada y D es el diámetro del objetivo del telescopio . El R resultante está en radianes . Por ejemplo, en el caso de la luz amarilla con una longitud de onda de 580  nm , para una resolución de 0,1 segundos de arco, necesitamos D=1,2 m. Las fuentes más grandes que la resolución angular se denominan fuentes extendidas o fuentes difusas, y las fuentes más pequeñas se denominan fuentes puntuales.

Esta fórmula, para la luz con una longitud de onda de aproximadamente 562 nm, también se denomina límite de Dawes .

Las resoluciones angulares más altas para telescopios se pueden lograr mediante conjuntos de telescopios llamados interferómetros astronómicos : estos instrumentos pueden lograr resoluciones angulares de 0,001 segundos de arco en longitudes de onda ópticas y resoluciones mucho más altas en longitudes de onda de rayos X. Para realizar imágenes de síntesis de apertura , se requiere una gran cantidad de telescopios dispuestos en una disposición bidimensional con una precisión dimensional mejor que una fracción (0,25x) de la resolución de imagen requerida.

La resolución angular R de un conjunto de interferómetros generalmente se puede aproximar mediante

${\displaystyle R={\frac {\lambda }{B}}}$

donde λ es la longitud de onda de la radiación observada y B es la longitud de la separación física máxima de los telescopios en el conjunto, llamada línea base . El R resultante está en radianes . Las fuentes más grandes que la resolución angular se denominan fuentes extendidas o fuentes difusas, y las fuentes más pequeñas se denominan fuentes puntuales.

Por ejemplo, para formar una imagen en luz amarilla con una longitud de onda de 580 nm, para una resolución de 1 milisegundo de arco, necesitamos telescopios dispuestos en un conjunto de 120 m × 120 m con una precisión dimensional mejor que 145 nm.

La resolución R (aquí medida como distancia, que no debe confundirse con la resolución angular de una subsección anterior) depende de la apertura angular : ^[5]${\estilo de visualización \alpha}$

${\displaystyle R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{condensador}}+\mathrm {NA} _{\text{objetivo}}}}}$dónde .${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta }$

Aquí NA es la apertura numérica , es la mitad del ángulo incluido de la lente, que depende del diámetro de la lente y su longitud focal, es el índice de refracción del medio entre la lente y la muestra, y es la longitud de onda de la luz que ilumina o emana (en el caso de la microscopía de fluorescencia) de la muestra.${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización \lambda}$

De ello se deduce que las AN tanto del objetivo como del condensador deben ser lo más altas posibles para lograr la máxima resolución. En el caso de que ambas AN sean iguales, la ecuación puede reducirse a:

${\displaystyle R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}}$

El límite práctico para es de aproximadamente 70°. En un objetivo seco o condensador, esto da una apertura numérica máxima de 0,95. En una lente de inmersión en aceite de alta resolución , la apertura numérica máxima es típicamente 1,45, cuando se utiliza aceite de inmersión con un índice de refracción de 1,52. Debido a estas limitaciones, el límite de resolución de un microscopio óptico que utiliza luz visible es de aproximadamente 200  nm . Dado que la longitud de onda más corta de la luz visible es violeta ( ),${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \lambda \aprox 400\,\mathrm {nm} }$

${\displaystyle R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}}$

que está cerca de 200 nm.

Los objetivos de inmersión en aceite pueden presentar dificultades prácticas debido a su poca profundidad de campo y su distancia de trabajo extremadamente corta, lo que requiere el uso de cubreobjetos muy delgados (0,17 mm) o, en un microscopio invertido, placas de Petri delgadas con fondo de vidrio .

Sin embargo, se puede lograr una resolución por debajo de este límite teórico utilizando microscopía de súper resolución . Estas incluyen campos cercanos ópticos ( microscopio óptico de barrido de campo cercano ) o una técnica de difracción llamada microscopía STED 4Pi . Objetos tan pequeños como 30 nm se han resuelto con ambas técnicas. ^{[6] [7]} Además de esto, la microscopía de localización fotoactivada puede resolver estructuras de ese tamaño, pero también es capaz de dar información en dirección z (3D).

Nombre	Imagen	Resolución angular ( segundos de arco )	Longitud de onda	Tipo	Sitio	Año
Matriz VLBI milimétrica global (sucesora de la matriz VLBI milimétrica coordinada )		0,000012 (12 μas)	radio (a 1,3 cm)	Conjunto interferométrico de línea base muy largo de diferentes radiotelescopios	una variedad de ubicaciones en la Tierra y en el espacio [8]	2002 -
Telescopio Muy Grande / PIONIER		0,001 (1 mas)	luz (1-2 micrómetros ) [9]	El conjunto óptico más grande de 4 telescopios reflectores	Observatorio Paranal , Región de Antofagasta , Chile	2002/2010 -
Telescopio espacial Hubble		0,04	luz (cerca de 500 nm) [10]	telescopio espacial	Órbita terrestre	1990 -
Telescopio espacial James Webb		0,1 [11]	infrarrojo (a 2000 nm) [12]	telescopio espacial	Sol-Tierra L2	2022 -

• Diámetro angular
• Diámetro del haz
• El límite de Dawes
• Sistema limitado por difracción
• Distancia de la muestra terrestre
• Resolución de la imagen
• Resolución óptica
• Límite de resolución de Sparrow
• Agudeza visual

• "Conceptos y fórmulas en microscopía: resolución" por Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (sitio web).