Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial se produce cuando una cantidad crece a un ritmo directamente proporcional a su tamaño actual. Por ejemplo, si es tres veces más grande que ahora, crecerá tres veces más rápido que ahora.

En un lenguaje más técnico, su tasa instantánea de cambio (es decir, la derivada ) de una cantidad con respecto a una variable independiente es proporcional a la cantidad misma. A menudo, la variable independiente es el tiempo. Descrita como una función , una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (en contraste con otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático ). El crecimiento exponencial es el inverso del crecimiento logarítmico .

No todos los casos de crecimiento a una tasa siempre creciente son instancias de crecimiento exponencial. Por ejemplo, la función crece a una tasa siempre creciente, pero está muy lejos de crecer exponencialmente. Por ejemplo, cuando crece a un ritmo de 3 veces su tamaño, pero cuando crece al 30% de su tamaño. Si una función de crecimiento exponencial crece a una tasa que es 3 veces su tamaño actual, entonces siempre crece a una tasa que es 3 veces su tamaño actual. Cuando es 10 veces más grande que ahora, crecerá 10 veces más rápido.${\textstyle f(x)=x^{3}}$${\textstyle x=1,}$${\textstyle x=10}$

Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y se dice que está experimentando un decaimiento exponencial . En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se denomina crecimiento geométrico o decaimiento geométrico , ya que los valores de la función forman una progresión geométrica .

La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable x a la tasa de crecimiento r , a medida que transcurre el tiempo t en intervalos discretos (es decir, en tiempos enteros 0, 1, 2, 3, ...), es

$${\displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}$$

donde x ₀ es el valor de x en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se utiliza a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide a sí misma dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32, y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en actividades o fenómenos de la vida real, como la propagación de una infección viral, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la propagación de videos virales . En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que se desacelera eventualmente debido a límites superiores causados ​​por factores externos y se convierte en crecimiento logístico .

Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede, de hecho, crecer lentamente al principio. ^{[1] [2]}

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• La cantidad de microorganismos en un cultivo aumentará exponencialmente hasta que se agote un nutriente esencial, por lo que ya no habrá más de ese nutriente para que crezcan más organismos. Por lo general, el primer organismo se divide en dos organismos hijos, que luego se dividen para formar cuatro, que se dividen para formar ocho, y así sucesivamente. Debido a que el crecimiento exponencial indica una tasa de crecimiento constante, con frecuencia se supone que las células que crecen exponencialmente se encuentran en un estado estable. Sin embargo, las células pueden crecer exponencialmente a una tasa constante mientras remodelan su metabolismo y expresión genética. ^[3]
• Un virus (por ejemplo, el COVID-19 o la viruela ) normalmente se propagará de manera exponencial al principio, si no se dispone de inmunización artificial . Cada persona infectada puede infectar a varias personas nuevas.

• Ruptura por avalancha en un material dieléctrico . Un electrón libre se acelera lo suficiente por un campo eléctrico aplicado externamente como para liberar electrones adicionales al chocar con átomos o moléculas del medio dieléctrico. Estos electrones secundarios también se aceleran, creando una mayor cantidad de electrones libres. El crecimiento exponencial resultante de electrones e iones puede conducir rápidamente a la ruptura dieléctrica completa del material.
• Reacción nuclear en cadena (el concepto detrás de los reactores nucleares y las armas nucleares ). Cada núcleo de uranio que sufre fisión produce múltiples neutrones , cada uno de los cuales puede ser absorbido por átomos de uranio adyacentes, lo que provoca su fisión a su vez. Si la probabilidad de absorción de neutrones supera la probabilidad de escape de neutrones (una función de la forma y la masa del uranio), la tasa de producción de neutrones y fisiones de uranio inducidas aumenta exponencialmente, en una reacción descontrolada. "Debido a la tasa exponencial de aumento, en cualquier punto de la reacción en cadena el 99% de la energía se habrá liberado en las últimas 4,6 generaciones. Es una aproximación razonable pensar en las primeras 53 generaciones como un período de latencia que conduce a la explosión real, que solo lleva de 3 a 4 generaciones". ^[4]
• La retroalimentación positiva dentro del rango lineal de amplificación eléctrica o electroacústica puede resultar en un crecimiento exponencial de la señal amplificada, aunque los efectos de resonancia pueden favorecer algunas frecuencias componentes de la señal sobre otras.

• El crecimiento económico se expresa en términos porcentuales, lo que implica un crecimiento exponencial.

• El interés compuesto a una tasa de interés constante proporciona un crecimiento exponencial del capital. ^[5] Véase también la regla del 72 .
• Los esquemas piramidales o esquemas Ponzi también muestran este tipo de crecimiento, resultando en altas ganancias para unos pocos inversores iniciales y pérdidas entre un gran número de inversores.

• Capacidad de procesamiento de los ordenadores. Véase también la ley de Moore y la singularidad tecnológica . (En un contexto de crecimiento exponencial, no hay singularidades. La singularidad aquí es una metáfora que pretende transmitir un futuro inimaginable. El vínculo entre este concepto hipotético y el crecimiento exponencial lo establece con mayor claridad el futurista Ray Kurzweil .)
• En la teoría de la complejidad computacional , los algoritmos informáticos de complejidad exponencial requieren una cantidad exponencialmente creciente de recursos (por ejemplo, tiempo, memoria de la computadora) solo para un aumento constante en el tamaño del problema. Entonces, para un algoritmo de complejidad temporal 2 ^x , si un problema de tamaño x = 10 requiere 10 segundos para completarse, y un problema de tamaño x = 11 requiere 20 segundos, entonces un problema de tamaño x = 12 requerirá 40 segundos. Este tipo de algoritmo generalmente se vuelve inutilizable en tamaños de problema muy pequeños, a menudo entre 30 y 100 elementos (la mayoría de los algoritmos informáticos deben poder resolver problemas mucho más grandes, hasta decenas de miles o incluso millones de elementos en tiempos razonables, algo que sería físicamente imposible con un algoritmo exponencial). Además, los efectos de la Ley de Moore no ayudan mucho a la situación porque duplicar la velocidad del procesador simplemente aumenta el tamaño factible del problema en una constante. Por ejemplo, si un procesador lento puede resolver problemas de tamaño x en tiempo t , entonces un procesador dos veces más rápido solo podría resolver problemas de tamaño x + constante en el mismo tiempo t . Por eso, los algoritmos exponencialmente complejos suelen ser poco prácticos y la búsqueda de algoritmos más eficientes es uno de los objetivos centrales de la informática actual.

• Los contenidos de Internet, como los memes o los vídeos de Internet , pueden propagarse de forma exponencial, a menudo se dice que " se vuelven virales " como analogía a la propagación de los virus. ^[6] Con medios como las redes sociales , una persona puede reenviar el mismo contenido a muchas personas simultáneamente, que luego lo difunden a aún más personas, y así sucesivamente, provocando una rápida propagación. ^[7] Por ejemplo, el vídeo Gangnam Style se subió a YouTube el 15 de julio de 2012, llegó a cientos de miles de espectadores el primer día, millones el vigésimo día y fue visto acumulativamente por cientos de millones en menos de dos meses. ^{[6] [8]}

Una cantidad x depende exponencialmente del tiempo t si donde la constante a es el valor inicial de x , la constante b es un factor de crecimiento positivo y τ es la constante de tiempo (el tiempo requerido para que x aumente en un factor de b ):$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}$$$${\displaystyle x(0)=a\,,}$$$${\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.}$$

Si τ > 0 y b > 1 , entonces x tiene crecimiento exponencial. Si τ < 0 y b > 1 , o τ > 0 y 0 < b < 1 , entonces x tiene decaimiento exponencial .

Ejemplo: Si una especie de bacteria se duplica cada diez minutos, comenzando con una sola bacteria, ¿cuántas bacterias estarían presentes después de una hora? La pregunta implica a = 1 , b = 2 y τ = 10 min .

$${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}}$$$${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.}$$

Después de una hora, o seis intervalos de diez minutos, habría sesenta y cuatro bacterias.

Muchos pares ( b , τ ) de un número adimensional no negativo b y una cantidad de tiempo τ (una cantidad física que puede expresarse como el producto de un número de unidades y una unidad de tiempo) representan la misma tasa de crecimiento, con τ proporcional a log b . Para cualquier b fijo no igual a 1 (por ejemplo, e o 2), la tasa de crecimiento está dada por el tiempo distinto de cero τ . Para cualquier tiempo distinto de cero τ la tasa de crecimiento está dada por el número positivo adimensional  b .

Así, la ley de crecimiento exponencial puede escribirse en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, utilizando una base diferente . Las formas más comunes son las siguientes: donde x ₀ expresa la cantidad inicial x (0) .$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$$

Parámetros (negativos en el caso de decaimiento exponencial):

• La constante de crecimiento k es la frecuencia (número de veces por unidad de tiempo) de crecimiento de un factor e ; en finanzas también se denomina rendimiento logarítmico, rendimiento compuesto continuamente o fuerza de interés .
• El tiempo de plegado electrónico τ es el tiempo que tarda en crecer en un factor e .
• El tiempo de duplicación T es el tiempo que tarda en duplicarse.
• El aumento porcentual r (un número adimensional) en un período p .

Las cantidades k , τ y T , y para un p dado también r , tienen una relación biunívoca dada por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de la anterior): donde k = 0 corresponde a r = 0 y a que τ y T son infinitos.$${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$$

Si p es la unidad de tiempo, el cociente t / p es simplemente el número de unidades de tiempo. Si se utiliza la notación t para el número (adimensional) de unidades de tiempo en lugar del tiempo en sí, t / p se puede sustituir por t , pero para lograr uniformidad, se ha evitado este cambio. En este caso, la división por p en la última fórmula tampoco es una división numérica, sino que convierte un número adimensional en la cantidad correcta, incluida la unidad.

Un método aproximado popular para calcular el tiempo de duplicación a partir de la tasa de crecimiento es la regla de 70 , es decir, .${\displaystyle T\simeq 70/r}$

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimientos (líneas tenues) y sus aproximaciones 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, pase el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Si una variable x exhibe un crecimiento exponencial según , entonces el logaritmo (en cualquier base) de x crece linealmente con el tiempo, como se puede ver tomando los logaritmos de ambos lados de la ecuación de crecimiento exponencial:${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$ $${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}$$

Esto permite modelar una variable que crece exponencialmente con un modelo log-lineal . Por ejemplo, si se desea estimar empíricamente la tasa de crecimiento a partir de datos intertemporales en x , se puede realizar una regresión lineal de log x en t .

La función exponencial satisface la ecuación diferencial lineal : diciendo que el cambio por instante de tiempo de x en el tiempo t es proporcional al valor de x ( t ) , y x ( t ) tiene el valor inicial .${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$

La ecuación diferencial se resuelve por integración directa: de modo que$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}$$

En la ecuación diferencial anterior, si k < 0 , entonces la cantidad experimenta un decaimiento exponencial .

Para una variación no lineal de este modelo de crecimiento, consulte la función logística .

A largo plazo, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará al crecimiento lineal de cualquier tipo (que es la base de la catástrofe maltusiana ), así como a cualquier crecimiento polinomial , es decir, para todo α :$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.}$$

Existe toda una jerarquía de tasas de crecimiento concebibles que son más lentas que la exponencial y más rápidas que la lineal (a largo plazo). Véase Grado de un polinomio § Calculado a partir de los valores de la función .

Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápidas que las exponenciales. En el caso más extremo, cuando el crecimiento aumenta sin límite en un tiempo finito, se denomina crecimiento hiperbólico . Entre el crecimiento exponencial y el hiperbólico hay más clases de comportamiento de crecimiento, como las hiperoperaciones que comienzan en la tetración y la diagonal de la función de Ackermann .${\displaystyle A(n,n)}$

En realidad, el crecimiento exponencial inicial no suele sostenerse indefinidamente. Después de un tiempo, se verá frenado por factores externos o ambientales. Por ejemplo, el crecimiento demográfico puede alcanzar un límite superior debido a limitaciones de recursos. ^[9] En 1845, el matemático belga Pierre François Verhulst propuso por primera vez un modelo matemático de crecimiento como este, llamado " crecimiento logístico ". ^[10]

Los modelos de crecimiento exponencial de los fenómenos físicos sólo se aplican en regiones limitadas, ya que el crecimiento ilimitado no es físicamente realista. Aunque el crecimiento puede ser inicialmente exponencial, los fenómenos modelados eventualmente ingresarán en una región en la que los factores de retroalimentación negativa previamente ignorados se vuelven significativos (lo que lleva a un modelo de crecimiento logístico ) o se rompen otros supuestos subyacentes del modelo de crecimiento exponencial, como la continuidad o la retroalimentación instantánea.

Los estudios muestran que los seres humanos tienen dificultades para comprender el crecimiento exponencial. El sesgo de crecimiento exponencial es la tendencia a subestimar los procesos de crecimiento compuesto. Este sesgo también puede tener implicaciones financieras. ^[11]

Según la leyenda, el visir Sissa Ben Dahir le regaló al rey indio Sharim un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano . El rey le preguntó qué quería a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey pidiéndole un grano de arroz en la primera casilla, dos granos en la segunda, cuatro granos en la tercera, y así sucesivamente. El rey aceptó de inmediato y pidió que le trajeran el arroz. Todo fue bien al principio, pero el requisito de 2 ^{n −1} granos en la casilla n exigía más de un millón de granos en la casilla 21, más de un millón de millones ( es decir , un billón ) en la 41 y simplemente no había suficiente arroz en todo el mundo para las casillas finales. (De Swirski, 2006) ^[12]

La " segunda mitad del tablero de ajedrez " se refiere al momento en el que una influencia que crece exponencialmente tiene un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización.

A unos niños franceses se les propone un acertijo que parece ser un aspecto del crecimiento exponencial: "la aparente rapidez con la que una cantidad que crece exponencialmente se acerca a un límite fijo". El acertijo imagina una planta de nenúfar que crece en un estanque. La planta duplica su tamaño cada día y, si se la deja sola, asfixiaría el estanque en 30 días matando a todos los demás seres vivos del agua. Día tras día, el crecimiento de la planta es pequeño, por lo que se decide que no será un problema hasta que cubra la mitad del estanque. ¿Qué día será ese? El día 29, lo que deja solo un día para salvar el estanque. ^{[13] [12]}

• Meadows, Donella. Randers, Jorgen. Meadows, Dennis. Los límites del crecimiento : actualización a 30 años. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554 
• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers y William W. Behrens III. (1972) Los límites del crecimiento . Nueva York: University Books. ISBN 0-87663-165-0 
• Porritt, J. El capitalismo como si el mundo importara , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8 
• Swirski, Peter. De la literatura y el conocimiento: exploraciones en experimentos de pensamiento narrativo, evolución y teoría de juegos . Nueva York: Routledge. ISBN 0-415-42060-1 
• Thomson, David G. Plan para un billón: 7 elementos esenciales para lograr un crecimiento exponencial , Wiley, diciembre de 2005, ISBN 0-471-74747-5 
• Tsirel, SV 2004. Sobre las posibles razones del crecimiento hiperexponencial de la población mundial. Modelado matemático de la dinámica social y económica / Ed. por MG Dmitriev y AP Petrov, pp. 367–9. Moscú: Universidad Social Estatal Rusa, 2004.

• Crecimiento en un mundo finito – Sostenibilidad y función exponencial — Presentación
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