Convergencia condicional

En matemáticas , se dice que una serie o integral es condicionalmente convergente si converge, pero no converge absolutamente .

Más precisamente, se dice que una serie de números reales converge condicionalmente si existe (como un número real finito, es decir, no o ), pero${\textstyle \sum _ {n=0}^{\infty }a_ {n}}$${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$${\estilo de visualización\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Un ejemplo clásico es la serie armónica alterna dada por que converge a , pero no es absolutamente convergente (ver Serie armónica ).$${\displaystyle 1-{1 \sobre 2}+{1 \sobre 3}-{1 \sobre 4}+{1 \sobre 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \sobre n},}$$${\estilo de visualización \ln(2)}$

Bernhard Riemann demostró que una serie condicionalmente convergente puede reordenarse para converger a cualquier valor, incluidos ∞ o −∞; véase el teorema de series de Riemann . El teorema de Agnew describe reordenamientos que preservan la convergencia para todas las series convergentes.

El teorema de Lévy-Steinitz identifica el conjunto de valores a los que una serie de términos en R ⁿ puede converger.

Una integral condicionalmente convergente típica es aquella en el eje real no negativo de (ver integral de Fresnel ).${\textstyle \sin(x^{2})}$

• Convergencia absoluta
• Convergencia incondicional

• Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).