Escalar (matemáticas)

Elementos de un campo, por ejemplo números reales, en el contexto del álgebra lineal

Un escalar es un elemento de un campo que se utiliza para definir un espacio vectorial . En álgebra lineal , los números reales o, en general, los elementos de un campo se denominan escalares y se relacionan con vectores en un espacio vectorial asociado a través de la operación de multiplicación escalar (definida en el espacio vectorial), en la que un vector puede multiplicarse por un escalar de la forma definida para producir otro vector. ^[1]^[2]^[3] En términos generales, un espacio vectorial puede definirse utilizando cualquier campo en lugar de números reales (como números complejos ). Entonces, los escalares de ese espacio vectorial serán elementos del campo asociado (como números complejos).

Una operación de producto escalar (que no debe confundirse con la multiplicación escalar) se puede definir en un espacio vectorial, lo que permite multiplicar dos vectores de la manera definida para producir un escalar. Un espacio vectorial equipado con un producto escalar se denomina espacio de producto interno .

Una cantidad descrita por múltiples escalares, como tener tanto dirección como magnitud, se llama vector . ^[4] El término escalar también se usa a veces de manera informal para significar un vector, matriz , tensor u otro valor, generalmente "compuesto" que en realidad se reduce a un solo componente. Así, por ejemplo, el producto de una matriz 1 × n y una matriz n × 1, que formalmente es una matriz 1 × 1, a menudo se dice que es un escalar . El componente real de un cuaternión también se llama su parte escalar .

El término matriz escalar se utiliza para denotar una matriz de la forma kI donde k es un escalar e I es la matriz identidad .

Etimología

La palabra escalar deriva del latín scalaris , una forma adjetival de scala (latín para "escalera"), de donde también proviene la palabra inglesa scale. El primer uso registrado de la palabra "escalar" en matemáticas aparece en el Arte analítico de François Viète ( In artem analyticem isagoge ) (1591): ^[5] [ ^6]

Las magnitudes que ascienden o descienden proporcionalmente según su naturaleza de un tipo a otro pueden llamarse términos escalares.

(Latín: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proporcionaliter adscendunt vel descendunt, vocentur Scalares. )

Según una cita del Oxford English Dictionary, el primer uso registrado del término "escalar" en inglés lo realizó WR Hamilton en 1846, refiriéndose a la parte real de un cuaternión:

La parte algebraicamente real puede recibir, según la cuestión en que aparezca, todos los valores contenidos en la escala de progresión de números desde el infinito negativo al infinito positivo; la llamaremos, pues, parte escalar.

Definiciones y propiedades

Escalares de espacios vectoriales

Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores ( grupo abeliano aditivo ), un conjunto de escalares ( campo ) y una operación de multiplicación escalar que toma un escalar k y un vector v para formar otro vector k v . Por ejemplo, en un espacio de coordenadas , la multiplicación escalar da como resultado . En un espacio de funciones (lineal) , $kf$ es la función $x$ $\mapsto$ $k$ $($ $f$ $($ $x$ $))$ . ${\ Displaystyle k (v_ {1}, v_ {2}, \ puntos, v_ {n})}$ $(kv_{1},kv_{2},\dots,kv_{n})$

Los escalares pueden tomarse de cualquier campo, incluidos los números racionales , algebraicos , reales y complejos, así como los campos finitos .

Escalares como componentes vectoriales

Según un teorema fundamental del álgebra lineal, todo espacio vectorial tiene una base . De ello se deduce que todo espacio vectorial sobre un cuerpo K es isomorfo al espacio vectorial de coordenadas correspondiente donde cada coordenada consta de elementos de K (p. ej., coordenadas ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) donde a _i ∈ K y n es la dimensión del espacio vectorial en consideración). Por ejemplo, todo espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio real n -dimensional R ⁿ .

Escalares en espacios vectoriales normados

Alternativamente, un espacio vectorial V puede estar equipado con una función norma que asigna a cada vector v en V un escalar || v ||. Por definición, multiplicar v por un escalar k también multiplica su norma por | k |. Si || v || se interpreta como la longitud de v , esta operación puede describirse como escalar la longitud de v por k . Un espacio vectorial equipado con una norma se denomina espacio vectorial normado (o espacio lineal normado ).

La norma se define generalmente como un elemento del campo escalar K de V , lo que restringe este último a campos que admiten la noción de signo. Además, si V tiene dimensión 2 o más, K debe estar cerrado bajo la raíz cuadrada, así como las cuatro operaciones aritméticas; por lo tanto, los números racionales Q quedan excluidos, pero el campo irracional es aceptable. Por esta razón, no todo espacio de producto escalar es un espacio vectorial normado.

Escalares en módulos

Cuando el requisito de que el conjunto de escalares forme un campo se relaja de modo que solo necesita formar un anillo (de modo que, por ejemplo, no es necesario definir la división de escalares, o los escalares no necesitan ser conmutativos ), la estructura algebraica más general resultante se denomina módulo .

En este caso, los "escalares" pueden ser objetos complicados. Por ejemplo, si R es un anillo, los vectores del espacio producto R ⁿ pueden convertirse en un módulo con las matrices n × n con entradas de R como escalares. Otro ejemplo proviene de la teoría de variedades , donde el espacio de secciones del fibrado tangente forma un módulo sobre el álgebra de funciones reales en la variedad.

Transformación de escala

La multiplicación escalar de espacios vectoriales y módulos es un caso especial de escalamiento , un tipo de transformación lineal .

Véase también

Referencias

^ Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
^ Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
^ Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
^ Mathwords.com – Escalar
^ Vieta, Francisco (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [ Guía del arte analítico [...] o nueva álgebra ] (en latín). Visitas guiadas: apud Iametium Mettayer typographum regium. pag. 4 ( reverso ) . Consultado el 24 de junio de 2015 .
^ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Artículo biográfico: Francois Viete

Enlaces externos

"Escalar". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Escalar". MathWorld .
Mathwords.com – Escalar

[1] Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 0-321-28713-4.

[2] Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.

[3] Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.

[4] Mathwords.com – Escalar

[5] Vieta, Francisco (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [ Guía del arte analítico [...] o nueva álgebra ] (en latín). Visitas guiadas: apud Iametium Mettayer typographum regium. pag. 4 ( reverso ) . Consultado el 24 de junio de 2015 .

[6] ttp://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Artículo biográfico: Francois Viete