Control proporcional

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El control proporcional , en ingeniería y control de procesos, es un tipo de sistema de control de retroalimentación lineal en el que se aplica una corrección a la variable controlada, y el tamaño de la corrección es proporcional a la diferencia entre el valor deseado ( punto de ajuste , SP) y el valor medido ( variable de proceso , PV). Dos ejemplos mecánicos clásicos son la válvula dosificadora de flotador de inodoro y el regulador de bola flotante .

El concepto de control proporcional es más complejo que un sistema de control de encendido y apagado , como un termostato doméstico bimetálico , pero más simple que un sistema de control proporcional-integral-derivativo (PID) utilizado en algo como un control de crucero de automóvil . El control de encendido y apagado funcionará cuando el sistema general tenga un tiempo de respuesta relativamente largo, pero puede resultar inestable si el sistema que se está controlando tiene un tiempo de respuesta rápido. El control proporcional supera esto modulando la salida al dispositivo de control, como una válvula de control a un nivel que evita la inestabilidad, pero aplica la corrección lo más rápido posible aplicando la cantidad óptima de ganancia proporcional.

Una desventaja del control proporcional es que no puede eliminar el error residual SP − PV en procesos con compensación, por ejemplo, el control de temperatura, ya que requiere un error para generar una salida proporcional. Para superar esto, se diseñó el controlador PI , que utiliza un término proporcional (P) para eliminar el error bruto y un término integral (I) para eliminar el error de compensación residual integrando el error a lo largo del tiempo para producir un componente "I" para la salida del controlador.

En el algoritmo de control proporcional, la salida del controlador es proporcional a la señal de error, que es la diferencia entre el punto de ajuste y la variable de proceso. En otras palabras, la salida de un controlador proporcional es el producto de la multiplicación de la señal de error por la ganancia proporcional.

Esto se puede expresar matemáticamente como

${\displaystyle P_{\mathrm {fuera} }=K_{p}\,{e(t)+p0}}$

dónde

• ${\estilo de visualización p0}$:Salida del controlador con error cero.
• ${\displaystyle P_{\mathrm {fuera}}}$:Salida del controlador proporcional
• $Estilo de visualización K_{p}}$: Ganancia proporcional
• ${\displaystyle e(t)}$:Error de proceso instantáneo en el tiempo t . ${\displaystyle e(t)=SP-PV}$
• ${\estilo de visualización SP}$:Punto de ajuste
• ${\estilo de visualización PV}$:Variable de proceso

Restricciones: En una planta real, los actuadores tienen limitaciones físicas que pueden expresarse como restricciones en . Por ejemplo, pueden estar limitadas entre −1 y +1 si esos son los límites de salida máximos.${\displaystyle P_{\mathrm {fuera}}}$${\displaystyle P_{\mathrm {fuera}}}$

Requisitos: Es preferible expresarlo como un número sin unidades. Para ello, podemos expresarlo como una relación con el alcance del instrumento. Este alcance está en las mismas unidades que el error (por ejemplo, grados C), por lo que la relación no tiene unidades.$Estilo de visualización K_{p}}$${\displaystyle e(t)}$

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El control proporcional dicta . A partir del diagrama de bloques que se muestra, suponga que r , el punto de ajuste, es el caudal que ingresa a un tanque y e es el error , que es la diferencia entre el punto de ajuste y la salida del proceso medida. es la función de transferencia del proceso; la entrada al bloque es el caudal y la salida es el nivel del tanque. ${\displaystyle {\mathit {g_{c}=k_{c}}}}$${\displaystyle {\mathit {g_{p}}},}$

La salida en función del punto de ajuste, r , se conoce como función de transferencia de lazo cerrado . Si los polos de son estables, entonces el sistema de lazo cerrado es estable.${\displaystyle {\mathit {g_{cl}}}={\frac {\mathit {g_{p}g_{c}}}{1+g_{p}g_{c}}},}$${\displaystyle {\mathit {g_{cl}}},}$

Para un proceso de primer orden, una función de transferencia general es . Al combinar esto con la función de transferencia de bucle cerrado anterior, se obtiene . Simplificando esta ecuación, se obtiene donde y . Para que este sistema sea estable, ; por lo tanto, debe ser un número positivo y (la práctica estándar es asegurarse de que ). ${\displaystyle g_{p}={\frac {k_{p}}{\tau _{p}s+1}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}{1+{\frac {k_{p}k_{c}}{\tau _{p}s+1}}}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {k_{CL}}{\tau _{CL}s+1}}}$${\displaystyle k_{CL}={\frac {k_{p}k_{c}}{1+k_{p}k_{c}}}}$${\displaystyle \tau _{CL}={\frac {\tau _{p}}{1+k_{p}k_{c}}}}$${\displaystyle \tau _{CL}>0}$${\displaystyle \tau _{p}}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>-1}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>0}$

Al introducir un cambio de paso en el sistema se obtiene una respuesta de salida de . ${\displaystyle y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}}$

Utilizando el teorema del valor final,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\lim _{s\,\searrow \,0}\left(s\times {\frac {k_{CL}}{\tau _{CL}s+1}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=k_{CL}\times \Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

lo que demuestra que siempre habrá un desfase en el sistema.

Para un proceso de integración, una función de transferencia general es , que, cuando se combina con la función de transferencia de bucle cerrado, se convierte en . ${\displaystyle g_{p}={\frac {1}{s(s+1)}}}$${\displaystyle g_{CL}={\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}}$

Al introducir un cambio de paso en el sistema se obtiene una respuesta de salida de .${\displaystyle y(s)=g_{CL}\times {\frac {\Delta R}{s}}}$

Utilizando el teorema del valor final,

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=\lim _{s\,\searrow \,0}\left(s\times {\frac {k_{c}}{s(s+1)+k_{c}}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=\Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

lo que significa que no hay compensación en este sistema. Este es el único proceso que no tendrá ninguna compensación al utilizar un controlador proporcional. ^[1]

El error de compensación es la diferencia entre el valor deseado y el valor real, error SP − PV . En un rango de condiciones de operación, el control proporcional por sí solo no puede eliminar el error de compensación, ya que requiere un error para generar un ajuste de salida. ^[1] Si bien un controlador proporcional puede ajustarse (a través del ajuste p0 , si es posible) para eliminar el error de compensación para las condiciones esperadas, cuando ocurre una perturbación (desviación del estado existente o ajuste del punto de ajuste) en el proceso, la acción de control correctiva, basada puramente en el control proporcional, dará como resultado un error de compensación.

Consideremos un objeto suspendido por un resorte como un simple control proporcional. El resorte intentará mantener el objeto en una determinada ubicación a pesar de las perturbaciones que puedan desplazarlo temporalmente. La ley de Hooke nos dice que el resorte aplica una fuerza correctiva que es proporcional al desplazamiento del objeto. Si bien esto tenderá a mantener el objeto en una ubicación particular, la ubicación absoluta de reposo del objeto variará si se modifica su masa. Esta diferencia en la ubicación de reposo es el error de desplazamiento.

La banda proporcional es la banda de salida del controlador en la que el elemento de control final (una válvula de control, por ejemplo) se moverá de un extremo a otro. Matemáticamente, se puede expresar como:

${\displaystyle PB={\frac {100}{K_{p}}}\ }$

Por lo tanto, si , la ganancia proporcional, es muy alta, la banda proporcional es muy pequeña, lo que significa que la banda de salida del controlador sobre la cual el elemento de control final pasará del mínimo al máximo (o viceversa) es muy pequeña. Este es el caso de los controladores de encendido y apagado, donde es muy alto y, por lo tanto, incluso para un pequeño error, la salida del controlador se lleva de un extremo a otro.${\displaystyle K_{p}}$${\displaystyle K_{p}}$

La clara ventaja del control proporcional sobre el control de encendido y apagado se puede demostrar con el control de velocidad del automóvil. Una analogía del control de encendido y apagado es conducir un automóvil aplicando potencia máxima o ninguna potencia y variando el ciclo de trabajo para controlar la velocidad. La potencia estaría activa hasta que se alcance la velocidad objetivo, y luego se eliminaría la potencia, por lo que el automóvil reduciría la velocidad. Cuando la velocidad cae por debajo del objetivo, con una cierta histéresis , se aplicaría nuevamente potencia máxima. Se puede ver que esto obviamente daría como resultado un control deficiente y grandes variaciones en la velocidad. Cuanto más potente sea el motor, mayor será la inestabilidad; cuanto más pesado sea el automóvil, mayor será la estabilidad. La estabilidad puede expresarse como correlacionada con la relación potencia-peso del vehículo.

En el control proporcional, la potencia de salida siempre es proporcional al error (velocidad real versus velocidad objetivo). Si el automóvil se encuentra a la velocidad objetivo y la velocidad aumenta ligeramente debido a una pendiente descendente, la potencia se reduce ligeramente, o en proporción al cambio en el error, de modo que el automóvil reduce la velocidad gradualmente y alcanza el nuevo punto objetivo con muy poco, si es que hay alguno, "sobreimpulso", lo que es un control mucho más suave que el control de encendido y apagado. En la práctica, los controladores PID se utilizan para este y para la gran cantidad de otros procesos de control que requieren un control más sensible que el uso del control proporcional únicamente.

• Control proporcional comparado con el control de encendido y apagado o bang-bang