Espacio contráctil

En matemáticas , un espacio topológico X es contráctil si el mapa identidad en X es nulo-homotópico, es decir, si es homotópico a algún mapa constante. ^{[1] [2]} Intuitivamente, un espacio contráctil es uno que puede encogerse continuamente hasta un punto dentro de ese espacio.

Un espacio contráctil es precisamente aquel con el tipo de homotopía de un punto. De ello se deduce que todos los grupos de homotopía de un espacio contráctil son triviales . Por lo tanto, cualquier espacio con un grupo de homotopía no trivial no puede ser contráctil. De manera similar, dado que la homología singular es un invariante de homotopía, los grupos de homología reducidos de un espacio contráctil son todos triviales.

Para un espacio topológico no vacío X los siguientes son todos equivalentes:

• X es contráctil (es decir, el mapa identidad es nulo-homotópico).
• X es homotópicamente equivalente a un espacio de un punto.
• La deformación X se retrae hacia un punto. (Sin embargo, existen espacios contráctiles que no sufren una fuerte deformación que se retraiga hacia un punto.)
• Para cualquier espacio conexo por trayectorias Y , dos mapas cualesquiera f , g : X → Y son homotópicos.
• Para cualquier espacio Y , cualquier función f : Y → X es nula-homotópica.

El cono de un espacio X es siempre contráctil. Por lo tanto, cualquier espacio puede estar incluido en uno contráctil (lo que también ilustra que los subespacios de los espacios contráctiles no necesitan ser contráctiles).

Además, X es contráctil si y sólo si existe una retracción del cono de X a X .

Todo espacio contráctil es conexo por trayectorias y simplemente conexo . Además, dado que todos los grupos de homotopía superiores se anulan, todo espacio contráctil es n -conexo para todo n ≥ 0.

Un espacio topológico X es localmente contráctil en un punto x si para cada entorno U de x hay un entorno V de x contenido en U tal que la inclusión de V es nulomotópica en U. Un espacio es localmente contráctil si es localmente contráctil en cada punto. Esta definición se conoce ocasionalmente como "localmente contráctil del topólogo geométrico", aunque es el uso más común del término. En el texto estándar de Topología Algebraica de Hatcher , esta definición se conoce como "localmente contráctil débilmente", aunque ese término tiene otros usos.

Si cada punto tiene una base local de vecindades contráctiles, entonces decimos que X es fuertemente contráctil localmente . Los espacios contráctiles no son necesariamente contráctiles localmente ni viceversa. Por ejemplo, el espacio peine es contráctil pero no localmente contráctil (si lo fuera, estaría localmente conexo, lo cual no es así). Los espacios localmente contráctiles están localmente n -conexos para todo n ≥ 0. En particular, están localmente conexos simplemente , localmente conexos por caminos y localmente conexos . El círculo es (fuertemente) contráctil localmente pero no contráctil.

La contractibilidad local fuerte es una propiedad estrictamente más fuerte que la contractibilidad local; los contraejemplos son sofisticados, el primero de los cuales fue dado por Borsuk y Mazurkiewicz en su artículo Sur les rétractes absolus indécomposables , CR. Acad. Sci. París 199 (1934), 110-112).

Existe cierto desacuerdo sobre cuál es la definición "estándar" de contractibilidad local; la primera definición es la más utilizada en topología geométrica, especialmente históricamente, mientras que la segunda se ajusta mejor al uso típico del término "local" con respecto a las propiedades topológicas. Siempre se debe tener cuidado con las definiciones al interpretar los resultados sobre estas propiedades.

• Cualquier espacio euclidiano es contráctil, como lo es cualquier dominio estelar en un espacio euclidiano.
• La variedad Whitehead es contráctil.
• Las esferas de cualquier dimensión finita no son contráctiles.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contráctil .
• La casa de dos habitaciones es un ejemplo típico de un espacio que es contractible, aunque no intuitivamente.
• El sombrero Dunce es contraíble, pero no plegable .
• El cono de un pendiente hawaiano es contráctil (ya que es un cono), pero no es contráctil localmente ni siquiera está simplemente conectado localmente.
• Todas las variedades y complejos CW son localmente contráctiles, pero en general no contráctiles.
• El círculo de Varsovia se obtiene "cerrando" la curva sinusoidal del topólogo mediante un arco que conecta (0,−1) y (1,sin(1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es contráctil.

• Bola 4 falsa  : variedad topológica matemática