Constante de propagación

La constante de propagación de una onda electromagnética sinusoidal es una medida del cambio que sufre la amplitud y la fase de la onda a medida que se propaga en una dirección determinada. La cantidad que se mide puede ser el voltaje , la corriente en un circuito o un vector de campo como la intensidad del campo eléctrico o la densidad de flujo . La constante de propagación mide el cambio adimensional en magnitud o fase por unidad de longitud . En el contexto de las redes de dos puertos y sus cascadas, la constante de propagación mide el cambio que sufre la cantidad de la fuente a medida que se propaga de un puerto al siguiente.

El valor de la constante de propagación se expresa de forma logarítmica , casi universalmente en base e , en lugar de en base 10, como se utiliza en telecomunicaciones en otras situaciones. La cantidad medida, como el voltaje, se expresa como un fasor sinusoidal . La fase de la sinusoide varía con la distancia, lo que da como resultado que la constante de propagación sea un número complejo , y la parte imaginaria se debe al cambio de fase.

El término "constante de propagación" es un nombre un tanto inapropiado ya que por lo general varía fuertemente con ω . Es probablemente el término más utilizado pero hay una gran variedad de nombres alternativos utilizados por varios autores para esta cantidad. Estos incluyen parámetro de transmisión , función de transmisión , parámetro de propagación , coeficiente de propagación y constante de transmisión . Si se utiliza el plural, sugiere que α y β se hacen referencia por separado pero colectivamente como en parámetros de transmisión , parámetros de propagación , etc. En la teoría de líneas de transmisión, α y β se cuentan entre los "coeficientes secundarios", el término secundario se utiliza para contrastar con los coeficientes de línea primarios . Los coeficientes primarios son las propiedades físicas de la línea, a saber, R, C, L y G, de los cuales los coeficientes secundarios pueden derivarse utilizando la ecuación del telégrafo . En el campo de las líneas de transmisión, el término coeficiente de transmisión tiene un significado diferente a pesar de la similitud del nombre: es el compañero del coeficiente de reflexión .

La constante de propagación, símbolo γ , para un sistema dado se define por la relación entre la amplitud compleja en la fuente de la onda y la amplitud compleja a cierta distancia x , tal que,

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}}$

Invirtiendo la ecuación anterior y aislando γ se obtiene el cociente entre el logaritmo natural de la relación de amplitud compleja y la distancia x recorrida:

${\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}$

Como la constante de propagación es una cantidad compleja, podemos escribir:

γ = α + yo β {\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }

dónde

• α , la parte real, se llama constante de atenuación.
• β , la parte imaginaria, se llama constante de fase
• ${\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}\ ;}$Más a menudo, j se utiliza para circuitos eléctricos.

Que β efectivamente representa la fase se puede ver en la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }$

que es una sinusoide que varía en fase a medida que θ varía pero no varía en amplitud porque

${\displaystyle \left|e^{i\theta }\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta }+\sin ^{2}{\theta }\;}}=1}$

Ahora también queda claro el motivo del uso de la base e . La constante de fase imaginaria, i β , se puede sumar directamente a la constante de atenuación, α , para formar un único número complejo que se puede manejar en una operación matemática siempre que tengan la misma base. Los ángulos medidos en radianes requieren la base e , por lo que la atenuación también está en base e .

La constante de propagación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de línea primaria mediante la relación

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {ZY\ }}}$

dónde

${\displaystyle Z=R+i\ \omega L\ ,}$la impedancia en serie de la línea por unidad de longitud y,

${\displaystyle Y=G+i\ \omega C\ ,}$la admitancia de derivación de la línea por unidad de longitud.

El factor de propagación de una onda plana que viaja en un medio lineal en la dirección x está dado por donde$${\displaystyle P=e^{-\gamma x}}$$

• ${\textstyle \gamma =\alpha +i\ \beta ={\sqrt {i\ \omega \ \mu \ (\sigma +i\ \omega \varepsilon )\ }}\ }$^{[1] : 126}
• ${\displaystyle x=}$ distancia recorrida en la dirección x
• ${\displaystyle \alpha =\ }$ Constante de atenuación en unidades de neperios /metro
• ${\displaystyle \beta =\ }$ constante de fase en unidades de radianes /metro
• ${\displaystyle \omega =\ }$frecuencia en radianes/segundo
• ${\displaystyle \sigma =\ }$ conductividad del medio
• ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon '-i\ \varepsilon ''\ }$= permitividad compleja del medio
• ${\displaystyle \mu =\mu '-i\ \mu ''\;}$= permeabilidad compleja del medio
• ${\displaystyle i\equiv {\sqrt {-1\ }}}$

Se eligió la convención de signos para mantener la coherencia con la propagación en medios con pérdidas. Si la constante de atenuación es positiva, la amplitud de la onda disminuye a medida que la onda se propaga en la dirección x .

La longitud de onda , la velocidad de fase y la profundidad de la piel tienen relaciones simples con los componentes de la constante de propagación:$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}$$

En telecomunicaciones , el término constante de atenuación , también llamado parámetro de atenuación o coeficiente de atenuación , es la atenuación de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio por unidad de distancia desde la fuente. Es la parte real de la constante de propagación y se mide en neper por metro. Un neper es aproximadamente 8,7  dB . La constante de atenuación se puede definir por la relación de amplitud

${\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}$

La constante de propagación por unidad de longitud se define como el logaritmo natural de la relación entre la corriente o el voltaje del extremo transmisor y la corriente o el voltaje del extremo receptor, dividido por la distancia x involucrada:

${\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}$

La constante de atenuación para líneas conductoras se puede calcular a partir de los coeficientes de línea primaria como se muestra arriba. Para una línea que cumple con la condición sin distorsión , con una conductancia G en el aislante, la constante de atenuación está dada por

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}\,\!}$

Sin embargo, es poco probable que una línea real cumpla esta condición sin la adición de bobinas de carga y, además, existen algunos efectos dependientes de la frecuencia que operan sobre las "constantes" primarias que causan una dependencia de la frecuencia de la pérdida. Hay dos componentes principales de estas pérdidas, la pérdida de metal y la pérdida dieléctrica.

La pérdida de la mayoría de las líneas de transmisión está dominada por la pérdida de metal, que causa una dependencia de la frecuencia debido a la conductividad finita de los metales y el efecto pelicular dentro de un conductor. El efecto pelicular hace que R a lo largo del conductor sea aproximadamente dependiente de la frecuencia según

${\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}$

Las pérdidas en el dieléctrico dependen de la tangente de pérdida (tan  δ ) del material dividida por la longitud de onda de la señal, por lo que son directamente proporcionales a la frecuencia.

${\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}$

La constante de atenuación para un modo de propagación particular en una fibra óptica es la parte real de la constante de propagación axial.

En teoría electromagnética , la constante de fase , también llamada constante de cambio de fase , parámetro o coeficiente, es el componente imaginario de la constante de propagación de una onda plana. Representa el cambio de fase por unidad de longitud a lo largo del camino recorrido por la onda en cualquier instante y es igual a la parte real del número de onda angular de la onda. Se representa con el símbolo β y se mide en unidades de radianes por unidad de longitud.

A partir de la definición de número de onda (angular) para ondas electromagnéticas transversales (TEM) en medios sin pérdidas,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }$

Para una línea de transmisión , las ecuaciones del telégrafo nos dicen que el número de onda debe ser proporcional a la frecuencia para que la transmisión de la onda no se distorsione en el dominio del tiempo . Esto incluye, pero no se limita a, el caso ideal de una línea sin pérdidas. La razón de esta condición se puede ver considerando que una señal útil se compone de muchas longitudes de onda diferentes en el dominio de la frecuencia. Para que no haya distorsión de la forma de onda , todas estas ondas deben viajar a la misma velocidad para que lleguen al extremo más alejado de la línea al mismo tiempo como un grupo . Dado que la velocidad de fase de onda está dada por

${\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}$

Se demuestra que se requiere que β sea proporcional a ω . En términos de coeficientes primarios de la línea, esto produce de la ecuación del telégrafo para una línea sin distorsión la condición

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}$

donde L y C son, respectivamente, la inductancia y la capacitancia por unidad de longitud de la línea. Sin embargo, en la práctica, solo se puede esperar que las líneas cumplan aproximadamente esta condición en una banda de frecuencia limitada.

En particular, la constante de fase no siempre es equivalente al número de onda . La relación${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta =k}$

Se aplica a las ondas TEM, que se propagan en el espacio libre o en dispositivos TEM como el cable coaxial y dos líneas de transmisión de cables paralelos . Sin embargo, no se aplica a las ondas TE (ondas eléctricas transversales) ni a las ondas TM (ondas magnéticas transversales). Por ejemplo, ^[2] en una guía de ondas hueca donde no puede existir la onda TEM pero sí pueden propagarse las ondas TE y TM,

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

${\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}$

Aquí está la frecuencia de corte . En una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

donde son los números de moda para los lados del rectángulo de longitud y respectivamente. Para los modos TE, (pero no está permitido), mientras que para los modos TM .${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m,n\geq 0}$${\displaystyle m=n=0}$${\displaystyle m,n\geq 1}$

La velocidad de fase es igual a

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}$

El término constante de propagación o función de propagación se aplica a filtros y otras redes de dos puertos utilizadas para el procesamiento de señales . En estos casos, sin embargo, los coeficientes de atenuación y fase se expresan en términos de neperios y radianes por sección de red en lugar de por unidad de longitud. Algunos autores ^[3] hacen una distinción entre medidas por unidad de longitud (para las que se utiliza "constante") y medidas por sección (para las que se utiliza "función").

La constante de propagación es un concepto útil en el diseño de filtros que invariablemente utiliza una topología de secciones en cascada . En una topología en cascada, la constante de propagación, la constante de atenuación y la constante de fase de las secciones individuales se pueden sumar simplemente para encontrar la constante de propagación total, etc.

La relación entre el voltaje de salida y el de entrada para cada red viene dada por ^[4]

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}$

Los términos son términos de escala de impedancia ^[5] y su uso se explica en el artículo sobre impedancia de imagen .${\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}$

La relación de voltaje general viene dada por

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}$

Por lo tanto, para n secciones en cascada que tienen todas impedancias coincidentes enfrentadas entre sí, la constante de propagación general está dada por

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}$

El concepto de profundidad de penetración es una de las muchas maneras de describir la absorción de ondas electromagnéticas. Para conocer las demás y sus interrelaciones, consulte el artículo: Descripciones matemáticas de la opacidad .

• Velocidad de propagación

• «Constante de propagación». Microwave Encyclopedia. 2011. Archivado desde el original (en línea) el 14 de julio de 2014. Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Constante de propagación" (en línea) . Enciclopedia de física y tecnología láser . Consultado el 2 de febrero de 2011 .
• Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (febrero de 1999). "Determinación de permitividad compleja a partir de mediciones de constante de propagación" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 76–78. doi :10.1109/75.755052 . Consultado el 2 de febrero de 2011 .Se encuentra disponible la descarga gratuita en formato PDF. Existe una versión actualizada con fecha del 6 de agosto de 2002.