Conjunto errante

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En los sistemas dinámicos y la teoría ergódica , el concepto de conjunto errante formaliza una cierta idea de movimiento y mezcla . Cuando un sistema dinámico tiene un conjunto errante de medida distinta de cero, entonces el sistema es un sistema disipativo . Esto es lo opuesto a un sistema conservativo , al que se aplica el teorema de recurrencia de Poincaré . Intuitivamente, la conexión entre los conjuntos errantes y la disipación se entiende fácilmente: si una parte del espacio de fases "se aleja" durante la evolución temporal normal del sistema, y ​​nunca es visitada de nuevo, entonces el sistema es disipativo. El lenguaje de los conjuntos errantes se puede utilizar para dar una definición matemática precisa al concepto de un sistema disipativo. La noción de conjuntos errantes en el espacio de fases fue introducida por Birkhoff en 1927. ^{[ cita requerida ]}

Una definición común y de tiempo discreto de los conjuntos errantes comienza con una función de un espacio topológico X. Se dice que un punto es un punto errante si existe un entorno U de x y un entero positivo N tal que, para todo , la función iterada no se interseca:${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

Una definición más práctica requiere solamente que la intersección tenga medida cero . Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medida , es decir, parte de un triple de conjuntos de Borel y una medida tal que${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

para todos . De manera similar, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapa que define la evolución temporal o el flujo del sistema, donde el operador de evolución temporal es una acción de grupo abeliano continuo de un parámetro sobre X :${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

En tal caso, un punto errante tendrá un vecindario U de x y un tiempo T tal que para todos los tiempos , la función evolucionada en el tiempo es de medida cero:${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t>T}$

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

Estas definiciones más simples pueden generalizarse completamente a la acción grupal de un grupo topológico . Sea un espacio de medida, es decir, un conjunto con una medida definida en sus subconjuntos de Borel . Sea un grupo que actúa sobre ese conjunto. Dado un punto , el conjunto${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

se llama trayectoria u órbita del punto x .

Un elemento se denomina punto errante si existe un entorno U de x y un entorno V de la identidad en tal que ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

Para todos .${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$

Un punto no errante es lo opuesto. En el caso discreto, es no errante si, para cada conjunto abierto U que contiene x y cada N > 0, hay algún n > N tal que${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

Se siguen definiciones similares para las acciones de tiempo continuo y de grupo discretas y continuas.

Un conjunto errante es una colección de puntos errantes. Más precisamente, un subconjunto W de es un conjunto errante bajo la acción de un grupo discreto si W es medible y si, para cualquier intersección${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

es un conjunto de medida cero.

El concepto de conjunto errante es, en cierto sentido, dual a las ideas expresadas en el teorema de recurrencia de Poincaré. Si existe un conjunto errante de medida positiva, entonces se dice que la acción de es disipativa y que el sistema dinámico es un sistema disipativo . Si no existe tal conjunto errante, se dice que la acción es conservativa y que el sistema es un sistema conservativo . Por ejemplo, cualquier sistema para el que se cumpla el teorema de recurrencia de Poincaré no puede tener, por definición, un conjunto errante de medida positiva; y, por lo tanto, es un ejemplo de sistema conservativo.${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (\Omega ,\Gamma )}$

Defina la trayectoria de un conjunto errante W como

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

Se dice que la acción de es completamente disipativa si existe un conjunto errante W de medida positiva, tal que la órbita es casi en todas partes igual a , es decir, si${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

es un conjunto de medida cero.

La descomposición de Hopf establece que cada espacio de medida con una transformación no singular puede descomponerse en un conjunto conservativo invariante y un conjunto errante invariante.

• Teorema de no dominio errante

• Nicholls, Peter J. (1989). La teoría ergódica de grupos discretos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Alexandre I. Danilenko y Cesar E. Silva (8 de abril de 2009). Teoría ergódica: transformaciones no singulares ; Véase Arxiv arXiv:0803.2424.
• Krengel, Ulrich (1985), Teoremas ergódicos , Estudios De Gruyter en Matemáticas, vol. 6, de Gruyter, ISBN 3-11-008478-3