Conjunto interno

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En lógica matemática , en particular en teoría de modelos y análisis no estándar , un conjunto interno es un conjunto que es miembro de un modelo.

El concepto de conjuntos internos es una herramienta para formular el principio de transferencia , que se ocupa de la relación lógica entre las propiedades de los números reales R y las propiedades de un campo más grande denotado * R llamado los números hiperreales . El campo * R incluye, en particular, números infinitesimales ("infinitamente pequeños"), lo que proporciona una justificación matemática rigurosa para su uso. En términos generales, la idea es expresar el análisis sobre R en un lenguaje adecuado de lógica matemática y luego señalar que este lenguaje se aplica igualmente bien a * R . Esto resulta posible porque en el nivel de teoría de conjuntos , las proposiciones en dicho lenguaje se interpretan para que se apliquen solo a conjuntos internos en lugar de a todos los conjuntos (nótese que el término "lenguaje" se usa en un sentido amplio en lo anterior).

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson es un enfoque axiomático del análisis no estándar (véase también Palmgren en análisis no estándar constructivo ). Las teorías infinitarias convencionales del análisis no estándar también utilizan el concepto de conjuntos internos.

En relación con la construcción ultrapotente de los números hiperreales como clases de equivalencia de secuencias de reales, un subconjunto interno [ A _n ] de * R es uno definido por una secuencia de conjuntos reales , donde se dice que un hiperreal pertenece al conjunto si y solo si el conjunto de índices n tales que , es un miembro del ultrafiltro usado en la construcción de * R .${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$${\displaystyle [u_{n}]}$${\displaystyle [A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$

En términos más generales, una entidad interna es un miembro de la extensión natural de una entidad real. Por lo tanto, cada elemento de * R es interno; un subconjunto de * R es interno si y solo si es un miembro de la extensión natural del conjunto potencia de R ; etc.${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$

Todo subconjunto interno de * R que sea un subconjunto de (la copia incorporada de) R es necesariamente finito (véase el Teorema 3.9.1 de Goldblatt, 1998). En otras palabras, todo subconjunto infinito interno de los hiperreales contiene necesariamente elementos no estándar.

• Función de la pieza estándar
• Superestructura (matemáticas)

• Goldblatt, Robert . Lecciones sobre los hiperreales . Introducción al análisis no estándar. Textos de posgrado en matemáticas , 188. Springer-Verlag, Nueva York, 1998.
• Abraham Robinson (1996), Análisis no estándar , Hitos de Princeton en matemáticas y física, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3