Teorema de Quillen-Suslin

El teorema de Quillen-Suslin , también conocido como problema de Serre o conjetura de Serre , es un teorema del álgebra conmutativa que se refiere a la relación entre módulos libres y módulos proyectivos sobre anillos de polinomios . En el contexto geométrico, es una afirmación sobre la trivialidad de los fibrados vectoriales en el espacio afín .

El teorema establece que todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo polinomial es libre .

Geométricamente, los módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo corresponden a fibrados vectoriales sobre el espacio afín , donde los módulos libres corresponden a fibrados vectoriales triviales. Esta correspondencia (de módulos a fibrados vectoriales (algebraicos)) está dada por el funtor de 'globalización' o 'twiddlificación', enviando (Hartshorne II.5, página 110). El espacio afín es topológicamente contráctil , por lo que no admite fibrados vectoriales topológicos no triviales. Un argumento simple usando la secuencia exacta exponencial y el lema de Poincaré de la barra d muestra que tampoco admite fibrados vectoriales holomorfos no triviales .${\displaystyle R[x_{1},\puntos ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A}_{R}^{n}}$${\displaystyle M\to {\widetilde {M}}}$

Jean-Pierre Serre , en su artículo de 1955 Faisceaux algébriques cohérents , remarcó que la pregunta correspondiente no se conocía para los fibrados vectoriales algebraicos: "No se sabe si existen A -módulos proyectivos de tipo finito que no sean libres". ^[1] Aquí hay un anillo polinomial sobre un cuerpo , es decir, = .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle k[x_{1},\puntos ,x_{n}]}$

Para consternación de Serre, este problema se hizo conocido rápidamente como la conjetura de Serre. (Serre escribió: "Me opuse a ese nombre tan a menudo como pude". ^[2] ) La afirmación no se desprende inmediatamente de las pruebas dadas en el caso topológico u holomorfo. Estos casos sólo garantizan que existe una trivialización continua u holomorfa, no una trivialización algebraica.

Serre avanzó un poco hacia una solución en 1957 cuando demostró que todo módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo de polinomios sobre un cuerpo era establemente libre , lo que significa que después de formar su suma directa con un módulo libre finitamente generado, se volvía libre. El problema permaneció abierto hasta 1976, cuando Daniel Quillen y Andrei Suslin demostraron el resultado de forma independiente. Quillen recibió la Medalla Fields en 1978 en parte por su demostración de la conjetura de Serre. Leonid Vaseršteĭn dio más tarde una demostración más simple y mucho más corta del teorema, que se puede encontrar en el Álgebra de Serge Lang .

Una generalización que relaciona los módulos proyectivos sobre anillos noetherianos regulares A y sus anillos polinomiales se conoce como conjetura de Bass-Quillen .

Nótese que si bien los fibrados en el espacio afín son todos triviales, esto no es cierto para los fibrados G donde G es un grupo algebraico reductivo general .$Estilo de visualización GL_{n}$

• Serre, Jean-Pierre (marzo de 1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , segunda serie, 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874
• Serre, Jean-Pierre (1958), "Modules projectifs et espaces fibrés à fibre vectorielle", Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin y C. Pisot, 1957/58, Fasc. 2, Exposé 23 (en francés), MR  0177011
• Quillen, Daniel (1976), "Módulos proyectivos sobre anillos polinómicos", Inventiones Mathematicae , 36 (1): 167–171, doi :10.1007/BF01390008, MR  0427303
• Suslin, Andrei A. (1976), Módulos de proyección de ropa de gran tamaño[Los módulos proyectivos sobre anillos polinomiales son libres], Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 229 (5): 1063–1066, MR  0469905. Traducido en "Los módulos proyectivos sobre anillos polinomiales son libres", Matemáticas Soviéticas , 17 (4): 1160–1164, 1976.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556

Una descripción de este tema la proporciona:

• Lam, Tsit Yuen (2006), El problema de Serre sobre módulos proyectivos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín; Nueva York: Springer Science+Business Media , pp. 300pp., ISBN 978-3-540-23317-6, Sr.  2235330