Consecuencia lógica

La consecuencia lógica (también llamada implicación ) es un concepto fundamental en lógica que describe la relación entre enunciados que son verdaderos cuando un enunciado se sigue lógicamente de uno o más enunciados. Un argumento lógico válido es aquel en el que la conclusión se sigue de las premisas , porque la conclusión es la consecuencia de las premisas. El análisis filosófico de la consecuencia lógica involucra las preguntas: ¿En qué sentido una conclusión se sigue de sus premisas? y ¿Qué significa que una conclusión sea una consecuencia de las premisas? ^[1] Toda la lógica filosófica tiene como objetivo proporcionar explicaciones de la naturaleza de la consecuencia lógica y la naturaleza de la verdad lógica . ^[2]

La consecuencia lógica es necesaria y formal , a modo de ejemplos que explican con prueba formal y modelos de interpretación . ^[1] Se dice que una oración es una consecuencia lógica de un conjunto de oraciones, para un idioma dado , si y solo si , usando solo la lógica (es decir, sin tener en cuenta ninguna interpretación personal de las oraciones) la oración debe ser verdadera si cada oración en el conjunto es verdadera. ^[3]

Los lógicos dan explicaciones precisas de la consecuencia lógica con respecto a un lenguaje dado , ya sea construyendo un sistema deductivo para el lenguaje o mediante una semántica formal intencionada . El lógico polaco Alfred Tarski identificó tres características de una caracterización adecuada de la implicación: (1) La relación de consecuencia lógica se basa en la forma lógica de las oraciones; (2) La relación es a priori , es decir, puede determinarse con o sin tener en cuenta la evidencia empírica (experiencia sensorial); y (3) La relación de consecuencia lógica tiene un componente modal . ^[3]${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

La opinión más extendida sobre la mejor manera de explicar las consecuencias lógicas es apelar a la formalidad, es decir, que el que los enunciados se sigan unos a otros lógicamente depende de la estructura o forma lógica de los enunciados, sin tener en cuenta el contenido de esa forma.

Las explicaciones sintácticas de las consecuencias lógicas se basan en esquemas que utilizan reglas de inferencia . Por ejemplo, podemos expresar la forma lógica de un argumento válido como:

Todos los X son Y

Todas las Y son Z

Por lo tanto , todos los X son Z.

Este argumento es formalmente válido, porque cada instancia de argumentos construidos utilizando este esquema es válida.

Esto contrasta con un argumento como "Fred es el hijo del hermano de Mike. Por lo tanto, Fred es el sobrino de Mike". Dado que este argumento depende de los significados de las palabras "hermano", "hijo" y "sobrino", la afirmación "Fred es el sobrino de Mike" es una supuesta consecuencia material de "Fred es el hijo del hermano de Mike", no una consecuencia formal. Una consecuencia formal debe ser verdadera en todos los casos , sin embargo, esta es una definición incompleta de consecuencia formal, ya que incluso el argumento " P es el hijo del hermano de Q , por lo tanto, P es el sobrino de Q " es válido en todos los casos, pero no es un argumento formal . ^[1]

Si se sabe que se sigue lógicamente de , entonces ninguna información sobre las posibles interpretaciones de o afectará a ese conocimiento. Nuestro conocimiento que es una consecuencia lógica de no puede ser influenciado por el conocimiento empírico . ^[1] Se puede saber que los argumentos deductivamente válidos lo son sin recurrir a la experiencia, por lo que deben ser cognoscibles a priori. ^[1] Sin embargo, la formalidad por sí sola no garantiza que la consecuencia lógica no esté influenciada por el conocimiento empírico. Por lo tanto, la propiedad a priori de la consecuencia lógica se considera independiente de la formalidad. ^[1]${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización Q}$${\estilo de visualización P}$

Las dos técnicas predominantes para proporcionar explicaciones de las consecuencias lógicas implican expresar el concepto en términos de pruebas y mediante modelos . El estudio de la consecuencia sintáctica (de una lógica) se denomina (su) teoría de la prueba , mientras que el estudio de (su) consecuencia semántica se denomina (su) teoría del modelo . ^[4]

Una fórmula es una consecuencia sintáctica ^{[5] [6] [7] [8] [9]} dentro de algún sistema formal de un conjunto de fórmulas si hay una prueba formal en de a partir del conjunto . Esto se denota . El símbolo del torniquete fue introducido originalmente por Frege en 1879, pero su uso actual solo se remonta a Rosser y Kleene (1934-1935). ^[9]${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$${\estilo de visualización \vdash}$

La consecuencia sintáctica no depende de ninguna interpretación del sistema formal. ^[10]

Una fórmula es una consecuencia semántica dentro de algún sistema formal de un conjunto de enunciados si y solo si no existe un modelo en el que todos los miembros de sean verdaderos y sea falso. ^[11] Esto se denota . O, en otras palabras, el conjunto de las interpretaciones que hacen que todos los miembros de sean verdaderos es un subconjunto del conjunto de las interpretaciones que hacen que sean verdaderos.${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Las explicaciones modales de la consecuencia lógica son variaciones de la siguiente idea básica:

${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\estilo de visualización \vdash}$ ${\estilo de visualización A}$es verdadero si y sólo si es necesario que si todos los elementos de son verdaderos, entonces es verdadero.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Alternativamente (y la mayoría diría que de manera equivalente):

${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\estilo de visualización \vdash}$ ${\estilo de visualización A}$es verdadero si y sólo si es imposible que todos los elementos de sean verdaderos y falsos.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Estas explicaciones se denominan "modales" porque apelan a las nociones modales de necesidad lógica y posibilidad lógica . "Es necesario que" se expresa a menudo como un cuantificador universal sobre mundos posibles , de modo que las explicaciones anteriores se traducen como:

${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\estilo de visualización \vdash}$ ${\estilo de visualización A}$es verdadero si y sólo si no existe un mundo posible en el que todos los elementos de sean verdaderos y sea falso (incierto).${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Consideremos la explicación modal en términos del argumento dado como ejemplo arriba:

Todas las ranas son verdes.

Kermit es una rana.

Por lo tanto, Kermit es verde.

La conclusión es una consecuencia lógica de las premisas porque no podemos imaginar un mundo posible donde (a) todas las ranas sean verdes; (b) Kermit sea una rana; y (c) Kermit no sea verde.

Las explicaciones modales-formales de la consecuencia lógica combinan las explicaciones modales y formales anteriores, produciendo variaciones sobre la siguiente idea básica:

${\estilo de visualización \Gamma}$ ${\estilo de visualización \vdash}$ ${\estilo de visualización A}$si y sólo si es imposible que un argumento con la misma forma lógica que / tenga premisas verdaderas y una conclusión falsa.${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$

Las teorías consideradas anteriormente son todas "preservadoras de la verdad", en el sentido de que todas suponen que el rasgo característico de una buena inferencia es que nunca permite pasar de premisas verdaderas a una conclusión falsa. Como alternativa, algunos han propuesto teorías " preservadoras de la garantía ", según las cuales el rasgo característico de una buena inferencia es que nunca permite pasar de premisas justificablemente afirmables a una conclusión que no lo es. Esta es (a grandes rasgos) la teoría defendida por intuicionistas como Michael Dummett .

Las explicaciones analizadas anteriormente producen relaciones de consecuencia monótonas , es decir, relaciones tales que si es una consecuencia de , entonces es una consecuencia de cualquier superconjunto de . También es posible especificar relaciones de consecuencia no monótonas para capturar la idea de que, por ejemplo, "Tweety puede volar" es una consecuencia lógica de${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización \Gamma}$

{Los pájaros normalmente pueden volar, Tweety es un pájaro}

pero no de

{Los pájaros normalmente pueden volar, Tweety es un pájaro, Tweety es un pingüino}.

• Anderson, AR; Belnap, ND Jr. (1975), Entailment , vol. 1, Princeton, NJ: Princeton.
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• Un artículo sobre 'implicación' de math.niu.edu, Implication Archivado el 21 de octubre de 2014 en Wayback Machine.
• Una definición de 'implicante' AllWords

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• Beall, Jc ; Restall, Greg (19 de noviembre de 2013). "Consecuencia lógica". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2016).
• "Consecuencia lógica". Enciclopedia de Filosofía en Internet .
• Consecuencia lógica en el Proyecto de Ontología de la Filosofía de Indiana
• Consecuencia lógica en PhilPapers
• "Implicación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]