Método de complementos

En matemáticas e informática , el método de complementos es una técnica para codificar un rango simétrico de números enteros positivos y negativos de manera que puedan usar el mismo algoritmo (o mecanismo ) para la adición en todo el rango. Para un número dado de lugares, la mitad de las posibles representaciones de números codifican los números positivos, la otra mitad representa sus respectivos inversos aditivos . Los pares de números inversos mutuamente aditivos se denominan complementos . Por lo tanto, la resta de cualquier número se implementa sumando su complemento. El cambio de signo de cualquier número se codifica generando su complemento, lo que se puede hacer mediante un algoritmo muy simple y eficiente. Este método se usaba comúnmente en calculadoras mecánicas y todavía se usa en computadoras modernas . El concepto generalizado de complemento de base (como se describe a continuación) también es valioso en la teoría de números , como en el teorema de Midy .

El complemento a nueve de un número dado en representación decimal se forma reemplazando cada dígito por nueve menos ese dígito. Para restar un número decimal y (el sustraendo ) de otro número x (el minuendo ) se pueden utilizar dos métodos:

En el primer método, el complemento a nueve de x se suma a y . Luego, se forma el complemento a nueve del resultado obtenido para producir el resultado deseado.

En el segundo método, el complemento de nueve de y se suma a x y se suma uno a la suma. Luego se descarta el dígito más a la izquierda, "1", del resultado. Descartar el "1" más a la izquierda es especialmente conveniente en calculadoras o computadoras que usan un número fijo de dígitos: no hay ningún lugar donde colocarlo, por lo que simplemente se pierde durante el cálculo. El complemento de nueve más uno se conoce como complemento de diez.

El método de complementos se puede extender a otras bases numéricas ( raíces ); en particular, se utiliza en la mayoría de las computadoras digitales para realizar restas, representar números negativos en base 2 o aritmética binaria y probar el desbordamiento en el cálculo. ^[1]

El complemento de base de un número de dígitos en base se define como . En la práctica, el complemento de base se obtiene más fácilmente sumando 1 al complemento de base disminuido , que es . Si bien esto parece igualmente difícil de calcular como el complemento de base, en realidad es más simple ya que es simplemente el dígito repetido veces. Esto se debe a que (ver también Fórmula de serie geométrica ). Sabiendo esto, el complemento de base disminuido de un número se puede encontrar complementando cada dígito con respecto a , es decir, restando cada dígito en de .${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización y}$ ${\estilo de visualización b}$$Estilo de visualización b^{n}-y$${\displaystyle \left(b^{n}-1\right)-y}$${\displaystyle \left(b^{n}-1\right)}$${\estilo de visualización b-1}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle b^{n}-1=(b-1)\left(b^{n-1}+b^{n-2}+\cdots +b+1\right)=(b-1)b^{n-1}+\cdots +(b-1)}$${\estilo de visualización b-1}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización b-1}$

La resta de de utilizando complementos de base disminuidos se puede realizar de la siguiente manera. Sume el complemento de base disminuido de a para obtener o equivalentemente , que es el complemento de base disminuido de . Además, tomando el complemento de base disminuido de da como resultado la respuesta deseada de .${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$$Estilo de visualización b^{n}-1-x+y}$$Estilo de visualización b^{n}-1-(xy)}$${\estilo de visualización xy}$$Estilo de visualización b^{n}-1-(xy)}$${\estilo de visualización xy}$

Alternativamente, se puede utilizar el complemento de base, sumando el complemento de base de a para obtener o . Suponiendo que , el resultado será mayor o igual a y eliminar el punto inicial del resultado es lo mismo que restar , lo que hace que el resultado o simplemente , sea el resultado deseado.${\estilo de visualización xy}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x+b^{n}-y}$$Estilo de visualización x-y+b^{n}}$${\displaystyle y\leq x}$$Estilo de visualización b^{n}}$${\estilo de visualización 1}$$Estilo de visualización b^{n}}$${\displaystyle x-y+b^{n}-b^{n}}$${\estilo de visualización xy}$

En el sistema de numeración decimal , el complemento de base se denomina complemento de diez y el complemento de base disminuido, complemento de nueve . En binario , el complemento de base se denomina complemento de dos y el complemento de base disminuido, complemento de unos . La denominación de los complementos en otras bases es similar. Algunas personas, en particular Donald Knuth , recomiendan utilizar la colocación del apóstrofo para distinguir entre el complemento de base y el complemento de base disminuido. En este uso, el complemento de cuatro se refiere al complemento de base de un número en base cuatro, mientras que el complemento de cuatro es el complemento de base disminuido de un número en base 5. Sin embargo, la distinción no es importante cuando la base es evidente (casi siempre), y la diferencia sutil en la colocación del apóstrofo no es una práctica común. La mayoría de los escritores utilizan el complemento de uno y el complemento de nueve , y muchos manuales de estilo omiten el apóstrofo, recomendando el complemento de uno y el complemento de nueve .

El complemento a nueve de una cifra decimal es el número que se le debe sumar para obtener 9; el complemento a nueve de 3 es 6, el complemento a nueve de 7 es 2, y así sucesivamente, véase la tabla. Para formar el complemento a nueve de un número mayor, cada cifra se reemplaza por su complemento a nueve.

Considere el siguiente problema de resta:

 873 [x, el minuendo]- 218 [y, el sustraendo]

Calcula el complemento de nueve del minuendo, 873. Súmalo al sustraendo 218, luego calcula el complemento de nueve del resultado.

 126 [complemento de nueves de x = 999 - x]+ 218 [y, el sustraendo]————— 344 [999 - x + y]

Ahora calcula el complemento de nueves del resultado.

 344 [resultado] 655 [complemento de nueves de 344 = 999 - (999 - x + y) = x - y, la respuesta correcta]

Calcula el complemento de nueve de 218, que es 781. Como 218 tiene tres dígitos, esto es lo mismo que restar 218 de 999.

A continuación se toma la suma de y el complemento a nueve de :${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

 873 [x]+ 781 [complemento de nueve de y = 999 - y]————— 1654 [999 + x - y]

Luego se elimina el primer dígito "1", obteniéndose 654.

1654-1000 [-(999 + 1)]————— 654 [-(999 + 1) + 999 + x - y]

Esto todavía no es correcto. En el primer paso, se agregó 999 a la ecuación. Luego, se restaron 1000 al eliminar el 1 inicial. Por lo tanto, la respuesta obtenida (654) es uno menos que la respuesta correcta . Para solucionar esto, se agrega 1 a la respuesta:${\estilo de visualización xy}$

 654+ 1————— 655 [x-y]

Al sumar un 1 obtenemos 655, la respuesta correcta al problema de resta original. El último paso de sumar 1 se podría omitir si en su lugar se utilizara el complemento a diez de y en el primer paso.

En el siguiente ejemplo el resultado de la resta tiene menos dígitos que :${\estilo de visualización x}$

 123410 [x, el minuendo]- 123401 [y, el sustraendo]

Usando el primer método la suma del complemento a nueve de y es${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

 876589 [complemento de nueves de x]+ 123401 [y]———————— 999990

El complemento de nueves de 999990 es 000009. Quitando los ceros iniciales se obtiene 9, el resultado deseado.

Si el sustraendo, , tiene menos dígitos que el minuendo, , se deben agregar ceros a la izquierda en el segundo método. Estos ceros se convierten en nueves a la izquierda cuando se toma el complemento. Por ejemplo:${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$

 48032 [x]- 391 [año]

se puede reescribir

 48032 [x]- 00391 [y con ceros a la izquierda]

Reemplazando 00391 por su complemento a nueve y sumando 1 se obtiene la suma:

 48032 [x]+ 99608 [complemento de nueve de y]+ 1——————— 147641

Eliminando el 1 inicial obtenemos la respuesta correcta: 47641.

El método de los complementos es especialmente útil en binario (base 2) ya que el complemento a uno se obtiene muy fácilmente invirtiendo cada bit (cambiando '0' por '1' y viceversa). La adición de 1 para obtener el complemento a dos se puede realizar simulando un acarreo en el bit menos significativo. Por ejemplo:

 0110 0100 [x, es igual al decimal 100]- 0001 0110 [y, es igual al decimal 22]

se convierte en la suma:

 0110 0100 [x]+ 1110 1001 [complemento a uno de y = 1111 1111 - y]+ 1 [para obtener el complemento a dos = 1 0000 0000 - y]——————————— 10100 1110 [x + 1 0000 0000 - y]

Si eliminamos el "1" inicial, obtenemos la respuesta: 0100 1110 (equivale al decimal 78)

El método de complementos normalmente supone que los operandos son positivos y que y ≤ x , restricciones lógicas dadas que la suma y resta de números enteros arbitrarios normalmente se hace comparando signos, sumando los dos o restando el menor del mayor y dando al resultado el signo correcto.

Veamos qué sucede si x < y . En ese caso, no habrá un dígito "1" para tachar después de la suma, ya que será menor que . Por ejemplo, (en decimal):$Estilo de visualización x-y+b^{n}}$$Estilo de visualización b^{n}}$

 185 [x]- 329 [año]

Complementando y y sumando obtenemos:

 185 [x]+ 670 [complemento de nueves de y]+ 1————— 856

En este punto, no hay una manera sencilla de completar el cálculo restando (1000 en este caso); no se puede simplemente ignorar un 1 inicial. La respuesta esperada es −144, que no está tan lejos como parece; 856 resulta ser el complemento a diez de 144. Esta cuestión se puede abordar de varias maneras:$Estilo de visualización b^{n}}$

• Ignore el problema. Esto es razonable si una persona está utilizando un dispositivo de cálculo que no admite números negativos, ya que comparar los dos operandos antes del cálculo para que se puedan ingresar en el orden correcto y verificar que el resultado sea razonable es algo que resulta fácil de hacer para los humanos.
• Utilice el mismo método para restar 856 de 1000 y luego agregue un signo negativo al resultado.
• Representa los números negativos como complementos de base de sus contrapartes positivas. Los números menores que se consideran positivos; el resto se consideran negativos (y su magnitud se puede obtener tomando el complemento de base). Esto funciona mejor para bases pares ya que el signo se puede determinar mirando el primer dígito. Por ejemplo, los números en notación de complemento a diez son positivos si el primer dígito es 0, 1, 2, 3 o 4, y negativos si 5, 6, 7, 8 o 9. Y funciona muy bien en binario ya que el primer bit se puede considerar un bit de signo: el número es positivo si el bit de signo es 0 y negativo si es 1. De hecho, el complemento a dos se utiliza en la mayoría de las computadoras modernas para representar números con signo.$Estilo de visualización b^{n}/2$
• Complemente el resultado si no hay acarreo del dígito más significativo (una indicación de que x era menor que y ). Esto es más fácil de implementar con circuitos digitales que comparar e intercambiar los operandos. Pero como tomar el complemento de base requiere sumar 1, es difícil hacerlo directamente. Afortunadamente, se puede usar un truco para evitar esta adición: en lugar de establecer siempre un acarreo en el dígito menos significativo al restar, el acarreo del dígito más significativo se usa como entrada de acarreo en el dígito menos significativo (una operación llamada acarreo de fin alrededor ). Entonces, si y ≤ x , se suma el acarreo del dígito más significativo que normalmente se ignoraría, lo que produce el resultado correcto. Y si no, no se suma el 1 y el resultado es uno menos que el complemento de base de la respuesta, o el complemento de base disminuido, que no requiere una adición para obtenerse. Este método lo usan las computadoras que usan signo y magnitud para representar números con signo.

El método de complementos se utilizó en muchas calculadoras mecánicas como alternativa a hacer girar los engranajes en sentido inverso. Por ejemplo:

• La calculadora de Pascal tenía dos conjuntos de dígitos de resultado, un conjunto negro que mostraba el resultado normal y un conjunto rojo que mostraba el complemento a nueves de este. Se utilizaba una tablilla horizontal para cubrir uno de estos conjuntos, dejando al descubierto el otro. Para restar, se exponían los dígitos rojos y se establecían en 0. Luego se introducía el complemento a nueves del minuendo. En algunas máquinas esto se podía hacer marcando el minuendo utilizando ruedas internas de complementos (es decir, sin tener que determinar mentalmente el complemento a nueves del minuendo). Al mostrar esos datos en la ventana de complementos (conjunto rojo), el operador podía ver el complemento a nueves del complemento a nueves del minuendo, es decir, el minuendo. Luego se movía la tablilla para exponer los dígitos negros (que ahora mostraban el complemento a nueves del minuendo) y se añadía el sustraendo marcándolo. Finalmente, el operador tenía que mover la tablilla de nuevo para leer la respuesta correcta.
• El Comptómetro tenía dígitos de complemento a nueve impresos en letra más pequeña junto con los dígitos normales en cada tecla. Para restar, se esperaba que el operador restara mentalmente 1 del sustraendo e ingresara el resultado usando los dígitos más pequeños. Dado que restar 1 antes de complementar es equivalente a sumar 1 después, el operador sumaría efectivamente el complemento a diez del sustraendo. El operador también necesitaba mantener presionada la "pestaña de corte de resta" correspondiente al dígito más a la izquierda de la respuesta. Esta pestaña impedía que el acarreo se propagara más allá de ella, el método del Comptómetro para eliminar el 1 inicial del resultado. ^[2]
• La calculadora Curta utilizaba el método de complementos para la resta y se las arreglaba para ocultarlo al usuario. Los números se introducían mediante diapositivas de entrada de dígitos situadas a un lado del dispositivo. El número de cada diapositiva se añadía a un contador de resultados mediante un mecanismo de engranajes que activaba levas en un "tambor escalonado" giratorio (también conocido como "tambor escalonado"). El tambor giraba mediante el uso de una manivela situada en la parte superior del instrumento. La cantidad de levas que encontraba cada dígito al girar la manivela se determinaba según el valor de ese dígito. Por ejemplo, si una diapositiva se colocaba en su posición "6", se encontraría una fila de 6 levas alrededor del tambor correspondiente a esa posición. Para la resta, el tambor se movía ligeramente antes de girarlo, lo que movía una fila diferente de levas a su posición. Esta fila alternativa contenía el complemento de nueves de los dígitos. Por tanto, la fila de 6 levas que había estado en posición para la suma ahora tenía una fila con 3 levas. El tambor desplazado también activaba una leva adicional que sumaba 1 al resultado (como se requiere para el método de complementos). El complemento a diez siempre presente "desbordamiento 1" que se ejecutaba más allá del dígito más significativo del registro de resultados fue, en efecto, descartado.

El uso del método de complementos es omnipresente en los ordenadores digitales, independientemente de la representación que se utilice para los números con signo. Sin embargo, el circuito necesario depende de la representación:

• Si se utiliza la representación de complemento a dos, la resta solo requiere invertir los bits del sustraendo y establecer un acarreo en el bit más a la derecha.
• Para utilizar la representación del complemento a uno es necesario invertir los bits del sustraendo y conectar el acarreo de salida del bit más significativo con el acarreo de entrada del bit menos significativo (acarreo de extremo a extremo).
• El uso de la representación de magnitud de signo requiere únicamente complementar el bit de signo del sustraendo y sumar, pero la lógica de suma/resta necesita comparar los bits de signo, complementar una de las entradas si son diferentes, implementar un acarreo de fin a fin y complementar el resultado si no hubo acarreo desde el bit más significativo.

El método de complementos se utilizaba para corregir errores cuando los libros de contabilidad se escribían a mano. Para eliminar una entrada de una columna de números, el contable podía añadir una nueva entrada con el complemento a diez del número a restar. Se añadía una barra sobre los dígitos de esta entrada para indicar su condición especial. A continuación era posible sumar toda la columna de cifras para obtener el resultado corregido.

Complementar la suma es útil para los cajeros que dan cambio por una compra en moneda de una sola denominación de 1 elevado a una potencia entera de la base de la moneda. Para monedas decimales, sería 10, 100, 1000, etc., por ejemplo, un billete de $10,00.

En las escuelas primarias, a veces se enseña a los estudiantes el método de los complementos como un atajo útil en el cálculo mental . ^[3] La resta se realiza sumando el complemento a diez del sustraendo , que es el complemento a nueve más 1. El resultado de esta suma se utiliza cuando está claro que la diferencia será positiva; de lo contrario, se utiliza el complemento a diez del resultado de la suma y se marca como negativo. La misma técnica funciona para restar en una máquina sumadora.

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