La identidad de Bézout

En matemáticas , la identidad de Bézout (también llamada lema de Bézout ), llamada así en honor a Étienne Bézout, quien la demostró para polinomios, es el siguiente teorema :

Aquí el máximo común divisor de 0 y 0 se toma como 0 . Los números enteros x e y se llaman coeficientes de Bézout para ( a , b ) ; no son únicos. Un par de coeficientes de Bézout se puede calcular mediante el algoritmo euclidiano extendido , y este par es, en el caso de números enteros, uno de los dos pares tales que | x | ≤ | b / d | y | y | ≤ | a / d | ; la igualdad ocurre solo si uno de a y b es múltiplo del otro.

A modo de ejemplo, el máximo común divisor de 15 y 69 es 3, y 3 puede escribirse como una combinación de 15 y 69 como 3 = 15 × (−9) + 69 × 2 , con coeficientes de Bézout −9 y 2.

Muchos otros teoremas de la teoría de números elementales, como el lema de Euclides o el teorema del resto chino , resultan de la identidad de Bézout.

Un dominio de Bézout es un dominio integral en el que se cumple la identidad de Bézout. En particular, la identidad de Bézout se cumple en dominios de ideales principales . Por lo tanto, todo teorema que resulte de la identidad de Bézout es verdadero en todos los dominios de ideales principales.

Si a y b no son ambos cero y se ha calculado un par de coeficientes de Bézout ( x , y ) (por ejemplo, utilizando el algoritmo euclidiano extendido ), todos los pares se pueden representar en la forma donde k es un entero arbitrario, d es el máximo común divisor de a y b , y las fracciones se simplifican a números enteros.$${\displaystyle \left(xk{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),}$$

Si a y b son ambos distintos de cero y ninguno de ellos divide al otro, entonces exactamente dos de los pares de coeficientes de Bézout satisfacen Si a y b son ambos positivos, uno tiene y para uno de estos pares, y y para el otro. Si a > 0 es divisor de b (incluido el caso ), entonces un par de coeficientes de Bézout es (1, 0) .$${\displaystyle |x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|\quad {\text{y}}\quad |y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|.}$$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle y<0}$${\estilo de visualización x<0}$${\displaystyle y>0}$${\estilo de visualización b=0}$

Esto se basa en una propiedad de la división euclidiana : dados dos números enteros distintos de cero c y d , si d no divide a c , hay exactamente un par ( q , r ) tal que c = dq + r y 0 < r < | d | , y otro tal que c = dq + r y −| d | < r < 0 .

Los dos pares de coeficientes de Bézout pequeños se obtienen a partir del uno dado ( x , y ) eligiendo para k en la fórmula anterior cualquiera de los dos números enteros próximos a ⁠incógnita/b / d⁠ .

El algoritmo euclidiano extendido siempre produce uno de estos dos pares mínimos.

Sea a = 12 y b = 42 , entonces mcd (12, 42) = 6 . Entonces se tienen las siguientes identidades de Bézout, con los coeficientes de Bézout escritos en rojo para los pares mínimos y en azul para los demás.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {azul}{-10}})&+\;\;42&\times \color {azul}{3}&=6\\12&\times ({\color {rojo}{-3}})&+\;\;42&\times \color {rojo}{1}&=6\\12&\times \color {rojo}{4}&+\;\;42&\times ({\color {rojo}{-1}})&=6\\12&\times \color {azul}{11}&+\;\;42&\times ({\color {azul}{-3}})&=6\\12&\times \color {azul}{18}&+\;\;42&\times ({\color {azul}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}}$$

Si ( x , y ) = (18, −5) es el par original de coeficientes de Bézout, entonces ⁠18/42/6⁠ ∈ [2, 3] produce los pares mínimos a través de k = 2 , respectivamente k = 3 ; es decir, (18 − 2 ⋅ 7, −5 + 2 ⋅ 2) = (4, −1) , y (18 − 3 ⋅ 7, −5 + 3 ⋅ 2) = (−3, 1) .

Dados cualesquiera enteros distintos de cero a y b , sea S = { ax + by | x , y ∈ Z y ax + by > 0} . El conjunto S no está vacío ya que contiene a o – a (con x = ±1 e y = 0 ). Como S es un conjunto no vacío de enteros positivos, tiene un elemento mínimo d = as + bt , por el principio de buen ordenamiento . Para demostrar que d es el máximo común divisor de a y b , debe demostrarse que d es un divisor común de a y b , y que para cualquier otro divisor común c , se tiene c ≤ d .

La división euclidiana de a por d puede escribirse como El resto r está en S ∪ {0} , porque Por lo tanto r tiene la forma ax + by , y por lo tanto r ∈ S ∪ {0} . Sin embargo, 0 ≤ r < d , y d es el entero positivo más pequeño en S : el resto r no puede estar en S , por lo que r necesariamente es 0. Esto implica que d es un divisor de a . De manera similar, d también es un divisor de b , y por lo tanto d es un divisor común de a y b .$${\displaystyle a=dq+r\quad {\text{con}}\quad 0\leq r<d.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&=a-qd\\&=aq(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}}$$

Ahora, sea c cualquier divisor común de a y b ; es decir, existen u y v tales que a = cu y b = cv . Se tiene entonces Es decir, c es un divisor de d . Como d > 0 , esto implica que c ≤ d .$${\displaystyle {\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}}$$

La identidad de Bézout se puede extender a más de dos números enteros: si entonces existen números enteros tales que tienen las siguientes propiedades:$${\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d}$$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$$${\displaystyle d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}$$

• d es el entero positivo más pequeño de esta forma
• Cada número de esta forma es múltiplo de d

La identidad de Bézout no siempre se cumple para polinomios. Por ejemplo, cuando se trabaja en el anillo polinómico de números enteros: el máximo común divisor de 2 x y x ² es x , pero no existen polinomios con coeficientes enteros p y q que satisfagan 2 xp + x ² q = x .

Sin embargo, la identidad de Bézout funciona para polinomios univariados sobre un cuerpo exactamente de la misma manera que para los números enteros. En particular, los coeficientes de Bézout y el máximo común divisor se pueden calcular con el algoritmo euclidiano extendido .

Como las raíces comunes de dos polinomios son las raíces de su máximo común divisor, la identidad de Bézout y el teorema fundamental del álgebra implican el siguiente resultado:

La generalización de este resultado a cualquier número de polinomios e indeterminados es el Nullstellensatz de Hilbert .

Como se señaló en la introducción, la identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de números enteros, sino también en cualquier otro dominio ideal principal (PID). Es decir, si R es un PID, y a y b son elementos de R , y d es un máximo común divisor de a y b , entonces hay elementos x e y en R tales que ax + by = d . La razón es que el ideal Ra + Rb es principal e igual a Rd .

Un dominio integral en el que se cumple la identidad de Bézout se denomina dominio de Bézout .

El matemático francés Étienne Bézout (1730-1783) demostró esta identidad para polinomios. ^[1] Esta afirmación para números enteros ya se puede encontrar en el trabajo de un matemático francés anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). ^{[2] [3] [4]}

• Teorema AF+BG  – Acerca de las curvas algebraicas que pasan por todos los puntos de intersección de otras dos curvas, un análogo de la identidad de Bézout para polinomios homogéneos en tres indeterminados
• Ecuación diofántica  : ecuación polinómica cuyas soluciones enteras se buscan
• Lema de Euclides  : Un divisor primo de un producto divide a uno de los factores.
• Teorema fundamental de la aritmética  : los números enteros tienen factorizaciones primas únicas

• Calculadora en línea de la identidad de Bézout.
• Weisstein, Eric W. "La identidad de Bézout". MundoMatemático .