Ciclo límite

En matemáticas , en el estudio de sistemas dinámicos con espacio de fases bidimensional , un ciclo límite es una trayectoria cerrada en el espacio de fases que tiene la propiedad de que al menos otra trayectoria se desvía en espiral hacia ella cuando el tiempo se acerca al infinito o cuando el tiempo se acerca al infinito negativo. Este comportamiento se exhibe en algunos sistemas no lineales . Los ciclos límite se han utilizado para modelar el comportamiento de muchos sistemas oscilatorios del mundo real. El estudio de los ciclos límite fue iniciado por Henri Poincaré (1854-1912).

Consideremos un sistema dinámico bidimensional de la forma donde es una función suave. Una trayectoria de este sistema es una función suave con valores en los que satisface esta ecuación diferencial. Tal trayectoria se llama cerrada (o periódica ) si no es constante sino que vuelve a su punto de partida, es decir, si existe alguna tal que para todo . Una órbita es la imagen de una trayectoria, un subconjunto de . Una órbita cerrada , o ciclo , es la imagen de una trayectoria cerrada. Un ciclo límite es un ciclo que es el conjunto límite de alguna otra trayectoria.$${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$$${\estilo de visualización x(t)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle t_{0}>0}$${\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}$${\displaystyle t\in \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Según el teorema de la curva de Jordan , toda trayectoria cerrada divide el plano en dos regiones, la interior y la exterior de la curva.

Dado un ciclo límite y una trayectoria en su interior que se aproxima al ciclo límite para un tiempo que se aproxima a , entonces existe un entorno alrededor del ciclo límite tal que todas las trayectorias en el interior que comienzan en el entorno se aproximan al ciclo límite para un tiempo que se aproxima a . La afirmación correspondiente es válida para una trayectoria en el interior que se aproxima al ciclo límite para un tiempo que se aproxima a , y también para trayectorias en el exterior que se aproximan al ciclo límite.${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización +\infty}$${\estilo de visualización -\infty}$

En el caso en que todas las trayectorias vecinas se aproximan al ciclo límite a medida que el tiempo se acerca al infinito, se habla de ciclo límite estable o atractivo (ciclo límite ω). Si, en cambio, todas las trayectorias vecinas se aproximan a él a medida que el tiempo se acerca al infinito negativo, se trata de un ciclo límite inestable (ciclo límite α). Si hay una trayectoria vecina que se aproxima al ciclo límite a medida que el tiempo se acerca al infinito, y otra que se aproxima al mismo a medida que el tiempo se acerca al infinito negativo, se trata de un ciclo límite semiestable . También hay ciclos límite que no son estables, inestables ni semiestables: por ejemplo, una trayectoria vecina puede aproximarse al ciclo límite desde el exterior, pero el interior del ciclo límite es abordado por una familia de otros ciclos (que no serían ciclos límite).

Los ciclos límite estables son ejemplos de atractores . Implican oscilaciones autosostenidas : la trayectoria cerrada describe el comportamiento periódico perfecto del sistema y cualquier pequeña perturbación de esta trayectoria cerrada hace que el sistema vuelva a ella, haciendo que el sistema se adhiera al ciclo límite.

Toda trayectoria cerrada contiene en su interior un punto estacionario del sistema, es decir, un punto donde . El teorema de Bendixson-Dulac y el teorema de Poincaré-Bendixson predicen la ausencia o existencia, respectivamente, de ciclos límite de sistemas dinámicos no lineales bidimensionales.${\estilo de visualización p}$${\displaystyle V'(p)=0}$

Encontrar ciclos límite, en general, es un problema muy difícil. El número de ciclos límite de una ecuación diferencial polinómica en el plano es el objeto principal de la segunda parte del decimosexto problema de Hilbert . Se desconoce, por ejemplo, si existe algún sistema en el plano donde ambos componentes de sean polinomios cuadráticos de las dos variables, de modo que el sistema tenga más de 4 ciclos límite.${\displaystyle x'=V(x)}$${\estilo de visualización V}$

Los ciclos límite son importantes en muchas aplicaciones científicas en las que se modelan sistemas con oscilaciones autosostenidas. Algunos ejemplos son:

• Oscilaciones aerodinámicas del ciclo límite ^[1]
• El modelo de Hodgkin-Huxley para los potenciales de acción en neuronas .
• El modelo de Sel'kov de la glucólisis . ^[2]
• Las oscilaciones diarias en la expresión genética, los niveles hormonales y la temperatura corporal de los animales, que son parte del ritmo circadiano , ^{[3] [4]} aunque esto es contradicho por evidencia más reciente. ^[5]
• La migración de células cancerosas en microambientes confinados sigue oscilaciones de ciclo límite. ^[6]
• Algunos circuitos eléctricos no lineales exhiben oscilaciones de ciclo límite, ^[7] que inspiraron el modelo original de Van der Pol .
• El control de la respiración y la hematopoyesis, tal como aparece en las ecuaciones de Mackey-Glass . ^[8]

• Atractor
• Conjunto hiperbólico
• Punto periódico
• Autooscilación
• Variedad estable

• Steven H. Strogatz (2014). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . Avalon. ISBN 9780813349114.
• M. Vidyasagar (2002). Análisis de sistemas no lineales (segunda edición). SIAM. ISBN 9780898715262.
• Philip Hartman, "Ecuación diferencial ordinaria", Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2002.
• Witold Hurewicz, "Conferencias sobre ecuaciones diferenciales ordinarias", Dover, 2002.
• Solomon Lefschetz, "Ecuaciones diferenciales: teoría geométrica", Dover, 2005.
• Lawrence Perko, "Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos", Springer-Verlag, 2006.
• Arthur Mattuck, Ciclos límite: criterios de existencia y no existencia, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

• "ciclo límite". planetmath.org . Consultado el 6 de julio de 2019 .