Centro (geometría)

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En geometría , un centro ( inglés británico ) o centro ( inglés americano ) (del griego antiguo κέντρον ( kéntron )  'objeto puntiagudo') de un objeto es un punto en algún sentido en el medio del objeto. Según la definición específica de centro que se tenga en cuenta, un objeto podría no tener centro. Si se considera la geometría como el estudio de los grupos de isometrías , entonces un centro es un punto fijo de todas las isometrías que mueven el objeto sobre sí mismo.

El centro de un círculo es el punto equidistante de los puntos de la arista. De manera similar, el centro de una esfera es el punto equidistante de los puntos de la superficie y el centro de un segmento de línea es el punto medio de los dos extremos.

En el caso de objetos con varias simetrías , el centro de simetría es el punto que no cambia debido a las acciones simétricas. Por lo tanto, el centro de un cuadrado , rectángulo , rombo o paralelogramo es el punto donde se cortan las diagonales, que es (entre otras propiedades) el punto fijo de las simetrías rotacionales. De manera similar, el centro de una elipse o una hipérbola es el punto donde se cortan los ejes.

A menudo se describen varios puntos especiales de un triángulo como centros del triángulo :

• el circuncentro , que es el centro del círculo que pasa por los tres vértices ;
• el centroide o centro de masa , el punto en el que el triángulo se equilibraría si tuviera densidad uniforme;
• el incentro , el centro del círculo que es internamente tangente a los tres lados del triángulo;
• el ortocentro , la intersección de las tres alturas del triángulo ; y
• el centro de nueve puntos , el centro del círculo que pasa por nueve puntos claves del triángulo.

Para un triángulo equilátero , estos son el mismo punto, que se encuentra en la intersección de los tres ejes de simetría del triángulo, un tercio de la distancia desde su base hasta su vértice.

Una definición estricta de centro de un triángulo es un punto cuyas coordenadas trilineales son f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) donde f es una función de las longitudes de los tres lados del triángulo, a , b , c tales que:

1. f es homogénea en a , b , c ; es decir, f ( ta , tb , tc )= t ^h f ( a , b , c ) para alguna potencia real h ; por lo tanto, la posición de un centro es independiente de la escala.
2. f es simétrico en sus dos últimos argumentos, es decir, f ( a , b , c )= f ( a , c , b ); por lo tanto, la posición de un centro en un triángulo imagen especular es la imagen especular de su posición en el triángulo original. ^[1]

Esta definición estricta excluye pares de puntos bicéntricos como los puntos de Brocard (que se intercambian mediante una reflexión especular). En 2020, la Enciclopedia de centros de triángulos enumera más de 39 000 centros de triángulos diferentes. ^[2]

Un polígono tangente tiene cada uno de sus lados tangente a un círculo determinado, llamado círculo inscrito o círculo inscrito. El centro del círculo inscrito, llamado incentro, puede considerarse un centro del polígono.

Un polígono cíclico tiene cada uno de sus vértices en un círculo determinado, llamado circunferencia circunscrita o círculo circunscrito. El centro de la circunferencia circunscrita, llamado circuncentro, puede considerarse un centro del polígono.

Si un polígono es a la vez tangencial y cíclico, se denomina bicéntrico . (Todos los triángulos son bicéntricos, por ejemplo). El incentro y el circuncentro de un polígono bicéntrico no son, en general, el mismo punto.

El centro de un polígono general se puede definir de varias maneras diferentes. El "centroide del vértice" se obtiene considerando que el polígono está vacío pero que tiene masas iguales en sus vértices. El "centroide del lado" se obtiene considerando que los lados tienen una masa constante por unidad de longitud. El centro habitual, llamado simplemente centroide (centro del área), se obtiene considerando que la superficie del polígono tiene una densidad constante. Estos tres puntos, en general, no son todos el mismo punto.

En geometría proyectiva, cada línea tiene un punto en el infinito o "punto figurativo" donde cruza todas las líneas que son paralelas a ella. La elipse, la parábola y la hipérbola de la geometría euclidiana se denominan cónicas en geometría proyectiva y pueden construirse como cónicas de Steiner a partir de una proyectividad que no es una perspectividad. Una simetría del plano proyectivo con una cónica dada relaciona cada punto o polo con una línea llamada su polar . El concepto de centro en geometría proyectiva utiliza esta relación. Las siguientes afirmaciones son de GB Halsted . ^[3]

• El conjugado armónico de un punto en el infinito con respecto a los puntos finales de una secta finita es el "centro" de esa secta.

• El polo de la recta en el infinito con respecto a una determinada cónica es el 'centro' de la cónica.

• El polar de cualquier punto figurativo está en el centro de la cónica y se llama "diámetro".

• El centro de cualquier elipse está dentro de ella, pues su polar no corta la curva, y por lo tanto no hay tangentes desde ella hasta la curva. El centro de una parábola es el punto de contacto de la recta figurativa.

• El centro de una hipérbola se encuentra fuera de la curva, ya que la recta figurativa corta la curva. Las tangentes desde el centro a la hipérbola se llaman asíntotas. Sus puntos de contacto son los dos puntos del infinito sobre la curva.

• Punto central
• Centro Chebyshev
• Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano
• Centro de rotación instantáneo