Capa límite

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En física y mecánica de fluidos , una capa límite es una capa delgada de fluido que se encuentra en las inmediaciones de una superficie límite formada por el fluido que fluye a lo largo de la superficie. La interacción del fluido con la pared induce una condición límite sin deslizamiento (velocidad cero en la pared). La velocidad del flujo aumenta entonces de manera monótona por encima de la superficie hasta que vuelve a la velocidad del flujo en masa. La capa delgada que consiste en fluido cuya velocidad aún no ha vuelto a la velocidad del flujo en masa se denomina capa límite de velocidad.

El aire junto a un ser humano se calienta, lo que da como resultado un flujo de aire convectivo inducido por la gravedad, que da como resultado una capa límite tanto de velocidad como térmica. Una brisa altera la capa límite, y el cabello y la ropa la protegen, lo que hace que el ser humano se sienta más fresco o más cálido. En el ala de un avión , la capa límite de velocidad es la parte del flujo cercana al ala, donde las fuerzas viscosas distorsionan el flujo no viscoso circundante. En la atmósfera de la Tierra , la capa límite atmosférica es la capa de aire (~ 1 km) cerca del suelo. Se ve afectada por la superficie; flujos de calor diurnos y nocturnos causados ​​por el sol que calienta el suelo, la humedad o la transferencia de momento hacia o desde la superficie.

Las capas límite laminares se pueden clasificar libremente según su estructura y las circunstancias en las que se crean. La fina capa de cizallamiento que se desarrolla sobre un cuerpo oscilante es un ejemplo de capa límite de Stokes , mientras que la capa límite de Blasius se refiere a la conocida solución de similitud cerca de una placa plana adherida sostenida por un flujo unidireccional que se aproxima y la capa límite de Falkner-Skan , una generalización del perfil de Blasius. Cuando un fluido gira y las fuerzas viscosas se equilibran por el efecto Coriolis (en lugar de la inercia convectiva), se forma una capa de Ekman . En la teoría de la transferencia de calor, se produce una capa límite térmica. Una superficie puede tener varios tipos de capa límite simultáneamente.

La naturaleza viscosa del flujo de aire reduce las velocidades locales en una superficie y es responsable de la fricción superficial. La capa de aire sobre la superficie del ala que se ralentiza o detiene por la viscosidad es la capa límite. Existen dos tipos diferentes de flujo de capa límite: laminar y turbulento. ^[1]

Flujo de capa límite laminar

El flujo laminar es un flujo muy suave, mientras que la capa límite turbulenta contiene remolinos o "remolinos". El flujo laminar crea menos fricción superficial que el flujo turbulento, pero es menos estable. El flujo de la capa límite sobre la superficie de un ala comienza como un flujo laminar suave. A medida que el flujo continúa hacia atrás desde el borde de ataque, la capa límite laminar aumenta de espesor.

Flujo turbulento en la capa límite

A cierta distancia del borde de ataque, el flujo laminar suave se interrumpe y pasa a ser un flujo turbulento. Desde el punto de vista de la resistencia aerodinámica, es aconsejable que la transición del flujo laminar al turbulento se realice lo más atrás posible en el ala, o que una gran parte de la superficie del ala se encuentre dentro de la porción laminar de la capa límite. Sin embargo, el flujo laminar de baja energía tiende a interrumpirse más repentinamente que la capa turbulenta.

La capa límite aerodinámica fue planteada por primera vez por Ludwig Prandtl en un artículo presentado el 12 de agosto de 1904 en el tercer Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg, Alemania . Simplifica las ecuaciones del flujo de fluidos al dividir el campo de flujo en dos áreas: una dentro de la capa límite, dominada por la viscosidad y que crea la mayor parte del arrastre experimentado por el cuerpo límite; y otra fuera de la capa límite, donde la viscosidad puede ignorarse sin efectos significativos en la solución. Esto permite una solución de forma cerrada para el flujo en ambas áreas al realizar simplificaciones significativas de las ecuaciones completas de Navier-Stokes . La misma hipótesis es aplicable a otros fluidos (además del aire) con viscosidad moderada a baja, como el agua. Para el caso en el que hay una diferencia de temperatura entre la superficie y el fluido a granel, se encuentra que la mayor parte de la transferencia de calor hacia y desde un cuerpo tiene lugar en las proximidades de la capa límite de velocidad. Esto nuevamente permite simplificar las ecuaciones en el campo de flujo fuera de la capa límite. La distribución de presión a lo largo de la capa límite en la dirección normal a la superficie (como un perfil aerodinámico ) permanece relativamente constante en toda la capa límite y es la misma que en la superficie misma.

El espesor de la capa límite de velocidad se define normalmente como la distancia desde el cuerpo sólido hasta el punto en el que la velocidad del flujo viscoso es el 99% de la velocidad de la corriente libre (la velocidad superficial de un flujo no viscoso). ^[2] El espesor de desplazamiento es una definición alternativa que establece que la capa límite representa un déficit en el flujo másico en comparación con el flujo no viscoso con deslizamiento en la pared. Es la distancia por la que la pared tendría que desplazarse en el caso no viscoso para dar el mismo flujo másico total que en el caso viscoso. La condición sin deslizamiento requiere que la velocidad del flujo en la superficie de un objeto sólido sea cero y que la temperatura del fluido sea igual a la temperatura de la superficie. La velocidad del flujo aumentará entonces rápidamente dentro de la capa límite, gobernada por las ecuaciones de la capa límite, a continuación.

El espesor de la capa límite térmica es, de manera similar, la distancia desde el cuerpo a la cual la temperatura es el 99 % de la temperatura de la corriente libre. La relación entre los dos espesores está determinada por el número de Prandtl . Si el número de Prandtl es 1, las dos capas límite tienen el mismo espesor. Si el número de Prandtl es mayor que 1, la capa límite térmica es más delgada que la capa límite de velocidad. Si el número de Prandtl es menor que 1, que es el caso del aire en condiciones estándar, la capa límite térmica es más gruesa que la capa límite de velocidad.

En los diseños de alto rendimiento, como los planeadores y los aviones comerciales, se presta mucha atención al control del comportamiento de la capa límite para minimizar la resistencia. Se deben considerar dos efectos. En primer lugar, la capa límite aumenta el espesor efectivo del cuerpo, a través del espesor de desplazamiento , lo que aumenta la resistencia a la presión. En segundo lugar, las fuerzas de corte en la superficie del ala crean una resistencia a la fricción superficial .

En los números de Reynolds altos , típicos de los aviones de tamaño completo, es deseable tener una capa límite laminar . Esto da como resultado una fricción de la piel menor debido al perfil de velocidad característico del flujo laminar. Sin embargo, la capa límite inevitablemente se engrosa y se vuelve menos estable a medida que el flujo se desarrolla a lo largo del cuerpo, y finalmente se vuelve turbulento , el proceso conocido como transición de capa límite . Una forma de lidiar con este problema es succionar la capa límite a través de una superficie porosa (ver Succión de la capa límite ). Esto puede reducir la resistencia, pero generalmente es poco práctico debido a su complejidad mecánica y la potencia requerida para mover el aire y desecharlo. Las técnicas de flujo laminar natural (NLF) empujan la transición de la capa límite hacia atrás remodelando el perfil aerodinámico o el fuselaje de modo que su punto más grueso esté más hacia atrás y menos grueso. Esto reduce las velocidades en la parte delantera y se logra el mismo número de Reynolds con una mayor longitud.

En números de Reynolds más bajos , como los que se observan en los aeromodelos, es relativamente fácil mantener el flujo laminar. Esto da lugar a una fricción superficial baja, lo que es deseable. Sin embargo, el mismo perfil de velocidad que da a la capa límite laminar su baja fricción superficial también hace que se vea gravemente afectada por gradientes de presión adversos . A medida que la presión comienza a recuperarse sobre la parte trasera de la cuerda del ala, una capa límite laminar tenderá a separarse de la superficie. Dicha separación de flujo provoca un gran aumento de la resistencia a la presión , ya que aumenta en gran medida el tamaño efectivo de la sección del ala. En estos casos, puede ser ventajoso hacer que la capa límite entre en turbulencia deliberadamente en un punto anterior a la ubicación de la separación laminar, utilizando un turbulador . El perfil de velocidad más completo de la capa límite turbulenta le permite sostener el gradiente de presión adverso sin separarse. Por tanto, aunque aumenta la fricción superficial, disminuye la resistencia general. Este es el principio que subyace a las hendiduras de las pelotas de golf, así como a los generadores de vórtices de los aviones. También se han diseñado secciones especiales de ala que adaptan la recuperación de presión de modo que la separación laminar se reduce o incluso se elimina. Esto representa un compromiso óptimo entre la resistencia a la presión de la separación del flujo y la fricción superficial de la turbulencia inducida.

Cuando se utilizan semimodelos en túneles de viento, a veces se utiliza un peniche para reducir o eliminar el efecto de la capa límite.

La deducción de las ecuaciones de la capa límite fue uno de los avances más importantes en la dinámica de fluidos. Mediante un análisis de orden de magnitud , las conocidas ecuaciones de Navier-Stokes que rigen el flujo de fluidos viscosos se pueden simplificar en gran medida dentro de la capa límite. En particular, la característica de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) se vuelve parabólica, en lugar de la forma elíptica de las ecuaciones de Navier-Stokes completas. Esto simplifica en gran medida la solución de las ecuaciones. Al realizar la aproximación de la capa límite, el flujo se divide en una porción no viscosa (que es fácil de resolver mediante varios métodos) y la capa límite, que está gobernada por una EDP más fácil de resolver. Las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para un flujo incompresible estable bidimensional en coordenadas cartesianas se dan por

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}$

${\displaystyle u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon {\partial \upsilon \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}+{\nu }\left({\partial ^{2}\upsilon \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\upsilon \over \partial y^{2}}\right)}$

donde y son los componentes de la velocidad, es la densidad, es la presión y es la viscosidad cinemática del fluido en un punto.${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \nu }$

La aproximación establece que, para un número de Reynolds suficientemente alto , el flujo sobre una superficie se puede dividir en una región exterior de flujo no viscoso no afectado por la viscosidad (la mayoría del flujo) y una región cercana a la superficie donde la viscosidad es importante (la capa límite). Sean y las velocidades en el sentido de la corriente y transversal (normal a la pared) respectivamente dentro de la capa límite. Utilizando el análisis de escala , se puede demostrar que las ecuaciones de movimiento anteriores se reducen dentro de la capa límite para convertirse en${\displaystyle u}$${\displaystyle \upsilon }$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

${\displaystyle {1 \over \rho }{\partial p \over \partial y}=0}$

y si el fluido es incompresible (como lo son los líquidos en condiciones estándar):

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial \upsilon \over \partial y}=0}$

El análisis del orden de magnitud supone que la escala de longitud en el sentido de la corriente es significativamente mayor que la escala de longitud transversal dentro de la capa límite. De ello se deduce que las variaciones en las propiedades en la dirección en el sentido de la corriente son generalmente mucho menores que las de la dirección normal a la pared. Si aplicamos esto a la ecuación de continuidad, veremos que , la velocidad normal a la pared, es pequeña en comparación con la velocidad en el sentido de la corriente.${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle u}$

Dado que la presión estática es independiente de , entonces la presión en el borde de la capa límite es la presión en toda la capa límite en una posición dada en el sentido de la corriente. La presión externa se puede obtener mediante una aplicación de la ecuación de Bernoulli . Sea la velocidad del fluido fuera de la capa límite, donde y son ambas paralelas. Esto da al sustituir por el siguiente resultado${\displaystyle p}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}=U{\frac {dU}{dx}}+{\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Para un flujo en el que la presión estática tampoco cambia en la dirección del flujo${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=0}$

por lo que permanece constante.${\displaystyle U}$

Por lo tanto, la ecuación de movimiento se simplifica para convertirse en

${\displaystyle u{\partial u \over \partial x}+\upsilon {\partial u \over \partial y}={\nu }{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}}$

Estas aproximaciones se utilizan en una variedad de problemas prácticos de flujo de interés científico y de ingeniería. El análisis anterior es para cualquier capa límite laminar o turbulenta instantánea, pero se utiliza principalmente en estudios de flujo laminar, ya que el flujo medio también es el flujo instantáneo porque no hay fluctuaciones de velocidad presentes. Esta ecuación simplificada es una EDP parabólica y se puede resolver utilizando una solución de similitud a menudo denominada capa límite de Blasius .

Prandtl observó que a partir de cualquier solución que satisfaga las ecuaciones de la capa límite, se puede construir otra solución que también satisfaga las ecuaciones de la capa límite escribiendo ^[3]${\displaystyle u(x,y,t),\ v(x,y,t)}$${\displaystyle u^{*}(x,y,t),\ v^{*}(x,y,t)}$

${\displaystyle u^{*}(x,y,t)=u(x,y+f(x),t),\quad v^{*}(x,y,t)=v(x,y+f(x),t)-f'(x)u(x,y+f(x),t)}$

donde es arbitrario. Dado que la solución no es única desde una perspectiva matemática, ^[4] a la solución se le puede agregar cualquiera de un conjunto infinito de funciones propias como lo demostraron Stewartson ^[5] y Paul A. Libby . ^{[6] [7]}${\displaystyle f(x)}$

Von Kármán derivó la ecuación integral integrando la ecuación de la capa límite a través de la capa límite en 1921. ^[8] La ecuación es

${\displaystyle {\frac {\tau _{w}}{\rho U^{2}}}={\frac {1}{U^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(U\delta _{1})+{\frac {\partial \delta _{2}}{\partial x}}+{\frac {2\delta _{2}+\delta _{1}}{U}}{\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {v_{w}}{U}}}$

dónde

${\displaystyle \tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0},\quad v_{w}=v(x,0,t),\quad \delta _{1}=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy,\quad \delta _{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u}{U}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \tau _{w}}$es la tensión cortante de la pared, es la velocidad de succión/inyección en la pared, es el espesor de desplazamiento y es el espesor de momento. La aproximación de Kármán-Pohlhausen se deriva de esta ecuación.${\displaystyle v_{w}}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \delta _{2}}$

La integral de energía fue derivada por Wieghardt. ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\frac {2\varepsilon }{\rho U^{3}}}={\frac {1}{U}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\delta _{1}+\delta _{2})+{\frac {2\delta _{2}}{U^{2}}}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {1}{U^{3}}}{\frac {\partial }{\partial x}}(U^{3}\delta _{3})+{\frac {v_{w}}{U}}}$

dónde

${\displaystyle \varepsilon =\int _{0}^{\infty }\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}dy,\quad \delta _{3}=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{U}}\left(1-{\frac {u^{2}}{U^{2}}}\right)\,dy}$

${\displaystyle \varepsilon }$es la tasa de disipación de energía debido a la viscosidad a través de la capa límite y es el espesor de energía. ^[11]${\displaystyle \delta _{3}}$

Para capas límite bidimensionales estables, von Mises ^[12] introdujo una transformación que toma y ( función de corriente ) como variables independientes en lugar de y y utiliza una variable dependiente en lugar de . La ecuación de la capa límite se convierte entonces en${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \chi =U^{2}-u^{2}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial \chi }{\partial x}}=\nu {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial \psi ^{2}}}}$

Las variables originales se recuperan de

${\displaystyle y=\int {\sqrt {U^{2}-\chi }}\,d\psi ,\quad u={\sqrt {U^{2}-\chi }},\quad v=u\int {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{u}}\right)\,d\psi .}$

Esta transformación se extendió posteriormente a la capa límite compresible por von Kármán y HS Tsien . ^[13]

Para una capa límite compresible bidimensional estable, Luigi Crocco ^[14] introdujo una transformación que toma y como variables independientes en lugar de y y utiliza una variable dependiente (tensión cortante) en lugar de . La ecuación de la capa límite se convierte entonces en${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \tau =\mu \partial u/\partial y}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu \rho u{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)+{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}-\mu {\frac {dp}{dx}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{\tau }}\right)=0,\\[5pt]&{\text{if }}{\frac {dp}{dx}}=0,{\text{ then }}{\frac {\mu \rho }{\tau ^{2}}}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}={\frac {1}{u}}{\frac {\partial ^{2}\tau }{\partial u^{2}}}.\end{aligned}}}$

La coordenada original se recupera de

${\displaystyle y=\mu \int {\frac {du}{\tau }}.}$

El tratamiento de las capas límite turbulentas es mucho más difícil debido a la variación dependiente del tiempo de las propiedades del flujo. Una de las técnicas más utilizadas para abordar los flujos turbulentos es aplicar la descomposición de Reynolds . Aquí las propiedades instantáneas del flujo se descomponen en un componente medio y fluctuante con el supuesto de que la media del componente fluctuante es siempre cero. La aplicación de esta técnica a las ecuaciones de la capa límite proporciona las ecuaciones completas de la capa límite turbulenta que no se dan a menudo en la literatura:

${\displaystyle {\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=0}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'^{2}}})}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {v}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {v}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial y}+\nu \left({\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}{\overline {v}} \over \partial y^{2}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}({\overline {u'v'}})-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {v'^{2}}})}$

Utilizando un análisis de orden de magnitud similar, las ecuaciones anteriores se pueden reducir a términos de orden principal. Al elegir escalas de longitud para los cambios en la dirección transversal y para los cambios en la dirección de la corriente, con , la ecuación del momento x se simplifica a:${\displaystyle \delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle \delta <<L}$

${\displaystyle {\overline {u}}{\partial {\overline {u}} \over \partial x}+{\overline {v}}{\partial {\overline {u}} \over \partial y}=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

Esta ecuación no satisface la condición de no deslizamiento en la pared. Como hizo Prandtl para sus ecuaciones de capa límite, se debe utilizar una nueva escala de longitud más pequeña para permitir que el término viscoso se convierta en orden principal en la ecuación de momento. Al elegir como escala y , la ecuación de momento de orden principal para esta "capa límite interna" viene dada por:${\displaystyle \eta <<\delta }$

${\displaystyle 0=-{1 \over \rho }{\partial {\overline {p}} \over \partial x}+{\nu }{\partial ^{2}{\overline {u}} \over \partial y^{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}({\overline {u'v'}}).}$

En el límite del número de Reynolds infinito, se puede demostrar que el término de gradiente de presión no tiene efecto en la región interna de la capa límite turbulenta. La nueva "escala de longitud interna" es una escala de longitud viscosa y es de orden , siendo la escala de velocidad de las fluctuaciones turbulentas, en este caso una velocidad de fricción .${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\frac {\nu }{u_{*}}}}$${\displaystyle u_{*}}$

A diferencia de las ecuaciones de la capa límite laminar, la presencia de dos regímenes regidos por diferentes conjuntos de escalas de flujo (es decir, la escala interna y externa) ha hecho que encontrar una solución de similitud universal para la capa límite turbulenta sea difícil y controvertido. Para encontrar una solución de similitud que abarque ambas regiones del flujo, es necesario hacer coincidir asintóticamente las soluciones de ambas regiones del flujo. Dicho análisis producirá la llamada ley logarítmica o ley de potencia .

También se han aplicado enfoques similares al análisis anterior para las capas límite térmicas, utilizando la ecuación de energía en flujos compresibles. ^{[15] [16]}

El término adicional en las ecuaciones de la capa límite turbulenta se conoce como esfuerzo cortante de Reynolds y es desconocido a priori . Por lo tanto, la solución de las ecuaciones de la capa límite turbulenta requiere el uso de un modelo de turbulencia , que tiene como objetivo expresar el esfuerzo cortante de Reynolds en términos de variables de flujo conocidas o derivadas. La falta de precisión y generalidad de dichos modelos es un obstáculo importante para la predicción exitosa de las propiedades del flujo turbulento en la dinámica de fluidos moderna.${\displaystyle {\overline {u'v'}}}$

Existe una capa de tensión constante en la región cercana a la pared. Debido a la amortiguación de las fluctuaciones de velocidad verticales cerca de la pared, el término de tensión de Reynolds se volverá insignificante y observamos que existe un perfil de velocidad lineal. Esto solo es cierto para la región muy cercana a la pared .

En 1928, el ingeniero francés André Lévêque observó que la transferencia de calor por convección en un fluido que fluye se ve afectada únicamente por los valores de velocidad muy cercanos a la superficie. ^{[17] [18]} Para flujos de gran número de Prandtl, la transición de temperatura/masa desde la superficie a la temperatura de corriente libre se produce a través de una región muy delgada cerca de la superficie. Por lo tanto, las velocidades de fluido más importantes son aquellas dentro de esta región muy delgada en la que el cambio de velocidad puede considerarse lineal con la distancia normal a la superficie. De esta manera, para

${\displaystyle u(y)=U\left[1-{\frac {(y-h)^{2}}{h^{2}}}\right]=U{\frac {y}{h}}\left[2-{\frac {y}{h}}\right]\;,}$

cuando , entonces${\displaystyle y\rightarrow 0}$

${\displaystyle u(y)\approx 2U{\frac {y}{h}}=\theta y,}$

donde θ es la tangente de la parábola de Poiseuille que interseca la pared. Aunque la solución de Lévêque era específica para la transferencia de calor en un flujo de Poiseuille, su idea ayudó a otros científicos a encontrar una solución exacta del problema de la capa límite térmica. ^[19] Schuh observó que en una capa límite, u es nuevamente una función lineal de y , pero que en este caso, la tangente de la pared es una función de x . ^[20] Expresó esto con una versión modificada del perfil de Lévêque,

${\displaystyle u(y)=\theta (x)y.}$

Esto da como resultado una aproximación muy buena, incluso para números bajos, de modo que solo los metales líquidos con mucho menos que 1 no pueden tratarse de esta manera. ^[19] En 1962, Kestin y Persen publicaron un artículo que describe soluciones para la transferencia de calor cuando la capa límite térmica está contenida completamente dentro de la capa de momento y para varias distribuciones de temperatura de pared. ^[21] Para el problema de una placa plana con un salto de temperatura en , proponen una sustitución que reduce la ecuación de capa límite térmica parabólica a una ecuación diferencial ordinaria. La solución a esta ecuación, la temperatura en cualquier punto del fluido, puede expresarse como una función gamma incompleta . ^[18] Schlichting propuso una sustitución equivalente que reduce la ecuación de capa límite térmica a una ecuación diferencial ordinaria cuya solución es la misma función gamma incompleta. ^{[22] Se pueden derivar soluciones analíticas con el Ansatz} autosimilar dependiente del tiempo para las ecuaciones de capa límite incompresibles, incluida la conducción de calor. ^[23]${\displaystyle Pr}$${\displaystyle Pr}$${\displaystyle x=x_{0}}$

Como se sabe bien por varios libros de texto, la transferencia de calor tiende a disminuir con el aumento de la capa límite. Recientemente, se observó a gran escala y en la práctica que el viento que fluye a través de un generador fotovoltaico tiende a "atrapar" el calor en los paneles fotovoltaicos en un régimen turbulento debido a la disminución de la transferencia de calor. ^[24] A pesar de que con frecuencia se supone que es inherentemente turbulento, esta observación accidental demuestra que el viento natural se comporta en la práctica muy cerca de un fluido ideal, al menos en una observación que se asemeja al comportamiento esperado en una placa plana, lo que reduce potencialmente la dificultad de analizar este tipo de fenómeno a mayor escala.

Paul Richard Heinrich Blasius derivó una solución exacta para las ecuaciones de la capa límite laminar anteriores . ^[25] El espesor de la capa límite es una función del número de Reynolds para el flujo laminar.${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta \approx 5.0{x \over {\sqrt {Re}}}}$

${\displaystyle \delta }$= el espesor de la capa límite: la región de flujo donde la velocidad es menor que el 99% de la velocidad del campo lejano ; es la posición a lo largo de la placa semiinfinita, y es el número de Reynolds dado por ( densidad y viscosidad dinámica).${\displaystyle v_{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho v_{\infty }x/\mu }$${\displaystyle \rho =}$${\displaystyle \mu =}$

La solución de Blasius utiliza condiciones de contorno en forma adimensional:

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}={v_{y} \over v_{\infty }}=0}$     en     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={v_{x} \over v_{\infty }}=1}$     en y     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

Nótese que en muchos casos, la condición de contorno sin deslizamiento se cumple que , la velocidad del fluido en la superficie de la placa es igual a la velocidad de la placa en todas las ubicaciones. Si la placa no se mueve, entonces . Se requiere una derivación mucho más complicada si se permite el deslizamiento del fluido. ^[26]${\displaystyle v_{S}}$${\displaystyle v_{S}=0}$

De hecho, la solución de Blasius para el perfil de velocidad laminar en la capa límite por encima de una placa semiinfinita se puede extender fácilmente para describir las capas límite térmicas y de concentración para la transferencia de calor y masa respectivamente. En lugar del balance diferencial de momento x (ecuación de movimiento), se utiliza un balance de energía y masa derivado de manera similar:

Energía:         ${\displaystyle v_{x}{\partial T \over \partial x}+v_{y}{\partial T \over \partial y}={k \over \rho C_{p}}{\partial ^{2}T \over \partial y^{2}}}$

Masa:           ${\displaystyle v_{x}{\partial c_{A} \over \partial x}+v_{y}{\partial c_{A} \over \partial y}=D_{AB}{\partial ^{2}c_{A} \over \partial y^{2}}}$

Para el balance de momento, la viscosidad cinemática puede considerarse como la difusividad del momento . En el balance de energía, esto se reemplaza por la difusividad térmica y, en el balance de masa, por la difusividad de masa . En la difusividad térmica de una sustancia, es su conductividad térmica, es su densidad y es su capacidad calorífica. El subíndice AB denota la difusividad de la especie A que se difunde en la especie B.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \alpha ={k/\rho C_{P}}}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{P}}$

Suponiendo que , estas ecuaciones se vuelven equivalentes al equilibrio de momento. Por lo tanto, para el número de Prandtl y el número de Schmidt, la solución de Blasius se aplica directamente.${\displaystyle \alpha =D_{AB}=\nu }$${\displaystyle Pr=\nu /\alpha =1}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}=1}$

En consecuencia, esta derivación utiliza una forma relacionada de las condiciones de contorno, reemplazando por o (temperatura absoluta o concentración de la especie A). El subíndice S denota una condición de superficie.${\displaystyle v}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=0}$     en     ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}=1}$     en y     ${\displaystyle y=\infty }$${\displaystyle x=0}$

Utilizando la función de línea de corriente, Blasius obtuvo la siguiente solución para la tensión cortante en la superficie de la placa.

${\displaystyle \tau _{0}=\left({\partial v_{x} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{v_{\infty } \over x}Re^{1/2}}$

Y a través de las condiciones de contorno, se sabe que

${\displaystyle {v_{x}-v_{S} \over v_{\infty }-v_{S}}={T-T_{S} \over T_{\infty }-T_{S}}={c_{A}-c_{AS} \over c_{A\infty }-c_{AS}}}$

Se nos dan las siguientes relaciones para el flujo de calor/masa fuera de la superficie de la placa.

${\displaystyle \left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{T_{\infty }-T_{S} \over x}Re^{1/2}}$

${\displaystyle \left({\partial c_{A} \over \partial y}\right)_{y=0}=0.332{c_{A\infty }-c_{AS} \over x}Re^{1/2}}$

Así que para${\displaystyle Pr=Sc=1}$

${\displaystyle \delta =\delta _{T}=\delta _{c}={5.0x \over {\sqrt {Re}}}}$

¿Dónde están las regiones de flujo donde y son menores del 99% de sus valores de campo lejano? ^[27]${\displaystyle \delta _{T},\delta _{c}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{A}}$

Como el número de Prandtl de un fluido en particular no suele ser la unidad, el ingeniero alemán E. Polhausen, que trabajó con Ludwig Prandtl, intentó extender empíricamente estas ecuaciones para aplicarlas a . Sus resultados también se pueden aplicar a . ^[28] Encontró que para un número de Prandtl mayor que 0,6, el espesor de la capa límite térmica estaba dado aproximadamente por:${\displaystyle Pr\neq 1}$${\displaystyle Sc}$

${\displaystyle {\delta \over \delta _{T}}=Pr^{1/3}}$          y por lo tanto          ${\displaystyle {\delta \over \delta _{c}}=Sc^{1/3}}$

A partir de esta solución, es posible caracterizar las constantes de transferencia de calor/masa por convección en función de la región de flujo de la capa límite. La ley de conducción de Fourier y la ley de enfriamiento de Newton se combinan con el término de flujo derivado anteriormente y el espesor de la capa límite.

${\displaystyle {q \over A}=-k\left({\partial T \over \partial y}\right)_{y=0}=h_{x}(T_{S}-T_{\infty })}$

${\displaystyle h_{x}=0.332{k \over x}Re_{x}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Esto da la constante convectiva local en un punto del plano semiinfinito. La integración a lo largo de la placa da un promedio${\displaystyle h_{x}}$

${\displaystyle h_{L}=0.664{k \over x}Re_{L}^{1/2}Pr^{1/3}}$

Siguiendo la derivación con términos de transferencia de masa ( = constante de transferencia de masa convectiva, = difusividad de la especie A en la especie B, ), se obtienen las siguientes soluciones:${\displaystyle k}$${\displaystyle D_{AB}}$${\displaystyle Sc=\nu /D_{AB}}$

${\displaystyle k'_{x}=0.332{D_{AB} \over x}Re_{x}^{1/2}Sc^{1/3}}$

${\displaystyle k'_{L}=0.664{D_{AB} \over x}Re_{L}^{1/2}Sc^{1/3}}$

Estas soluciones se aplican para flujo laminar con un número de Prandtl/Schmidt mayor que 0,6. ^[27]

Muchos de los principios que se aplican a las aeronaves también se aplican a los barcos, submarinos y plataformas marinas, siendo el agua el fluido principal de preocupación en lugar del aire. Como el agua no es un fluido ideal, los barcos que se mueven en el agua experimentan resistencia. Las partículas de fluido se adhieren al casco del barco debido a la fuerza adhesiva entre el agua y el barco, creando una capa límite donde la velocidad de flujo del fluido forma un gradiente de velocidad pequeño pero pronunciado , con el fluido en contacto con el barco idealmente tiene una velocidad relativa de 0, y el fluido en el borde de la capa límite es la velocidad de corriente libre , o la velocidad relativa del fluido alrededor del barco. ^[29]

Mientras que la parte delantera del barco se enfrenta a fuerzas de presión normales debido al fluido que la rodea, la parte trasera ve un componente de presión que actúa más bajo debido a la capa límite. Esto conduce a una mayor resistencia debido a la presión, conocida como "arrastre de presión viscosa" o " arrastre de forma ". ^[29]

En el caso de los barcos, a diferencia de los aviones, se trabaja con flujos incompresibles, en los que el cambio de densidad del agua es insignificante (un aumento de presión cercano a 1000 kPa produce un cambio de solo 2-3 kg/m3 ⁾ . Este campo de la dinámica de fluidos se denomina hidrodinámica. Un ingeniero naval diseña teniendo en cuenta primero la hidrodinámica y, después, la resistencia. El desarrollo, la ruptura y la separación de la capa límite se vuelven críticos porque la alta viscosidad del agua produce altas tensiones de corte.

Este efecto fue aprovechado en la turbina Tesla , patentada por Nikola Tesla en 1913. Se la denomina turbina sin aspas porque utiliza el efecto de capa límite y no un fluido que incide sobre las aspas como en una turbina convencional. Las turbinas de capa límite también se conocen como turbina de tipo cohesivo, turbina sin aspas y turbina de capa Prandtl (en honor a Ludwig Prandtl ).

Al utilizar las ecuaciones de fuerza transitoria y viscosa para un flujo cilíndrico, puede predecir el espesor de la capa límite transitoria encontrando el número de Womersley ( ).${\displaystyle N_{w}}$

Fuerza transitoria =${\displaystyle \rho vw}$

Fuerza viscosa =${\displaystyle {\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Al igualarlos entre sí se obtiene:

${\displaystyle \rho vw={\mu v \over \delta _{1}^{2}}}$

Resolviendo para delta obtenemos:

${\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\mu \over \rho w}}={\sqrt {\ v \over \ w}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{1}}={L{\sqrt {w \over \ v}}}=N_{w}}$

donde = número de Womersley; = densidad; = velocidad;  ?; = longitud de la capa límite transitoria; = viscosidad; = longitud característica.${\displaystyle N_{w}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=}$${\displaystyle \delta _{1}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

Al utilizar las ecuaciones de fuerza convectiva y viscosa en la capa límite para un flujo cilíndrico, se pueden predecir las condiciones del flujo convectivo en la capa límite encontrando el número de Reynolds adimensional ( ).${\displaystyle Re}$

Fuerza convectiva:${\displaystyle \rho v^{2} \over \ L}$

Fuerza viscosa:${\displaystyle {\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Al igualarlos entre sí se obtiene:

${\displaystyle {\rho v^{2} \over \ L}={\mu v \over \delta _{2}^{2}}}$

Resolviendo para delta obtenemos:

${\displaystyle \delta _{2}={\sqrt {\mu L \over \rho v}}}$

En forma adimensional:

${\displaystyle {L \over \delta _{2}}={\sqrt {\rho vL \over \mu }}={\sqrt {Re}}}$

donde = Número de Reynolds; = densidad; = velocidad; = longitud de la capa límite convectiva; = viscosidad; = longitud característica.${\displaystyle Re}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L}$

La ingestión de la capa límite promete un aumento en la eficiencia del combustible de la aeronave con un propulsor montado en popa que ingiere la capa límite del fuselaje lento y reenergiza la estela para reducir la resistencia y mejorar la eficiencia propulsiva . Para operar en un flujo de aire distorsionado, el ventilador es más pesado y su eficiencia se reduce, y su integración es un desafío. Se utiliza en conceptos como el Aurora D8 o el Nova de la agencia de investigación francesa Onera , ahorrando un 5% en crucero al ingerir el 40% de la capa límite del fuselaje. ^[30]

Airbus presentó el concepto Nautilius en el congreso ICAS en septiembre de 2018: para absorber toda la capa límite del fuselaje, al tiempo que se minimiza la distorsión del flujo azimutal , el fuselaje se divide en dos husos con ventiladores con una relación de derivación de 13-18:1 . Las eficiencias de propulsión son de hasta el 90%, como los rotores abiertos contrarrotantes con motores más pequeños, ligeros, menos complejos y ruidosos. Podría reducir el consumo de combustible en más del 10% en comparación con un motor subalar habitual con una relación de derivación de 15:1. ^[30]

• Separación de la capa límite
• Espesor de la capa límite
• Espesor y forma de la capa límite térmica
• Succión de la capa límite
• Control de capa límite
• Micrófono de límite
• Capa límite de Blasius
• Capa límite de Falkner-Skan
• Capa de Ekman
• Capa límite planetaria
• Teoría de la perturbación
• Ley logarítmica de la pared
• Factor de forma (flujo de la capa límite)
• Esfuerzo cortante
• Capa superficial

• Chanson, H. (2009). Hidrodinámica aplicada: Introducción a los flujos de fluidos ideales y reales. CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Países Bajos, 478 páginas. ISBN 978-0-415-49271-3.
• AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – Londres, 2004. ISBN 1-58488-355-3 
• AD Polyanin, AM Kutepov, AV Vyazmin y DA Kazenin, Hidrodinámica, transferencia de masa y calor en ingeniería química , Taylor & Francis, Londres, 2002. ISBN 0-415-27237-8 
• Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Teoría de la capa límite" octava edición Springer 2004 ISBN 3-540-66270-7 
• John D. Anderson Jr., "La capa límite de Ludwig Prandtl", Physics Today , diciembre de 2005
• Anderson, John (1992). Fundamentos de aerodinámica (2.ª ed.). Toronto: SSCHAND. págs. 711–714. ISBN 0-07-001679-8.
• H. Tennekes y JL Lumley , "Un primer curso sobre turbulencia", The MIT Press, (1972).
• Conferencias sobre turbulencias para el siglo XXI, de William K. George

• Biblioteca Digital Nacional de Ciencias – Capa límite
• Moore, Franklin K., " Efecto de desplazamiento de una capa límite tridimensional ". Informe NACA 1124, 1953.
• Benson, Tom, " Capa límite ". NASA Glenn Learning Technologies.
• Separación de la capa límite
• Ecuaciones de capa límite: soluciones exactas – de EqWorld
• Jones, TRANSFERENCIA DE CALOR DE LA CAPA LÍMITE DE TV
• "El concepto revolucionario de "capa límite" y su prevalencia en la aeronáutica por Sourabh S. Diwan". YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 18 de febrero de 2022.