Cantidad conservada

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Una cantidad conservada es una propiedad o valor que permanece constante a lo largo del tiempo en un sistema incluso cuando se producen cambios en el sistema. En matemáticas , una cantidad conservada de un sistema dinámico se define formalmente como una función de las variables dependientes , cuyo valor permanece constante a lo largo de cada trayectoria del sistema. ^[1]

No todos los sistemas tienen cantidades conservadas, y las cantidades conservadas no son únicas, ya que siempre se puede producir otra cantidad similar aplicando una función adecuada , como agregar una constante, a una cantidad conservada.

Dado que muchas leyes de la física expresan algún tipo de conservación , es común que existan magnitudes conservadas en los modelos matemáticos de los sistemas físicos . Por ejemplo, cualquier modelo de mecánica clásica tendrá la energía mecánica como una magnitud conservada siempre que las fuerzas involucradas sean conservativas .

Para un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

donde negrita indica cantidades vectoriales , una función escalar H ( r ) es una cantidad conservada del sistema si, para todo el tiempo y las condiciones iniciales en algún dominio específico,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

Tenga en cuenta que al utilizar la regla de la cadena multivariable ,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r } ,t)}$

de modo que la definición puede escribirse como

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

que contiene información específica del sistema y puede ser útil para encontrar cantidades conservadas o establecer si existe o no una cantidad conservada.

Para un sistema definido por el hamiltoniano , una función f de coordenadas generalizadas q y momentos generalizados p tiene evolución temporal${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

y por lo tanto se conserva si y sólo si . Aquí denota el corchete de Poisson .${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$

Supongamos que un sistema está definido por el lagrangiano L con coordenadas generalizadas q . Si L no tiene dependencia explícita del tiempo (por lo que ), entonces la energía E definida por${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

se conserva.

Además, si , entonces se dice que q es una coordenada cíclica y el momento generalizado p está definido por${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

${\displaystyle p={\frac {\parcial L}{\parcial {\punto {q}}}}}$

se conserva. Esto se puede derivar utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange .

• Sistema conservador
• Función de Lyapunov
• Sistema hamiltoniano
• Derecho de conservación
• Teorema de Noether
• Carga (física)
• Invariante (física)