Cadena cinemática

Modelo matemático de un sistema mecánico

Los brazos, los dedos y la cabeza del JSC Robonaut están modelados como cadenas cinemáticas.

En ingeniería mecánica , una cadena cinemática es un conjunto de cuerpos rígidos conectados por articulaciones para proporcionar un movimiento restringido que es el modelo matemático de un sistema mecánico . ^[1] Como sugiere la palabra cadena , los cuerpos rígidos, o eslabones, están restringidos por sus conexiones con otros eslabones. Un ejemplo es la cadena abierta simple formada por eslabones conectados en serie, como la cadena habitual, que es el modelo cinemático de un manipulador de robot típico . ^[2]

Los modelos matemáticos de las conexiones, o articulaciones, entre dos eslabones se denominan pares cinemáticos . Los pares cinemáticos modelan las articulaciones articuladas y deslizantes fundamentales para la robótica , a menudo llamadas pares inferiores , y las articulaciones de contacto superficial críticas para las levas y los engranajes , llamadas pares superiores. Estas articulaciones generalmente se modelan como restricciones holonómicas . Un diagrama cinemático es un esquema del sistema mecánico que muestra la cadena cinemática.

El uso moderno de cadenas cinemáticas incluye la flexibilidad que surge de las juntas de flexión en mecanismos de precisión, la flexibilidad de enlaces en mecanismos flexibles y sistemas microelectromecánicos , y la flexibilidad de cables en sistemas robóticos y de tensegridad con cables. ^[3]^[4]

Fórmula de movilidad

Los grados de libertad , o movilidad, de una cadena cinemática es el número de parámetros que definen la configuración de la cadena. ^[2]^[5] Un sistema de $n$ cuerpos rígidos que se mueven en el espacio tiene $6 n$ grados de libertad medidos en relación con un marco fijo. Este marco está incluido en el recuento de cuerpos, de modo que la movilidad no depende del eslabón que forma el marco fijo. Esto significa que el grado de libertad de este sistema es $M = 6(N - 1)$ , donde $N = n + 1$ es el número de cuerpos en movimiento más el cuerpo fijo.

Las articulaciones que conectan cuerpos imponen restricciones. En concreto, las bisagras y los deslizadores imponen cinco restricciones cada uno y, por tanto, eliminan cinco grados de libertad. Es conveniente definir el número de restricciones $c$ que impone una articulación en términos de la libertad de la articulación $f$ , donde $c = 6 - f$ . En el caso de una bisagra o deslizador , que son articulaciones de un grado de libertad, tienen $f = 1$ y, por tanto, $c = 6 - 1 = 5$ .

El resultado es que la movilidad de una cadena cinemática formada por $n$ eslabones móviles y $j$ articulaciones cada una con libertad $f i$ , $i = 1, 2, \dots, j$ , viene dada por

M=6n-\suma _{i=1}^{j}(6-f_{i})=6(N-1-j)+\suma _{i=1}^{j}f_{i}

Recordemos que $N$ incluye el enlace fijo.

Análisis de cadenas cinemáticas

Las ecuaciones de restricción de una cadena cinemática acoplan el rango de movimiento permitido en cada articulación a las dimensiones de los eslabones de la cadena, y forman ecuaciones algebraicas que se resuelven para determinar la configuración de la cadena asociada con valores específicos de parámetros de entrada, llamados grados de libertad .

Las ecuaciones de restricción para una cadena cinemática se obtienen utilizando transformaciones rígidas $[Z]$ para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y transformaciones rígidas separadas $[X]$ para definir las dimensiones de cada eslabón. En el caso de una cadena abierta en serie, el resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de articulación y de eslabón desde la base de la cadena hasta su eslabón final, que se equipara a la posición especificada para el eslabón final. Una cadena de $n$ eslabones conectados en serie tiene las ecuaciones cinemáticas,

[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\cdots [X_{n-1}][Z_{n}],\!

donde $[T]$ es la transformación que ubica el eslabón final; observe que la cadena incluye un eslabón "cero" que consiste en el bastidor de tierra al que está unida. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas directas de la cadena serial. ^[6]

Las cadenas cinemáticas de una amplia gama de complejidades se analizan igualando las ecuaciones cinemáticas de cadenas en serie que forman bucles dentro de la cadena cinemática. Estas ecuaciones suelen denominarse ecuaciones de bucles .

La complejidad (en términos de cálculo de la cinemática directa e inversa ) de la cadena está determinada por los siguientes factores:

Su topología : una cadena serial, un manipulador paralelo , una estructura de árbol o un gráfico .
Su forma geométrica : ¿cómo se conectan espacialmente entre sí las articulaciones vecinas?

Explicación

Dos o más cuerpos rígidos en el espacio se denominan colectivamente un sistema de cuerpos rígidos. Podemos obstaculizar el movimiento de estos cuerpos rígidos independientes con restricciones cinemáticas. Las restricciones cinemáticas son restricciones entre cuerpos rígidos que resultan en la disminución de los grados de libertad del sistema de cuerpos rígidos. ^[5]

Síntesis de cadenas cinemáticas

Las ecuaciones de restricción de una cadena cinemática se pueden utilizar en sentido inverso para determinar las dimensiones de los eslabones a partir de una especificación del movimiento deseado del sistema. Esto se denomina síntesis cinemática. ^[7]

Quizás la formulación más desarrollada de la síntesis cinemática es para vínculos de cuatro barras , que se conoce como teoría de Burmester . ^[8]^[9]^[10]

A Ferdinand Freudenstein se le suele llamar el padre de la cinemática moderna por sus contribuciones a la síntesis cinemática de vínculos a partir de la década de 1950. Su uso de la computadora recientemente desarrollada para resolver la ecuación de Freudenstein se convirtió en el prototipo de los sistemas de diseño asistido por computadora . ^[7]

Este trabajo se ha generalizado a la síntesis de mecanismos esféricos y espaciales. ^[2]

Véase también

Referencias

^ Reuleaux, F. , 1876 The Kinematics of Machinery, (trad. y anotado por ABW Kennedy), reimpreso por Dover, Nueva York (1963)
^ abc JM McCarthy y GS Soh, 2010, Diseño geométrico de vínculos, Springer, Nueva York.
^ Larry L. Howell, 2001, Mecanismos compatibles, John Wiley & Sons.
^ Alexander Slocum, 1992, Diseño de máquinas de precisión, SME
^ ab JJ Uicker, GR Pennock y JE Shigley, 2003, Teoría de máquinas y mecanismos, Oxford University Press, Nueva York.
^ JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
^ ab RS Hartenberg y J. Denavit, 1964, Síntesis cinemática de vínculos, McGraw-Hill, Nueva York.
^ Suh, CH, y Radcliffe, CW, Cinemática y diseño de mecanismos , John Wiley and Sons, Nueva York, 1978.
^ Sandor, GN, y Erdman, AG, 1984, Diseño avanzado de mecanismos: análisis y síntesis, vol. 2. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey.
^ Hunt, KH, Geometría cinemática de mecanismos , Oxford Engineering Science Series, 1979

[Reuleaux1876-1] Reuleaux, F. , 1876 The Kinematics of Machinery, (trad. y anotado por ABW Kennedy), reimpreso por Dover, Nueva York (1963)

[McCarthy2010-2] JM McCarthy y GS Soh, 2010, Diseño geométrico de vínculos, Springer, Nueva York.

[3] Larry L. Howell, 2001, Mecanismos compatibles, John Wiley & Sons.

[4] Alexander Slocum, 1992, Diseño de máquinas de precisión, SME

[Uicker2003-5] JJ Uicker, GR Pennock y JE Shigley, 2003, Teoría de máquinas y mecanismos, Oxford University Press, Nueva York.

[6] JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

[Hartenberg1964-7] RS Hartenberg y J. Denavit, 1964, Síntesis cinemática de vínculos, McGraw-Hill, Nueva York.

[8] Suh, CH, y Radcliffe, CW, Cinemática y diseño de mecanismos , John Wiley and Sons, Nueva York, 1978.

[9] Sandor, GN, y Erdman, AG, 1984, Diseño avanzado de mecanismos: análisis y síntesis, vol. 2. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, Nueva Jersey.

[10] Hunt, KH, Geometría cinemática de mecanismos , Oxford Engineering Science Series, 1979