WT todo

WT todo OC FRS FRSC
Nacido	William Thomas Tutte ( 14 de mayo de 1917 )14 de mayo de 1917 Newmarket, Suffolk , Inglaterra
Fallecido	2 de mayo de 2002 (2 de mayo de 2002)(84 años) Kitchener , Ontario, Canadá
Alma máter	Trinity College, Cambridge ( Doctorado )
Conocido por	Teorema BEST Teorema de Hanani-Tutte Ciclo periférico Todas las 12 jaulas Todas las incrustaciones Gráfico de Tutte Teorema de homotopía de Tutte Matriz de Tutte Polinomio de Tutte Teorema de Tutte Fórmula de Tutte-Berge Gráfico de Tutte-Coxeter Invariante de Tutte-Grothendieck El "break in 1+2" de Tutte Teorema de un factor de Tutte Fragmento de Tutte Teorema de enlace de Tutte Criterio de planaridad de Tutte Método estadístico de Tutte Lema del triángulo de Tutte Teorema de representación unimodular de Tutte Teorema de la rueda de Tutte
Cónyuge	Dorothea Mitchell ​ ​ ( m.  1949; murió en 1994 )
Premios	Premio Jeffrey-Williams (1971) Medalla conservadora Henry Marshall (1975) Premio Isaak-Walton-Killam (1982) Premio CRM-Fields-PIMS (2001)
Carrera científica
Campos	Matemáticas
Instituciones	Universidad de Toronto Universidad de Waterloo
Tesis	Una teoría algebraica de grafos [1]   (1948)
Asesor de doctorado	Shaun Wylie [1]
Estudiantes de doctorado	WG Marrón Neil Robertson [1]

William Thomas Tutte OC FRS FRSC ( / t ʌ t / ; 14 de mayo de 1917 - 2 de mayo de 2002) fue un matemático y descifrador de códigos inglés y canadiense . Durante la Segunda Guerra Mundial , realizó un avance brillante y fundamental en el criptoanálisis del cifrado de Lorenz , un importante sistema de cifrado nazi alemán que se utilizó para comunicaciones de alto secreto dentro del Alto Mando de la Wehrmacht . La naturaleza estratégica de alto nivel de la inteligencia obtenida del avance crucial de Tutte, en el descifrado masivo de mensajes cifrados con Lorenz específicamente, contribuyó en gran medida, y quizás incluso decisivamente, a la derrota de la Alemania nazi. ^{[2] [3]} También tuvo una serie de logros matemáticos significativos, incluido el trabajo de base en los campos de la teoría de grafos y la teoría de matroides . ^{[4] [5]}

La investigación de Tutte en el campo de la teoría de grafos resultó ser de notable importancia. En una época en la que la teoría de grafos era todavía un tema primitivo, Tutte comenzó el estudio de las matroides y las desarrolló hasta convertirlas en una teoría ampliando el trabajo que Hassler Whitney había desarrollado por primera vez a mediados de la década de 1930. ^[6] Aunque las contribuciones de Tutte a la teoría de grafos han sido influyentes para la teoría de grafos moderna y muchos de sus teoremas se han utilizado para seguir haciendo avances en el campo, la mayor parte de su terminología no estaba de acuerdo con su uso convencional y, por lo tanto, su terminología no es utilizada por los teóricos de grafos en la actualidad. ^[7] "Tutte hizo avanzar la teoría de grafos desde un tema con un solo texto ( el de D. Kőnig ) hasta su estado actual extremadamente activo". ^[7]

Tutte nació en Newmarket , Suffolk. Era el hijo menor de William John Tutte (1873-1944), jardinero de fincas, y Annie ( de soltera Newell; 1881-1956), ama de llaves. Ambos padres trabajaban en los establos de Fitzroy House, donde nació Tutte. ^[5] La familia pasó algún tiempo en Buckinghamshire, el condado de Durham y Yorkshire antes de regresar a Newmarket, donde Tutte asistió a la escuela primaria Cheveley Church of England ^[8] en el cercano pueblo de Cheveley. ^[4] En 1927, cuando tenía diez años, Tutte ganó una beca para la Cambridge and County High School for Boys . Ocupó su lugar allí en 1928.

En 1935 ganó una beca para estudiar ciencias naturales en el Trinity College de Cambridge , donde se especializó en química y se graduó con honores de primera clase en 1938. ^[4] Continuó con la química física como estudiante de posgrado, pero se trasladó a las matemáticas a finales de 1940. ^[4] Como estudiante, él (junto con tres de sus amigos) se convirtió en uno de los primeros en resolver el problema de la cuadratura del cuadrado , y el primero en resolver el problema sin un subrectángulo cuadrado. Juntos los cuatro crearon el seudónimo Blanche Descartes , bajo el cual Tutte publicó ocasionalmente durante años. ^[9]

Poco después del estallido de la Segunda Guerra Mundial , el tutor de Tutte, Patrick Duff, lo sugirió para trabajar en la Escuela de Códigos y Cifras del Gobierno en Bletchley Park (BP). Fue entrevistado y enviado a un curso de capacitación en Londres antes de ir a Bletchley Park, donde se unió a la Sección de Investigación. Al principio, trabajó en el cifrador Hagelin que estaba siendo utilizado por la Marina italiana. Se trataba de una máquina de cifrado de rotor que estaba disponible comercialmente, por lo que se conocía la mecánica del cifrado y para descifrar mensajes solo era necesario averiguar cómo estaba configurada la máquina. ^[11]

En el verano de 1941, Tutte fue transferido para trabajar en un proyecto llamado Fish. La información de inteligencia había revelado que los alemanes llamaban a los sistemas de transmisión por teleimpresora inalámbrica "Sägefisch" ("pez sierra"). Esto llevó a los británicos a utilizar el código Fish para el sistema de cifrado de teleimpresora alemán. El apodo Tunny ("atún") se utilizó para el primer enlace no Morse, y posteriormente se utilizó para las máquinas Lorenz SZ y el tráfico que cifraban. ^[12]

La telegrafía utilizaba el Alfabeto Telegráfico Internacional Nº 2 (ITA2) de 5 bits . No se sabía nada sobre el mecanismo de cifrado, salvo que los mensajes iban precedidos por un indicador de 12 letras , lo que implicaba una máquina de cifrado con rotor de 12 ruedas. Por tanto, el primer paso tenía que ser diagnosticar la máquina estableciendo la estructura lógica y, por tanto, el funcionamiento de la máquina. Tutte desempeñó un papel fundamental en la consecución de este objetivo, y no fue hasta poco antes de la victoria aliada en Europa en 1945, que Bletchley Park adquirió una máquina de cifrado Tunny Lorenz. ^[13] Los avances de Tutte condujeron finalmente al descifrado masivo de mensajes cifrados con Tunny entre el Alto Mando Alemán (OKW) en Berlín y sus mandos militares en toda la Europa ocupada y contribuyeron, tal vez decisivamente, a la derrota de Alemania. ^{[2] [3]}

El 31 de agosto de 1941, se enviaron dos versiones del mismo mensaje utilizando claves idénticas, lo que constituyó una " profundidad ". Esto permitió a John Tiltman , el veterano y notablemente talentoso criptoanalista de Bletchley Park, deducir que se trataba de un cifrado Vernam que utiliza la función Or Exclusivo (XOR) (simbolizada por "⊕"), y extraer los dos mensajes y así obtener la clave oculta. Después de un período infructuoso durante el cual los criptoanalistas de la Sección de Investigación intentaron averiguar cómo funcionaba la máquina Tunny, esta y algunas otras claves fueron entregadas a Tutte, a quien se le pidió que "vea qué puede hacer con ellas". ^[14]

En su curso de formación, a Tutte le habían enseñado la técnica de examen de Kasiski , que consistía en escribir una clave en un papel cuadriculado y comenzar una nueva fila después de un número definido de caracteres que se sospechaba que era la frecuencia de repetición de la clave. ^[15] Si este número era correcto, las columnas de la matriz mostrarían más repeticiones de secuencias de caracteres que el azar solo. Tutte sabía que los indicadores de Tunny utilizaban 25 letras (excluyendo la J) para 11 de las posiciones, pero solo 23 letras para las otras. Por lo tanto, probó la técnica de Kasiski en el primer impulso de los caracteres clave, utilizando una repetición de 25 × 23 = 575. No observó una gran cantidad de repeticiones de columnas con este período, pero sí observó el fenómeno en una diagonal. Por lo tanto, lo intentó nuevamente con 574, que mostró repeticiones en las columnas. Al reconocer que los factores primos de este número son 2, 7 y 41, lo intentó de nuevo con un período de 41 y "obtuvo un rectángulo de puntos y cruces que estaba repleto de repeticiones". ^[16]

Sin embargo, estaba claro que el primer impulso de la clave era más complicado que el producido por una única rueda de 41 impulsos de la clave. Tutte llamó a este componente de la clave ( chi ₁ ). Se imaginó que había otro componente, que se combinaba con este, que no siempre cambiaba con cada nuevo carácter, y que este era el producto de una rueda que llamó ( psi ₁ ). Lo mismo se aplicaba a cada uno de los cinco impulsos ( y ). Así que para un único carácter, toda la clave K constaba de dos componentes:$estilo de visualización {\chi_{1}}$$estilo de visualización {\psi _{1}}$${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}\chi _{3}\chi _{4}\chi _{5}}$${\displaystyle \psi _{1}\psi _{2}\psi _{3}\psi _{4}\psi _{5}}$$${\displaystyle K=\chi \oplus \psi }$$

En Bletchley Park, los impulsos de marca se significaban con x y los impulsos de espacio con • . ^{[nb 1]} Por ejemplo, la letra "H" se codificaría como ••x•x . ^[17] La ​​derivación de Tutte de los componentes chi y psi fue posible gracias al hecho de que era más probable que los puntos fueran seguidos de puntos, y las cruces, de cruces. Esto fue producto de una debilidad en la configuración de clave alemana, que luego eliminaron. Una vez que Tutte hizo este avance, el resto de la Sección de Investigación se unió para estudiar los otros impulsos, y se estableció que las cinco ruedas chi avanzaban con cada nuevo carácter y que las cinco ruedas psi se movían juntas bajo el control de dos ruedas mu o "motoras". Durante los dos meses siguientes, Tutte y otros miembros de la Sección de Investigación elaboraron la estructura lógica completa de la máquina, con su conjunto de ruedas con levas que podían estar en una posición (elevada) que añadía x al flujo de caracteres clave, o en la posición alternativa que añadía • . ^[18]

Diagnosticar el funcionamiento de la máquina de Tunny de esta manera fue un logro criptoanalítico verdaderamente notable que, en la cita de inducción de Tutte como Oficial de la Orden de Canadá , fue descrito como "una de las mayores hazañas intelectuales de la Segunda Guerra Mundial". ^[5]

Para descifrar un mensaje de Tunny era necesario conocer no sólo el funcionamiento lógico de la máquina, sino también las posiciones iniciales de cada rotor para el mensaje en cuestión. Se buscaba un proceso que manipulase el texto cifrado o la clave para producir una distribución de frecuencia de caracteres que se apartase de la uniformidad que el proceso de cifrado pretendía conseguir. Mientras estaba destinado en la Sección de Investigación en julio de 1942, Alan Turing descubrió que la combinación XOR de los valores de caracteres sucesivos en un flujo de texto cifrado y clave enfatizaba cualquier desviación de una distribución uniforme. El flujo resultante (simbolizado por la letra griega "delta" Δ ) se denominaba diferencia porque XOR es lo mismo que la resta de módulo 2.

La razón por la que esto proporcionó una forma de entrar en Tunny fue que, aunque la distribución de frecuencia de los caracteres en el texto cifrado no se podía distinguir de un flujo aleatorio, no se podía decir lo mismo de una versión del texto cifrado de la que se había eliminado el elemento chi de la clave. Esto era así porque, cuando el texto simple contenía un carácter repetido y las ruedas psi no se movían, el carácter psi diferenciado ( ) sería el carácter nulo (' / ' en Bletchley Park). Cuando se realizaba una operación XOR con cualquier carácter, este carácter no tenía efecto. Los caracteres repetidos en el texto simple eran más frecuentes tanto por las características del alemán (EE, TT, LL y SS son relativamente comunes), ^[19] como porque los telegrafistas repetían con frecuencia los caracteres de cambio de cifras y letras. ^[20]${\displaystyle \Delta \psi}$

Para citar el Informe General sobre Tunny:

Turingia introdujo el principio de que la clave diferenciada en uno, ahora llamada ΔΚ , podía proporcionar información que no se obtenía con una clave ordinaria. Este principio Δ iba a ser la base fundamental de casi todos los métodos estadísticos de rotura y ajuste de ruedas. ^[10]

Tutte explotó esta amplificación de la no uniformidad en los valores diferenciados ^{[nb 2]} y en noviembre de 1942 había producido una forma de descubrir los puntos de inicio de las ruedas de la máquina Tunny que se conoció como el "Método estadístico". ^[21] La esencia de este método era encontrar los ajustes iniciales del componente chi de la clave probando exhaustivamente todas las posiciones de su combinación con el texto cifrado y buscando evidencia de la no uniformidad que reflejara las características del texto simple original. ^[22] Porque cualquier carácter repetido en el texto simple siempre generaría • , y de manera similar generaría • siempre que las ruedas psi no se movieran, y aproximadamente la mitad del tiempo cuando lo hicieran, alrededor del 70% en general.${\displaystyle \Delta \psi _{1}\oplus \Delta \psi _{2}}$

Además de aplicar la diferenciación a los caracteres de 5 bits del código ITA2, Tutte la aplicó a los impulsos individuales (bits). ^{[nb 3]} Se necesitaba haber establecido la configuración actual de la leva de la rueda chi para permitir que se generara la secuencia relevante de caracteres de las ruedas chi . Era totalmente impracticable generar los 22 millones de caracteres de las cinco ruedas chi , por lo que inicialmente se limitó a 41 × 31 = 1271 de las dos primeras. Después de explicar sus hallazgos a Max Newman , se le dio a Newman la tarea de desarrollar un enfoque automatizado para comparar el texto cifrado y la clave para buscar desviaciones de la aleatoriedad. La primera máquina se denominó Heath Robinson , pero la computadora Colossus mucho más rápida , desarrollada por Tommy Flowers y que utiliza algoritmos escritos por Tutte y sus colegas, pronto tomó el relevo para descifrar códigos. ^{[23] [24] [25]}

A finales de 1945, Tutte reanudó sus estudios en Cambridge , ahora como estudiante de posgrado en matemáticas. Publicó algunos trabajos iniciados anteriormente, uno de ellos, un artículo ahora famoso que caracteriza qué gráficos tienen una correspondencia perfecta, y otro que construye un gráfico no hamiltoniano.

Tutte completó un doctorado en matemáticas en Cambridge en 1948 bajo la supervisión de Shaun Wylie , quien también había trabajado en Bletchley Park en Tunny. Su tesis Una teoría algebraica de grafos se consideró innovadora y trataba sobre el tema conocido más tarde como teoría de matroides. ^[26]

Ese mismo año, invitado por Harold Scott MacDonald Coxeter , aceptó un puesto en la Universidad de Toronto . En 1962, se trasladó a la Universidad de Waterloo en Waterloo , Ontario, donde permaneció durante el resto de su carrera académica. Se jubiló oficialmente en 1985, pero siguió activo como profesor emérito. Tutte contribuyó decisivamente a la fundación del Departamento de Combinatoria y Optimización de la Universidad de Waterloo.

Su carrera matemática se concentró en la combinatoria , especialmente la teoría de grafos , a la que se le atribuye haber ayudado a crear en su forma moderna, y la teoría de matroides , a la que hizo profundas contribuciones; un colega lo describió como "el matemático líder en combinatoria durante tres décadas". Fue editor en jefe del Journal of Combinatorial Theory hasta jubilarse de Waterloo en 1985. ^[26] También formó parte de los consejos editoriales de varias otras revistas de investigación matemática.

El trabajo de Tutte en teoría de grafos incluye la estructura de espacios de ciclos y espacios de corte , el tamaño de los emparejamientos máximos y la existencia de k -factores en grafos, y grafos hamiltonianos y no hamiltonianos. ^[26] Refutó la conjetura de Tait , sobre la hamiltonicidad de grafos poliédricos , utilizando la construcción conocida como fragmento de Tutte . La eventual prueba del teorema de los cuatro colores hizo uso de su trabajo anterior. El polinomio de grafos que llamó "dicromato" se ha vuelto famoso e influyente bajo el nombre de polinomio de Tutte y sirve como prototipo de invariantes combinatorios que son universales para todos los invariantes que satisfacen una ley de reducción especificada.

Los primeros avances importantes en la teoría de matroides fueron realizados por Tutte en su tesis doctoral de Cambridge de 1948, que formó la base de una importante secuencia de artículos publicados durante las siguientes dos décadas. El trabajo de Tutte en teoría de grafos y teoría de matroides ha sido profundamente influyente en el desarrollo tanto del contenido como de la dirección de estos dos campos. ^[7] En la teoría de matroides, descubrió el altamente sofisticado teorema de homotopía y fundó los estudios de grupos de cadenas y matroides regulares , sobre los cuales demostró resultados profundos.

Además, Tutte desarrolló un algoritmo para determinar si un matroide binario dado es un matroide gráfico . El algoritmo aprovecha el hecho de que un grafo planar es simplemente un grafo cuyo matroide de circuito, el dual de su matroide de enlace , es gráfico. ^[27]

Tutte escribió un artículo titulado Cómo dibujar un gráfico en el que demostró que cualquier cara en un gráfico 3-conexo está encerrada por un ciclo periférico . Utilizando este hecho, Tutte desarrolló una prueba alternativa para demostrar que cada gráfico de Kuratowski no es plano al mostrar que K ₅ y K _3,3 tienen cada uno tres ciclos periféricos distintos con un borde común. Además de utilizar ciclos periféricos para demostrar que los gráficos de Kuratowski no son planos, Tutte demostró que cada gráfico 3-conexo simple puede dibujarse con todas sus caras convexas, e ideó un algoritmo que construye el dibujo plano resolviendo un sistema lineal. El dibujo resultante se conoce como la incrustación de Tutte . El algoritmo de Tutte hace uso de las aplicaciones baricéntricas de los circuitos periféricos de un gráfico 3-conexo simple. ^[28]

Los hallazgos publicados en este artículo han demostrado ser de mucha importancia porque los algoritmos que Tutte desarrolló se han convertido en métodos populares de dibujo de gráficos planares. Una de las razones por las que la incrustación de Tutte es popular es que los cálculos necesarios que se llevan a cabo mediante sus algoritmos son simples y garantizan una correspondencia uno a uno de un gráfico y su incrustación en el plano euclidiano , lo que es importante al parametrizar una malla tridimensional con el plano en el modelado geométrico. "El teorema de Tutte es la base para las soluciones a otros problemas de gráficos por computadora, como la transformación ". ^[29]

Tutte fue el principal responsable del desarrollo de la teoría de enumeración de grafos planares, que tiene estrechos vínculos con los polinomios cromáticos y dicromáticos. Este trabajo implicó algunas técnicas altamente innovadoras de su propia invención, que requirieron una considerable destreza manipulativa en el manejo de series de potencias (cuyos coeficientes cuentan los tipos apropiados de grafos) y las funciones que surgen como sus sumas, así como destreza geométrica en la extracción de estas series de potencias de la situación de teoría de grafos. ^[30]

Tutte resumió su trabajo en los Documentos Seleccionados de WT Tutte , 1979, y en Teoría de Grafos como la he conocido , 1998. ^[26]

El trabajo de Tutte en la Segunda Guerra Mundial y posteriormente en combinatoria le valió diversos cargos, honores y premios:

• 1958, miembro de la Real Sociedad de Canadá (FRSC);
• 1971, Premio Jeffery–Williams de la Sociedad Canadiense de Matemáticas ;
• 1975, Medalla Conservadora Henry Marshall de la Real Sociedad de Canadá;
• 1977, se celebró una conferencia sobre teoría de grafos y temas relacionados en la Universidad de Waterloo en su honor, con ocasión de su sexagésimo cumpleaños;
• 1982, Premio Isaak-Walton-Killam del Consejo de Canadá ;
• 1987, miembro de la Royal Society (FRS);
• 1990–1996, Primer Presidente del Instituto de Combinatoria y sus Aplicaciones ; ^[31]
• 1998, nombrado director honorario del Centro de Investigación Criptográfica Aplicada de la Universidad de Waterloo; ^[32]
• 2001, Oficial de la Orden de Canadá (OC);
• 2001, premio CRM-Fields-PIMS .
• 2016, Salón de la Fama de la Región de Waterloo ^[33]
• 2017, Waterloo: denominación de la carretera "William Tutte Way" ^[34]

Tutte trabajó como bibliotecario de la Real Sociedad Astronómica de Canadá entre 1959 y 1960, y el asteroide 14989 Tutte (1997 UB7) recibió su nombre. ^[35]

Debido al trabajo de Tutte en Bletchley Park, el Centro de Seguridad de las Comunicaciones de Canadá nombró en su honor en 2011 una organización interna destinada a promover la investigación en criptología, el Instituto Tutte de Matemáticas y Computación (TIMC). ^[36]

En septiembre de 2014, Tutte fue homenajeado en su ciudad natal de Newmarket, Inglaterra, con la inauguración de una escultura, después de que un periódico local iniciara una campaña para honrar su memoria. ^[37]

Bletchley Park en Milton Keynes celebró el trabajo de Tutte con una exposición Bill Tutte: matemático + descifrador de códigos desde mayo de 2017 a 2019, precedida el 14 de mayo de 2017 por conferencias sobre su vida y obra durante el Simposio del Centenario de Bill Tutte. ^{[38] [39]}

Además de los beneficios profesionales que ofrece trabajar en la nueva Universidad de Waterloo , el entorno más rural del condado de Waterloo atrajo a Bill y a su esposa Dorothea. Compraron una casa en el pueblo cercano de West Montrose, Ontario, donde disfrutaban de hacer caminatas, pasar tiempo en su jardín junto al río Grand y permitir que otros disfrutaran del hermoso paisaje de su propiedad.

También tenían un amplio conocimiento de todos los pájaros de su jardín. Dorothea, una ávida alfarera, también era una entusiasta del senderismo y Bill organizaba excursiones de senderismo. Incluso cerca del final de su vida, Bill seguía siendo un ávido caminante. ^{[7] [40]} Después de que su esposa muriera en 1994, se mudó de nuevo a Newmarket (Suffolk), pero luego regresó a Waterloo en 2000, donde murió dos años después. ^[41] Está enterrado en el cementerio West Montrose United. ^[26]

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• Tutte, WT (1966), Introducción a la teoría de matroides , Santa Mónica, California: Informe R-446-PR de RAND Corporation. También Tutte, WT (1971), Introducción a la teoría de matroides , Métodos analíticos y computacionales modernos en ciencia y matemáticas, vol. 37, Nueva York: American Elsevier Publishing Company, ISBN 978-0-444-00096-5, Zbl  0231.05027
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• Tutte, WT (1979), McCarthy, D.; Stanton, RG (eds.), Artículos seleccionados de WT Tutte, vols. Yo, II. , Winnipeg, Manitoba: Centro de Investigación Charles Babbage , St. Pierre, Manitoba, Canadá, págs. xxi+879, Zbl  0403.05028
  • Volumen I: ISBN 978-0-969-07781-7 
  • Volumen II: ISBN 978-0-969-07782-4 
• Tutte, WT (1984), Teoría de grafos , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 21, Menlo Park, California: Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 978-0-201-13520-6, Zbl0554.05001 ​Reimpreso por Cambridge University Press 2001, ISBN 978-0-521-79489-3 
• Tutte, WT (1998), Teoría de grafos tal como la he conocido , Oxford conference series in mathematics and its applications, vol. 11, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850251-7, Zbl0915.05041 ​Reimpreso en 2012, ISBN 978-0-19-966055-1 

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• Lista de personas de la Universidad de Waterloo
• Geometría sistólica

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• Profesor William T. Tutte
• WT Tutte en el Proyecto de Genealogía Matemática
• Muere a los 84 años William Tutte, matemático y descifrador de códigos – Obituario de The New York Times
• William Tutte: genio matemático anónimo – Obituario de The Guardian
• Premio CRM-Fields-PIMS – 2001 – William T. Tutte
• "60 años en las redes": conferencia (grabación de audio) dictada en el Instituto Fields el 25 de octubre de 2001 para conmemorar la entrega del Premio CRM-Fields 2001
• La refutación de Tutte de la conjetura de Tait
• "Los héroes olvidados de Bletchley", Ian Douglas, The Daily Telegraph , 25 de diciembre de 2012
• Murty, USR (2004), "Dedicación: Profesor WT Tutte", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 92 (2): 191–192, doi : 10.1016/j.jctb.2004.08.002.
• Younger, DH (2004), "Dedicación: Profesor WT Tutte", Journal of Combinatorial Theory , Serie B, 92 (2): 193–198, doi : 10.1016/j.jctb.2004.09.002.
• El Instituto Tutte de Investigación en Matemáticas y Ciencias de la Computación