También se puede definir un mapa bilineal para módulos . Para ello, consulte el artículo sobre emparejamiento .
Definición
Espacios vectoriales
Sean y tres espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo base . Una función bilineal es una función
tal que para todo , la función
es una función lineal de a y para todo , la función
es una función lineal de a En otras palabras, cuando mantenemos fija la primera entrada de la función bilineal mientras dejamos que varíe la segunda entrada, el resultado es un operador lineal, y lo mismo ocurre cuando mantenemos fija la segunda entrada.
Un mapa de este tipo satisface las siguientes propiedades.
Para cualquiera ,
El mapa es aditivo en ambos componentes: si y entonces y
La definición funciona sin cambios si en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo F , utilizamos módulos sobre un anillo conmutativo R . Se generaliza a funciones n -arias, donde el término propio es multilineal .
Para anillos no conmutativos R y S , un R -módulo izquierdo M y un S -módulo derecho N , una función bilineal es una función B : M × N → T con T un ( R , S ) - bimódulo , y para el cual cualquier n en N , m ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de R -módulo, y para cualquier m en M , n ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de S -módulo. Esto satisface
B ( r⋅m , n ) = r⋅B ( m , n )
B ( m , n⋅s ) = B ( m , n ) ⋅s
para todos m en M , n en N , r en R y s en S , así como B siendo aditivo en cada argumento.
Propiedades
Una consecuencia inmediata de la definición es que B ( v , w ) = 0 X siempre que v = 0 V o w = 0 W . Esto se puede ver escribiendo el vector cero 0 V como 0 ⋅ 0 V (y de manera similar para 0 W ) y moviendo el escalar 0 "afuera", delante de B , por linealidad.
Si V , W , X son de dimensión finita , entonces también lo es L ( V , W ; X ) . Es decir, para las formas bilineales, la dimensión de este espacio es dim V × dim W (mientras que el espacio L ( V × W ; F ) de las formas lineales es de dimensión dim V + dim W ) . Para ver esto, elijamos una base para V y W ; entonces cada función bilineal puede representarse de manera única por la matriz B ( ei , fj ) , y viceversa. Ahora bien, si X es un espacio de dimensión superior, obviamente tenemos dim L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X.
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo base F . Si f es un miembro de V ∗ y g un miembro de W ∗ , entonces b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) define una función bilineal V × W → F .
Sea una función bilineal, y una función lineal , entonces ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) es una función bilineal en V × U .
Continuidad y continuidad separada
Supóngase que y son espacios vectoriales topológicos y sea una función bilineal. Entonces se dice que b espor separado continuo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
para todo el mapa dado por es continuo;
para todo el mapa dado por es continuo.
Muchos mapas bilineales continuos por separado que no son continuos satisfacen una propiedad adicional: hipocontinuidad . [1]
Todos los mapas bilineales continuos son hipocontinuos.
Condiciones suficientes para la continuidad
Muchas aplicaciones bilineales que se dan en la práctica son continuas por separado, pero no todas lo son. A continuación, se enumeran las condiciones suficientes para que una aplicación bilineal continua por separado sea continua.
Si X es un espacio de Baire e Y es metrizable , entonces cada mapa bilineal continuo por separado es continuo. [1]
Si una función bilineal es continua en (0, 0) entonces es continua en todas partes. [2]
Mapa de composición
Sean espacios de Hausdorff localmente convexos y sea la función de composición definida por
En general, la función bilineal no es continua (sin importar qué topologías se den a los espacios de funciones lineales). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados:
Asigne a los tres espacios de mapas lineales una de las siguientes topologías:
Dar a los tres la topología de convergencia acotada;