Número imaginario

Raíz cuadrada de un número real no positivo

Las potencias de $i$ son cíclicas:
$\ \vpuntos$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \vpuntos$
${\estilo de visualización i}$ es una cuarta raíz de unidad

Un número imaginario es el producto de un número real y la unidad imaginaria $i$ , ^{[nota 1]} que se define por su propiedad $i 2 = -1$ . ^[1]^[2] El cuadrado de un número imaginario $bi$ es $- b 2$ . Por ejemplo, $5 i$ es un número imaginario y su cuadrado es $-25$ . El número cero se considera real e imaginario. ^[3]

Originalmente acuñado en el siglo XVII por René Descartes ^[4] como un término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó amplia aceptación tras el trabajo de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss (a principios del siglo XIX).

Un número imaginario $bi$ puede sumarse a un número real $a$ para formar un número complejo de la forma $a + bi$ , donde los números reales $a$ y $b$ se denominan, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo. ^[5]

Historia

Aunque el matemático e ingeniero griego Herón de Alejandría es conocido como el primero en presentar un cálculo que involucra la raíz cuadrada de un número negativo, ^[6]^[7] fue Rafael Bombelli quien estableció por primera vez las reglas para la multiplicación de números complejos en 1572. El concepto había aparecido impreso antes, como en el trabajo de Gerolamo Cardano . En ese momento, los números imaginarios y los números negativos eran poco comprendidos y algunos los consideraban ficticios o inútiles, como lo fue alguna vez el cero. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de números imaginarios, incluido René Descartes , quien escribió sobre ellos en su La Géométrie en la que acuñó el término imaginario y lo quiso despectivo. ^[8]^[9] El uso de números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta el trabajo de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745-1818). ^[10]

En 1843, William Rowan Hamilton extendió la idea de un eje de números imaginarios en el plano a un espacio de cuatro dimensiones de imaginarios cuaterniones en el que tres de las dimensiones son análogas a los números imaginarios en el campo complejo.

Interpretación geométrica

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano de números complejos , lo que permite que se presenten perpendicularmente al eje real. Una forma de ver los números imaginarios es considerar una línea numérica estándar que aumenta positivamente en magnitud hacia la derecha y negativamente hacia la izquierda. En 0 en el eje $x$ , se puede dibujar un eje $y$ con dirección "positiva" hacia arriba; los números imaginarios "positivos" aumentan entonces en magnitud hacia arriba, y los números imaginarios "negativos" aumentan en magnitud hacia abajo. Este eje vertical a menudo se denomina "eje imaginario" ^[11] y se denota como $ℑ$ . ^[12] $i\mathbb {R} ,$ $\mathbb {yo} ,$

En esta representación, la multiplicación por $i$ corresponde a una rotación en sentido antihorario de 90 grados sobre el origen, que es un cuarto de círculo. La multiplicación por $- i$ corresponde a una rotación en sentido horario de 90 grados sobre el origen. De manera similar, la multiplicación por un número puramente imaginario $bi$ , con $b$ un número real, causa una rotación en sentido antihorario sobre el origen de 90 grados y escala la respuesta por un factor de $b$ . Cuando $b < 0$ , esto puede describirse en cambio como una rotación en sentido horario de 90 grados y una escala por $| b |$ . ^[13]

Raíces cuadradas de números negativos

Se debe tener cuidado al trabajar con números imaginarios que se expresan como los valores principales de las raíces cuadradas de números negativos . ^[14] Por ejemplo, si $x$ e $y$ son ambos números reales positivos, la siguiente cadena de igualdades parece razonable a primera vista:

\textstyle {\sqrt {x\cdot y{\vphantom {t}}}}={\sqrt {(-x)\cdot (-y)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (falacia ) }}{=}} {\sqrt {-x{\vphantom {ty}}}}\cdot {\sqrt {-y{\vphantom {ty}}}}=i{\sqrt {x{\vphantom { ty}}}}\cdot i{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}=-{\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}\,.

Pero el resultado es claramente absurdo. El paso en el que se descompuso la raíz cuadrada fue ilegítimo. (Véase Falacia matemática .)

Véase también

-1

Sistemas de numeración

Complejo

:\;\mathbb {C}

Real

:\;\mathbb {R}

Racional

:\;\mathbb {Q}

Entero

:\;\mathbb {Z}

Natural

:\;\mathbb {N}

Cero : 0

Uno : 1

Números primos

Números compuestos

Números enteros negativos

Fracción

Decimal finito
Diádico (binario finito)
Decimal periódico

Irracional

Irracional algebraico

Periodo irracional

Trascendental

Imaginario

Notas

^ $j$ se utiliza generalmente en contextos de ingeniería donde $i$ tiene otros significados (como corriente eléctrica)

Referencias

^ Uno Ingard, K. (1988). "Capítulo 2". Fundamentos de ondas y oscilaciones . Cambridge University Press. pág. 38. ISBN 0-521-33957-X.
^ Weisstein, Eric W. "Número imaginario". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
^ Sinha, KC (2008). Un libro de texto de matemáticas, clase XI (segunda edición). Rastogi Publications. pág. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
^ Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Análisis matemático: aproximación y procesos discretos (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9.Extracto de la página 121
^ Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). Álgebra universitaria: Edición mejorada (6.ª ed.). Cengage Learning. pág. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.
^ Hargittai, István (1992). Simetría quíntuple (2 ed.). Científico mundial. pag. 153.ISBN 981-02-0600-3.
^ Roy, Stephen Campbell (2007). Números complejos: simulación de red y aplicaciones de la función zeta. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.
↑ Descartes, René , Discours de la méthode (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro adjunto: La Géométrie , libro tres, p. 380. De la página 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplicate en la façon que je viens " Por otra parte, tanto las raíces verdaderas como las falsas no siempre son reales, sino a veces sólo cantidades imaginarias; es decir, siempre se puede imaginad tantos de ellos en cada ecuación como dije; pero a veces no hay cantidad que corresponda a lo que uno imagina, así como aunque uno pueda imaginar tres de ellos en esta [ecuación], x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0 , pero sólo una de ellas es real, que es 2, y respecto de las otras dos, aunque se las aumentara, o se las disminuyera, o se las multiplicara en la forma que acabo de explicar, no se las podría hacer sino imaginarias. ].)
^ Martínez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: cómo las reglas matemáticas pueden modificarse positivamente , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, analiza las ambigüedades de significado en expresiones imaginarias en el contexto histórico.
^ Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Capítulo 10". Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico . Springer. pág. 382. ISBN 0-387-96458-4.
^ von Meier, Alexandra (2006). Sistemas de energía eléctrica: una introducción conceptual. John Wiley & Sons . págs. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Consultado el 13 de enero de 2022 .
^ Webb, Stephen (2018). "5. Marcas sin sentido en el papel". Choque de símbolos: un viaje a través de las riquezas de los glifos . Springer Science+Business Media . págs. 204-205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.
^ Kuipers, JB (1999). Cuaterniones y secuencias de rotación: una introducción con aplicaciones a las órbitas, la industria aeroespacial y la realidad virtual. Princeton University Press . pp. 10-11. ISBN 0-691-10298-8. Consultado el 13 de enero de 2022 .
^ Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: La historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno]. Princeton University Press. pág. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12

Bibliografía

Nahin, Paul (1998). Un cuento imaginario: la historia de la raíz cuadrada de −1 . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02795-1., explica muchas aplicaciones de expresiones imaginarias.

Enlaces externos

¿Cómo se puede demostrar que los números imaginarios realmente existen? – un artículo que analiza la existencia de números imaginarios.
Programa 5Numbers 4 Programa de BBC Radio 4
¿Por qué utilizar números imaginarios? Archivado el 25 de agosto de 2019 en Wayback Machine Explicación básica y usos de los números imaginarios

[1] $j$ se utiliza generalmente en contextos de ingeniería donde $i$ tiene otros significados (como corriente eléctrica)

[2] Uno Ingard, K. (1988). "Capítulo 2". Fundamentos de ondas y oscilaciones . Cambridge University Press. pág. 38. ISBN 0-521-33957-X.

[3] Weisstein, Eric W. "Número imaginario". mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de agosto de 2020 .

[4] Sinha, KC (2008). Un libro de texto de matemáticas, clase XI (segunda edición). Rastogi Publications. pág. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.

[5] Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Análisis matemático: aproximación y procesos discretos (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9.Extracto de la página 121

[6] Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). Álgebra universitaria: Edición mejorada (6.ª ed.). Cengage Learning. pág. 66. ISBN 978-1-4390-4379-0.

[7] Hargittai, István (1992). Simetría quíntuple (2 ed.). Científico mundial. pag. 153.ISBN 981-02-0600-3.

[8] Roy, Stephen Campbell (2007). Números complejos: simulación de red y aplicaciones de la función zeta. Horwood. p. 1. ISBN 978-1-904275-25-1.

[9] Descartes, René , Discours de la méthode (Leiden, (Países Bajos): Jan Maire, 1637), libro adjunto: La Géométrie , libro tres, p. 380. De la página 380: "Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplicate en la façon que je viens " Por otra parte, tanto las raíces verdaderas como las falsas no siempre son reales, sino a veces sólo cantidades imaginarias; es decir, siempre se puede imaginad tantos de ellos en cada ecuación como dije; pero a veces no hay cantidad que corresponda a lo que uno imagina, así como aunque uno pueda imaginar tres de ellos en esta [ecuación], x ³ – 6xx + 13x – 10 = 0 , pero sólo una de ellas es real, que es 2, y respecto de las otras dos, aunque se las aumentara, o se las disminuyera, o se las multiplicara en la forma que acabo de explicar, no se las podría hacer sino imaginarias. ].)

[Martinez-10] Martínez, Albert A. (2006), Matemáticas negativas: cómo las reglas matemáticas pueden modificarse positivamente , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, analiza las ambigüedades de significado en expresiones imaginarias en el contexto histórico.

[11] Rozenfeld, Boris Abramovich (1988). "Capítulo 10". Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico . Springer. pág. 382. ISBN 0-387-96458-4.

[Meier-12] von Meier, Alexandra (2006). Sistemas de energía eléctrica: una introducción conceptual. John Wiley & Sons . págs. 61–62. ISBN 0-471-17859-4. Consultado el 13 de enero de 2022 .

[13] Webb, Stephen (2018). "5. Marcas sin sentido en el papel". Choque de símbolos: un viaje a través de las riquezas de los glifos . Springer Science+Business Media . págs. 204-205. doi :10.1007/978-3-319-71350-2_5. ISBN 978-3-319-71350-2.

[14] Kuipers, JB (1999). Cuaterniones y secuencias de rotación: una introducción con aplicaciones a las órbitas, la industria aeroespacial y la realidad virtual. Princeton University Press . pp. 10-11. ISBN 0-691-10298-8. Consultado el 13 de enero de 2022 .

[15] Nahin, Paul J. (2010). Un cuento imaginario: La historia de "i" [la raíz cuadrada de menos uno]. Princeton University Press. pág. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9.Extracto de la página 12