Atractor de retroceso

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En matemáticas , el atractor de un sistema dinámico aleatorio puede considerarse vagamente como un conjunto al que evoluciona el sistema después de un tiempo suficientemente largo. La idea básica es la misma que para un sistema dinámico determinista , pero requiere un tratamiento cuidadoso porque los sistemas dinámicos aleatorios son necesariamente no autónomos . Esto requiere que uno considere la noción de un atractor de pullback o atractor en el sentido de pullback .

Considérese un sistema dinámico aleatorio en un espacio métrico completamente separable , donde el ruido se elige de un espacio de probabilidad con flujo base .${\estilo de visualización \varphi}$ ${\estilo de visualización (X,d)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \vartheta :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega }$

Una definición ingenua de un atractor para este sistema dinámico aleatorio sería exigir que para cualquier condición inicial , como . Esta definición es demasiado limitada, especialmente en dimensiones superiores a uno. Una definición más plausible, basada en la idea de un conjunto omega-límite , sería decir que un punto se encuentra en el atractor si y solo si existe una condición inicial, , y hay una secuencia de tiempos tales que${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle x_{0}\en X}$${\displaystyle \varphi (t,\omega )x_ {0}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle t\to +\infty}$${\displaystyle a\en X}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle x_{0}\en X}$${\displaystyle t_{n}\to +\infty}$

${\displaystyle d\left(\varphi (t_{n},\omega )x_{0},a\right)\to 0}$como .${\displaystyle n\to \infty}$

Esto no está muy lejos de una definición de trabajo. Sin embargo, todavía no hemos considerado el efecto del ruido , que hace que el sistema no sea autónomo (es decir, que dependa explícitamente del tiempo). Por razones técnicas, se hace necesario hacer lo siguiente: en lugar de mirar segundos hacia el "futuro", y considerar el límite como , se "rebobina" el ruido segundos hacia el "pasado", y se hace evolucionar el sistema a través de segundos utilizando la misma condición inicial. Es decir, uno está interesado en el límite de pullback${\estilo de visualización \omega}$${\estilo de visualización t}$${\displaystyle t\to +\infty}$${\estilo de visualización t}$${\estilo de visualización t}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )}$.

Entonces, por ejemplo, en el sentido de retroceso, el conjunto omega-límite para un conjunto (posiblemente aleatorio) es el conjunto aleatorio${\displaystyle B(\omega )\subseteq X}$

${\displaystyle \Omega _{B}(\omega ):=\left\{x\en X\left|\existe t_{n}\to +\infty ,\existe b_{n}\en B(\vartheta _{-t_{n}}\omega )\mathrm {\,st\,} \varphi (t_{n},\vartheta _{-t_{n}}\omega )b_{n}\to x\mathrm {\,as\,} n\to \infty \right.\right\}.}$

De manera equivalente, esto podría escribirse como

${\displaystyle \Omega _{B}(\omega )=\bigcap _{t\geq 0}{\overline {\bigcup _{s\geq t}\varphi (s,\vartheta _{-s}\omega )B(\vartheta _{-s}\omega )}}.}$

Es importante destacar que, en el caso de un sistema dinámico determinista (uno sin ruido), el límite de retroceso coincide con el límite de avance determinista, por lo que tiene sentido comparar conjuntos omega-límite deterministas y aleatorios, atractores, etc.

Se presentan analítica y numéricamente varios ejemplos de atractores de retroceso de sistemas dinámicos no autónomos. ^[1]

El atractor de retroceso (o atractor global aleatorio ) para un sistema dinámico aleatorio es un conjunto aleatorio casi seguramente único tal que${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega)}$${\displaystyle \mathbb {P}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega)}$es un conjunto compacto aleatorio : es casi seguramente compacto y es una función medible para cada ;${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega )\subseteq X}$${\displaystyle \omega \mapsto \mathrm {dist} (x,{\mathcal {A}}(\omega ))}$${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}}(X))}$${\displaystyle x\en X}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega)}$es invariante : para todos casi con seguridad;${\displaystyle \varphi (t,\omega )({\mathcal {A}}(\omega ))={\mathcal {A}}(\vartheta _ {t}\omega )}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega)}$es atractivo : para cualquier conjunto acotado determinista ,${\displaystyle B\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{t\to +\infty}\mathrm {dist} \left(\varphi (t,\vartheta _{-t}\omega )(B),{\mathcal {A}}(\omega )\right)=0}$Casi seguro.

Hay un ligero abuso de notación en lo anterior: el primer uso de "dist" se refiere a la semidistancia de Hausdorff de un punto a un conjunto,

${\displaystyle \mathrm {dist} (x,A):=\inf _{a\in A}d(x,a),}$

Mientras que el segundo uso de "dist" se refiere a la semidistancia de Hausdorff entre dos conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {dist} (B,A):=\sup _{b\in B}\inf _{a\in A}d(b,a).}$

Como se señaló en la sección anterior, en ausencia de ruido, esta definición de atractor coincide con la definición determinista del atractor como el conjunto invariante compacto mínimo que atrae a todos los conjuntos deterministas acotados.

Si un sistema dinámico aleatorio tiene un conjunto absorbente aleatorio compacto , entonces el atractor global aleatorio está dado por${\estilo de visualización K}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega )={\overline {\bigcup _{B}\Omega _{B}(\omega )}},}$

donde la unión se realiza sobre todos los conjuntos acotados .${\displaystyle B\subseteq X}$

Crauel (1999) demostró que si el flujo base es ergódico y es un conjunto compacto determinista con${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle D\subseteq X}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left({\mathcal {A}}(\cdot )\subseteq D\right)>0,}$

entonces -casi seguro.${\displaystyle {\mathcal {A}}(\omega )=\Omega _{D}(\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Crauel, Hans; Debussche, Arnaud; Flandoli, Franco (1 de abril de 1997). "Atractores aleatorios". Journal of Dynamics and Differential Equations . 9 (2): 307–341. Bibcode :1997JDDE....9..307C. doi :10.1007/BF02219225. hdl :11568/53248. ISSN  1040-7294. S2CID  192603977 . Consultado el 13 de julio de 2023 .
• Crauel, Hans (1 de diciembre de 1999). "Los atractores aleatorios globales están determinados de forma única por la atracción de conjuntos compactos deterministas". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 176 (1): 57–72. doi : 10.1007/BF02505989 . ISSN  1618-1891. S2CID  119417673 . Consultado el 13 de julio de 2023 .
• Chekroun, Mickaël D.; Simonnet, Eric; Ghil, Michael (1 de octubre de 2011). "Dinámica climática estocástica: atractores aleatorios y medidas invariantes dependientes del tiempo" (PDF) . Physica D: Nonlinear Phenomena . 240 (21): 1685–1700. Bibcode :2011PhyD..240.1685C. doi :10.1016/j.physd.2011.06.005. ISSN  0167-2789. HAL  hal-01120519 . Consultado el 13 de julio de 2023 .