Difusión de Arnold

En matemáticas aplicadas , la difusión de Arnold es el fenómeno de inestabilidad de los sistemas hamiltonianos casi integrables . El fenómeno recibe su nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en el campo en 1964. ^{[1] [2]} Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a los resultados que afirman la existencia de soluciones para sistemas hamiltonianos casi integrables que exhiben un cambio significativo en las variables de acción.

La difusión de Arnold describe la difusión de trayectorias debida al teorema ergódico en una porción del espacio de fases no limitada por ninguna restricción ( es decir, no limitada por toros lagrangianos que surgen de constantes de movimiento ) en sistemas hamiltonianos . Ocurre en sistemas con más de N = 2 grados de libertad, ya que los toros invariantes N -dimensionales ya no separan el espacio de fases 2N -1 dimensional. Por lo tanto, una perturbación arbitrariamente pequeña puede hacer que varias trayectorias vaguen de forma pseudoaleatoria por toda la porción del espacio de fases dejada por los toros destruidos.

En el caso de los sistemas integrables, se tiene la conservación de las variables de acción . Según el teorema KAM, si perturbamos ligeramente un sistema integrable, muchas de las soluciones del sistema perturbado (aunque ciertamente no todas) se mantienen cercanas, para siempre, al sistema no perturbado. En particular, dado que las variables de acción se conservaron originalmente, el teorema nos dice que solo hay un pequeño cambio en la acción para muchas soluciones del sistema perturbado.

Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, ^[1] existen sistemas casi integrables para los cuales existen soluciones que exhiben un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo de un sistema hamiltoniano casi integrable con un hamiltoniano

${\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \sobre 2}I^{2}+{1 \sobre 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}$

Los tres primeros términos de este hamiltoniano describen un sistema de péndulo rotador. Arnold demostró que para este sistema, para cualquier elección de , y para , existe una solución para el sistema para el cual${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0}$${\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle I(0)<I_{-}{\text{ y }}I(T)>I_{+}}$

por algún tiempo${\displaystyle T\gg 0.}$

Su demostración se basa en la existencia de "cadenas de transición" de toros "bigoteados", es decir, secuencias de toros con dinámica transitiva tal que la variedad inestable (bigotes) de uno de estos toros interseca transversalmente la variedad estable (bigotes) del siguiente. Arnold conjeturó que "el mecanismo de las 'cadenas de transición' que garantiza la no estabilidad en nuestro ejemplo también es aplicable al caso general (por ejemplo, al problema de los tres cuerpos)". ^[1]

El teorema KAM y la difusión de Arnold han dado lugar a un compendio de resultados matemáticos rigurosos, con aportes de la física. ^{[3] [4]}

En el modelo de Arnold, el término de perturbación es de un tipo especial. El caso general del problema de difusión de Arnold se refiere a sistemas hamiltonianos de una de las formas

(1) ${\displaystyle H_{\epsilon}(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}$

donde , , y describe un sistema de péndulo rotador, o${\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\en \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle m,n\geq 1}$${\displaystyle H_{0}(I,p,q)}$

(2) ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)}$

dónde ,${\displaystyle (I,\phi ,t)\en \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle N\geq 2.}$

Para sistemas como en (1) , el hamiltoniano no perturbado posee familias suaves de toros invariantes que tienen variedades hiperbólicas estables e inestables ; tales sistemas se denominan inestables a priori . Para sistemas como en (2) , el espacio de fase del hamiltoniano no perturbado está foliado por toros invariantes lagrangianos ; tales sistemas se denominan estables a priori . ^[5] En cualquier caso, el problema de difusión de Arnold afirma que, para sistemas "genéricos", existen tales que para cada suficientemente pequeño existen curvas solución para las cuales${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }$

Durante algún tiempo, se pueden encontrar formulaciones precisas de posibles condiciones de genericidad en el contexto de un sistema a priori inestable y a priori estable en ^{[6] [7]} respectivamente. De manera informal, el problema de difusión de Arnold dice que pequeñas perturbaciones pueden acumularse para dar lugar a grandes efectos.${\displaystyle T\gg 0.}$

Resultados recientes en el caso inestable a priori incluyen, ^{[8] [9] [10] [11] [12]} y en el caso estable a priori. ^{[13] [14]}

En el contexto del problema restringido de los tres cuerpos , la difusión de Arnold puede interpretarse en el sentido de que, para todos los valores suficientemente pequeños y distintos de cero de la excentricidad de las órbitas elípticas de los cuerpos masivos, existen soluciones a lo largo de las cuales la energía de la masa despreciable cambia en una cantidad que es independiente de la excentricidad. ^{[15] [16] [17]}

• Teorema KAM
• Estimaciones de Nekhoroshev