Apertura (morfología)

En morfología matemática , la apertura es la dilatación de la erosión de un conjunto A por un elemento estructurante B:

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B,\,}$

donde y denotan erosión y dilatación, respectivamente.${\displaystyle \ominus}$${\displaystyle \oplus}$

Junto con el cierre , la apertura sirve en la visión artificial y el procesamiento de imágenes como un caballo de batalla básico de eliminación de ruido morfológico. La apertura elimina pequeños objetos del primer plano (generalmente tomados como píxeles brillantes) de una imagen, colocándolos en el fondo, mientras que el cierre elimina pequeños agujeros en el primer plano, cambiando pequeñas islas del fondo al primer plano. Estas técnicas también se pueden utilizar para encontrar formas específicas en una imagen. La apertura se puede utilizar para encontrar cosas en las que pueda encajar un elemento estructurante específico (bordes, esquinas, ...).

Se puede pensar en B barriendo el interior del límite de A , de modo que no se extienda más allá del límite, y dando forma al límite de A alrededor del límite del elemento.

• La apertura es idempotente , es decir, .${\displaystyle (A\circ B)\circ B=A\circ B}$
• La apertura es creciente , es decir, si , entonces .${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\circ B\subseteq C\circ B}$
• La apertura es antiextensiva, es decir, .${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$
• La apertura es invariante en la traducción .
• La apertura y el cierre satisfacen la dualidad , donde denota cierre.${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{c})^{c}}$${\displaystyle \bullet}$

Realizar erosión :${\displaystyle (A\ominus B)}$

Supongamos que A es la siguiente matriz de 16 x 15 y B es la siguiente matriz de 3 x 3:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Primero, realice la erosión en A por B ):${\displaystyle (A\ominus B}$

Suponiendo que el origen de B está en su centro, para cada píxel en A superponga el origen de B, si B está completamente contenido por A el píxel se conserva, de lo contrario se elimina.

Por lo tanto, la erosión de A por B viene dada por esta matriz de 16 x 15.

${\displaystyle (A\ominus B)}$viene dada por:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Luego, realizar Dilatación sobre el resultado de la Erosión por B: :${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$

Para cada píxel en que tenga un valor de 1, superponga B, con el centro de B alineado con el píxel correspondiente en .${\displaystyle (A\ominus B)}$${\displaystyle (A\ominus B)}$

Cada píxel de cada B superpuesto está incluido en la dilatación de A por B.

La dilatación de B viene dada por esta matriz de 16 x 15.${\displaystyle (A\ominus B)}$

${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$viene dado por:

 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0  0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0  0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Por lo tanto, la operación de apertura elimina pequeñas protuberancias del límite del objeto representado por A, mientras conserva la forma y el tamaño generales de los componentes más grandes.${\estilo de visualización A\circ B}$

En la apertura morfológica , la operación de erosión elimina los objetos que son más pequeños que el elemento estructurante B y la operación de dilatación restaura (aproximadamente) el tamaño y la forma de los objetos restantes. Sin embargo, la precisión de restauración en la operación de dilatación depende en gran medida del tipo de elemento estructurante y la forma de los objetos restaurados. El método de apertura por reconstrucción es capaz de restaurar los objetos de forma más completa después de que se haya aplicado la erosión. Se define como la reconstrucción por dilatación geodésica de erosiones de por con respecto a  :${\displaystyle (A\ominus B)\oplus B}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización F}$

${\displaystyle O_{R}^{(n)}(F)=R_{F}^{D}[(F\ominus nB)],}$^[1]

donde denota una imagen de marcador y es una imagen de máscara en reconstrucción morfológica por dilatación. ^[1] denota dilatación geodésica con iteraciones hasta estabilidad, es decir, tal que ^[1] Dado que , ^[1] la imagen de marcador está limitada en la región de crecimiento por la imagen de máscara, por lo que la operación de dilatación en la imagen de marcador no se expandirá más allá de la imagen de máscara. Como resultado, la imagen de marcador es un subconjunto de la imagen de máscara ^[1] (Estrictamente, esto se aplica solo a máscaras binarias. Sin embargo, afirmaciones similares se aplican cuando la máscara no es binaria).${\displaystyle (F\ominus nB)}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)],}$ ${\estilo de visualización D}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k-1)}[(F\ominus nB)].}$${\displaystyle D_{F}^{(1)}[(F\ominus nB)]=([(F\ominus nB)]\oplus B)\cap F}$${\displaystyle (F\ominus nB)\subseteq F.}$

Las imágenes a continuación presentan un ejemplo simple de apertura por reconstrucción que extrae los trazos verticales de una imagen de texto de entrada. Dado que la imagen original se convierte de escala de grises a imagen binaria, tiene algunas distorsiones en algunos caracteres, por lo que los mismos caracteres pueden tener diferentes longitudes verticales. En este caso, el elemento estructurante es una línea vertical de 8 píxeles que se aplica en la operación de erosión para encontrar objetos de interés. Además, la reconstrucción morfológica por dilatación ^[1] itera varias veces hasta que la imagen resultante converge.${\displaystyle R_{F}^{D}[(F\ominus nB)]=D_{F}^{(k)}[(F\ominus nB)]}$${\estilo de visualización k=9}$

• Morfología matemática
• Cierre
• Dilatación
• Erosión

• Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Análisis de imágenes y morfología matemática, volumen 2: avances teóricos de Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas, de Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 

• http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/open.htm - Apertura morfológica

• Procesamiento de imágenes digitales ( tercera edición ) de Rafael C. Gonzalez y Richard E. Woods, ISBN 978-93-325-7032-0 (2008)