Procesamiento de señales analógicas

El procesamiento de señales analógicas es un tipo de procesamiento de señales que se lleva a cabo en señales analógicas continuas por algún medio analógico (a diferencia del procesamiento de señales digitales discretas, en el que el procesamiento de señales se lleva a cabo mediante un proceso digital). "Analógico" indica algo que se representa matemáticamente como un conjunto de valores continuos. Esto difiere de "digital", que utiliza una serie de cantidades discretas para representar la señal. Los valores analógicos se representan típicamente como voltaje , corriente eléctrica o carga eléctrica alrededor de los componentes de los dispositivos electrónicos. Un error o ruido que afecte a dichas cantidades físicas dará como resultado un error correspondiente en las señales representadas por dichas cantidades físicas.

Algunos ejemplos de procesamiento de señales analógicas son los filtros de cruce de los altavoces, los controles de "graves", "agudos" y "volumen" de los equipos de música y los controles de "tono" de los televisores. Entre los elementos de procesamiento analógico más comunes se encuentran los condensadores, las resistencias y los inductores (como elementos pasivos) y los transistores o amplificadores operacionales (como elementos activos).

El comportamiento de un sistema se puede modelar matemáticamente y se representa en el dominio del tiempo como h(t) y en el dominio de la frecuencia como H(s), donde s es un número complejo en la forma s=a+ib, o s=a+jb en términos de ingeniería eléctrica (los ingenieros eléctricos usan "j" en lugar de "i" porque la corriente está representada por la variable i). Las señales de entrada se denominan normalmente x(t) o X(s) y las señales de salida se denominan normalmente y(t) o Y(s).

La convolución es el concepto básico del procesamiento de señales que establece que una señal de entrada se puede combinar con la función del sistema para encontrar la señal de salida. Es la integral del producto de dos formas de onda después de que una se haya invertido y desplazado; el símbolo de la convolución es *.

${\displaystyle y(t)=(x*h)(t)=\int _{a}^{b}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau }$

Esta es la integral de convolución y se utiliza para encontrar la convolución de una señal y un sistema; normalmente a = -∞ y b = +∞.

Consideremos dos formas de onda f y g. Al calcular la convolución, determinamos cuánto debe desplazarse una función invertida g a lo largo del eje x para volverse idéntica a la función f. La función de convolución esencialmente invierte y desliza la función g a lo largo del eje, y calcula la integral de su producto (f y la función invertida y desplazada g) para cada cantidad posible de deslizamiento. Cuando las funciones coinciden, el valor de (f*g) se maximiza. Esto ocurre porque cuando se multiplican las áreas positivas (picos) o las áreas negativas (valles), contribuyen a la integral.

La transformada de Fourier es una función que transforma una señal o un sistema en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, pero solo funciona para ciertas funciones. La restricción sobre qué sistemas o señales se pueden transformar mediante la transformada de Fourier es que:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|\,dt<\infty }$

Esta es la integral de la transformada de Fourier:

${\displaystyle X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}\,dt}$

Generalmente no se utiliza la integral de la transformada de Fourier para determinar la transformada; en su lugar, se utiliza una tabla de pares de transformadas para encontrar la transformada de Fourier de una señal o sistema. La transformada de Fourier inversa se utiliza para pasar del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}X(j\omega )e^{j\omega t}\,d\omega }$

Cada señal o sistema que se puede transformar tiene una transformada de Fourier única. Solo existe una señal de tiempo para cualquier señal de frecuencia y viceversa.

La transformada de Laplace es una transformada de Fourier generalizada . Permite una transformación de cualquier sistema o señal porque es una transformación en el plano complejo en lugar de solo en la línea jω como la transformada de Fourier. La principal diferencia es que la transformada de Laplace tiene una región de convergencia para la cual la transformada es válida. Esto implica que una señal en frecuencia puede tener más de una señal en el tiempo; la señal de tiempo correcta para la transformada está determinada por la región de convergencia . Si la región de convergencia incluye el eje jω, jω se puede sustituir en la transformada de Laplace por s y es lo mismo que la transformada de Fourier. La transformada de Laplace es:

${\displaystyle X(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}$

y la transformada de Laplace inversa, si todas las singularidades de X(s) están en la mitad izquierda del plano complejo, es:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi}}\int _{-\infty}^{\infty}X(s)e^{st}\,ds}$

Los diagramas de Bode son diagramas de magnitud versus frecuencia y de fase versus frecuencia para un sistema. El eje de magnitud está en [Decibel] (dB). El eje de fase está en grados o radianes. Los ejes de frecuencia están en una [escala logarítmica]. Son útiles porque para las entradas sinusoidales, la salida es la entrada multiplicada por el valor del diagrama de magnitud en la frecuencia y desplazada por el valor del diagrama de fase en la frecuencia.

Este es el dominio con el que la mayoría de las personas están familiarizadas. Un gráfico en el dominio del tiempo muestra la amplitud de la señal con respecto al tiempo.

Un gráfico en el dominio de frecuencia muestra el cambio de fase o la magnitud de una señal en cada frecuencia en la que existe. Estos se pueden encontrar tomando la transformada de Fourier de una señal temporal y se representan gráficamente de manera similar a un diagrama de Bode.

Si bien cualquier señal se puede utilizar en el procesamiento de señales analógicas, existen muchos tipos de señales que se utilizan con mucha frecuencia.

Las sinusoides son el componente básico del procesamiento de señales analógicas. Todas las señales del mundo real se pueden representar como una suma infinita de funciones sinusoidales mediante una serie de Fourier . Una función sinusoidal se puede representar en términos de una exponencial mediante la aplicación de la fórmula de Euler .

Un impulso ( función delta de Dirac ) se define como una señal que tiene una magnitud infinita y un ancho infinitesimalmente estrecho con un área debajo de ella de uno, centrada en cero. Un impulso se puede representar como una suma infinita de sinusoides que incluye todas las frecuencias posibles. En realidad, no es posible generar una señal de este tipo, pero se puede aproximar lo suficiente con un pulso estrecho de gran amplitud para producir la respuesta teórica al impulso en una red con un alto grado de precisión. El símbolo de un impulso es δ(t). Si se utiliza un impulso como entrada a un sistema, la salida se conoce como respuesta al impulso. La respuesta al impulso define el sistema porque todas las frecuencias posibles están representadas en la entrada.

Una función escalón unitario, también llamada función escalón de Heaviside , es una señal que tiene una magnitud de cero antes de cero y una magnitud de uno después de cero. El símbolo de un escalón unitario es u(t). Si se utiliza un escalón como entrada de un sistema, la salida se denomina respuesta escalón. La respuesta escalón muestra cómo responde un sistema a una entrada repentina, similar a encender un interruptor. El período antes de que la salida se estabilice se denomina parte transitoria de una señal. La respuesta escalón se puede multiplicar por otras señales para mostrar cómo responde el sistema cuando una entrada se enciende repentinamente.

La función escalón unitario está relacionada con la función delta de Dirac por:

${\displaystyle \mathrm {u}(t)=\int _{-\infty }^{t}\delta (s)ds}$

Linealidad significa que si tienes dos entradas y dos salidas correspondientes, si tomas una combinación lineal de esas dos entradas obtendrás una combinación lineal de las salidas. Un ejemplo de un sistema lineal es un filtro de paso bajo o paso alto de primer orden. Los sistemas lineales están hechos de dispositivos analógicos que demuestran propiedades lineales. Estos dispositivos no tienen que ser completamente lineales, pero deben tener una región de operación que sea lineal. Un amplificador operacional es un dispositivo no lineal, pero tiene una región de operación que es lineal, por lo que se puede modelar como lineal dentro de esa región de operación. La invariancia temporal significa que no importa cuándo inicies un sistema, el resultado será el mismo. Por ejemplo, si tienes un sistema y le pones una entrada hoy, obtendrías el mismo resultado si encendieras el sistema mañana. No hay ningún sistema real que sea LTI, pero muchos sistemas se pueden modelar como LTI para simplificar la determinación de cuál será su salida. Todos los sistemas tienen cierta dependencia de elementos como la temperatura, el nivel de la señal u otros factores que hacen que sean no lineales o no invariantes en el tiempo, pero la mayoría son lo suficientemente estables como para ser modelados como LTI. La linealidad y la invariancia en el tiempo son importantes porque son los únicos tipos de sistemas que se pueden resolver fácilmente utilizando métodos de procesamiento de señales analógicas convencionales. Una vez que un sistema se vuelve no lineal o no invariante en el tiempo, se convierte en un problema de ecuaciones diferenciales no lineales, y hay muy pocos de ellos que realmente se puedan resolver. (Haykin y Van Veen 2003)

• Haykin, Simon y Barry Van Veen. Señales y sistemas. 2.ª ed. Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley and Sons, Inc., 2003.
• McClellan, James H., Ronald W. Schafer y Mark A. Yoder. Procesamiento de señales en primer lugar. Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education, Inc., 2003.