Análisis estadístico de formas
Análisis de propiedades geométricas

El análisis estadístico de formas es un análisis de las propiedades geométricas de un conjunto dado de formas mediante métodos estadísticos . Por ejemplo, podría utilizarse para cuantificar las diferencias entre las formas del cráneo de los gorilas machos y hembras, las formas normales y patológicas de los huesos, los contornos de las hojas con y sin herbivoría por parte de insectos, etc. Los aspectos importantes del análisis de formas son obtener una medida de la distancia entre formas, estimar las formas medias a partir de muestras (posiblemente aleatorias), estimar la variabilidad de las formas dentro de las muestras, realizar agrupamientos y probar las diferencias entre las formas. [1] [2] Uno de los principales métodos utilizados es el análisis de componentes principales (PCA). El análisis estadístico de formas tiene aplicaciones en varios campos, incluidos la imagenología médica , [3] la visión artificial , la anatomía computacional , la medición de sensores y la elaboración de perfiles geográficos. [4]

Técnicas basadas en puntos de referencia

En el modelo de distribución de puntos , una forma está determinada por un conjunto finito de puntos de coordenadas, conocidos como puntos de referencia . Estos puntos de referencia a menudo corresponden a características identificables importantes, como las esquinas de los ojos. Una vez que se recopilan los puntos, se realiza algún tipo de registro . Este puede ser un método de referencia utilizado por Fred Bookstein para la morfometría geométrica en antropología . O un enfoque como el análisis de Procrustes que encuentra una forma promedio.

David George Kendall investigó la distribución estadística de la forma de los triángulos y representó cada triángulo mediante un punto en una esfera. Utilizó esta distribución en la esfera para investigar las líneas ley y si era más probable que tres piedras fueran colineales de lo que cabría esperar. [5] Se pueden utilizar distribuciones estadísticas como la distribución de Kent para analizar la distribución de dichos espacios.

Alternativamente, las formas pueden representarse mediante curvas o superficies que representan sus contornos, [6] por la región espacial que ocupan. [7]

Deformaciones de forma

Las diferencias entre formas se pueden cuantificar investigando las deformaciones que transforman una forma en otra. En particular, un difeomorfismo preserva la suavidad en la deformación. Esto fue iniciado en On Growth and Form de D'Arcy Thompson antes de la llegada de las computadoras. [8] Las deformaciones se pueden interpretar como el resultado de una fuerza aplicada a la forma. Matemáticamente, una deformación se define como un mapeo de una forma x a una forma y por una función de transformación , es decir, . [9] Dada una noción de tamaño de deformaciones, la distancia entre dos formas se puede definir como el tamaño de la deformación más pequeña entre estas formas. Φ {\estilo de visualización \Phi} y = Φ ( incógnita ) {\displaystyle y=\Phi(x)}

La difeomorfometría [10] se centra en la comparación de formas y figuras con una estructura métrica basada en difeomorfismos, y es fundamental en el campo de la anatomía computacional . [11] El registro difeomórfico, [12] introducido en los años 90, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas alrededor de ANTS, [13] DARTEL, [14] DEMONS, [15] LDDMM , [16] StationaryLDDMM, [17] y FastLDDMM [18] son ​​ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en características dispersas e imágenes densas. La morfometría basada en vóxeles (VBM) es una tecnología importante construida sobre muchos de estos principios. También se utilizan métodos basados ​​en flujos difeomórficos. Por ejemplo, las deformaciones podrían ser difeomorfismos del espacio ambiental, lo que da como resultado el marco LDDMM ( Mapeo métrico difeomórfico de deformación grande ) para la comparación de formas. [19]

Véase también

Referencias

  1. ^ IL Dryden y KV Mardia (1998). Análisis estadístico de formas . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-95816-1.
  2. ^ H. Ziezold (1994). "Figuras medias y formas medias aplicadas a distribuciones biológicas de figuras y formas en el plano". Biometrical Journal . 36 (4). Biometrical Journal, 36, págs. 491–510.: 491–510. doi :10.1002/bimj.4710360409.
  3. ^ G. Zheng; S. Li; G. Szekely (2017). Análisis estadístico de formas y deformaciones . Academic Press. ISBN 9780128104941.
  4. ^ S. Giebel (2011). Zur Anwendung der Formanalyse . AVM, M\"unchen.
  5. ^ Bingham, NH (1 de noviembre de 2007). "Profesor David Kendall" . The Independent . Archivado desde el original el 24 de mayo de 2022. Consultado el 5 de abril de 2016 .
  6. ^ M. Bauer; M. Bruveris; P. Michor (2014). "Descripción general de las geometrías de los espacios de formas y los grupos de difeomorfismo". Revista de imágenes y visión matemática . 50 (490): 60–97. arXiv : 1305.1150 . doi :10.1007/s10851-013-0490-z. S2CID  2866580.
  7. ^ D. Zhang; G. Lu (2004). "Revisión de las técnicas de representación y descripción de formas". Reconocimiento de patrones . 37 (1): 1–19. doi :10.1016/j.patcog.2003.07.008.
  8. ^ D'Arcy Thompson (1942). Sobre el crecimiento y la forma . Cambridge University Press.
  9. ^ Definición 10.2 en IL Dryden y KV Mardia (1998). Análisis estadístico de formas . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-95816-1.
  10. ^ Miller, Michael I.; Younes, Laurent; Trouvé, Alain (18 de noviembre de 2013). "Diffeomorfometría y sistemas de posicionamiento geodésico para la anatomía humana". Tecnología . 2 (1): 36–43. doi :10.1142/S2339547814500010. ISSN  2339-5478. PMC 4041578 . PMID  24904924. 
  11. ^ Grenander, Ulf; Miller, Michael I. (1998-12-01). "Anatomía computacional: una disciplina emergente". Q. Appl. Math . LVI (4): 617–694. doi : 10.1090/qam/1668732 . ISSN  0033-569X.
  12. ^ Christensen, GE; Rabbitt, RD; Miller, MI (1996-01-01). "Plantillas deformables que utilizan cinemática de deformación grande". IEEE Transactions on Image Processing . 5 (10): 1435–1447. Bibcode :1996ITIP....5.1435C. doi :10.1109/83.536892. ISSN  1057-7149. PMID  18290061.
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  17. ^ "Publicación: Comparación de algoritmos para el registro difeomórfico: LDDMM estacionario y demonios difeomórficos". www.openaire.eu . Archivado desde el original el 16 de febrero de 2016 . Consultado el 11 de diciembre de 2015 .
  18. ^ Zhang, Miaomiao; Fletcher, P. Thomas (2015). "Álgebras de Lie de dimensión finita para el registro rápido de imágenes difeomórficas". Procesamiento de la información en imágenes médicas . Apuntes de clase en informática. Vol. 24. págs. 249–259. doi :10.1007/978-3-319-19992-4_19. ISBN 978-3-319-19991-7. ISSN  1011-2499. PMID  26221678. S2CID  10334673.
  19. ^ F. Beg; M. Miller; A. Trouvé; L. Younes (febrero de 2005). "Computación de asignaciones métricas de deformación a gran escala mediante flujos geodésicos de difeomorfismos". Revista internacional de visión artificial . 61 (2): 139–157. doi :10.1023/b:visi.0000043755.93987.aa. S2CID  17772076.
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