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Mecánica clásica |
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En la ciencia física de la dinámica , la dinámica de cuerpos rígidos estudia el movimiento de sistemas de cuerpos interconectados bajo la acción de fuerzas externas . La suposición de que los cuerpos son rígidos (es decir, que no se deforman bajo la acción de fuerzas aplicadas) simplifica el análisis, al reducir los parámetros que describen la configuración del sistema a la traslación y rotación de marcos de referencia unidos a cada cuerpo. [1] [2] Esto excluye los cuerpos que muestran un comportamiento fluido , altamente elástico y plástico .
La dinámica de un sistema de cuerpo rígido se describe mediante las leyes de la cinemática y la aplicación de la segunda ley de Newton ( cinética ) o su forma derivada, la mecánica de Lagrange . La solución de estas ecuaciones de movimiento proporciona una descripción de la posición, el movimiento y la aceleración de los componentes individuales del sistema, y del sistema en sí en general, en función del tiempo . La formulación y solución de la dinámica de cuerpos rígidos es una herramienta importante en la simulación por computadora de sistemas mecánicos .
Si un sistema de partículas se mueve en paralelo a un plano fijo, se dice que el sistema está restringido al movimiento planar. En este caso, las leyes de Newton (cinética) para un sistema rígido de N partículas, P i , i =1,..., N , se simplifican porque no hay movimiento en la dirección k . Determine la fuerza y el par resultantes en un punto de referencia R , para obtener
donde r i denota la trayectoria plana de cada partícula.
La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P i en términos de la posición R y la aceleración A de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como,
Para sistemas que están limitados a un movimiento plano, los vectores de velocidad angular y aceleración angular están dirigidos a lo largo de k perpendicularmente al plano de movimiento, lo que simplifica esta ecuación de aceleración. En este caso, los vectores de aceleración se pueden simplificar introduciendo los vectores unitarios e i desde el punto de referencia R hasta un punto r i y los vectores unitarios , de modo que
Esto produce la fuerza resultante sobre el sistema y el par como
donde y es el vector unitario perpendicular al plano para todas las partículas P i .
Utilice el centro de masa C como punto de referencia, por lo que estas ecuaciones para las leyes de Newton se simplifican para convertirse en
donde M es la masa total e IC es el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al movimiento del sistema rígido y que pasa por el centro de masa.
Se han desarrollado varios métodos para describir las orientaciones de un cuerpo rígido en tres dimensiones, que se resumen en las siguientes secciones.
El primer intento de representar una orientación se atribuye a Leonhard Euler . Imaginó tres sistemas de referencia que pudieran rotar uno alrededor del otro, y se dio cuenta de que partiendo de un sistema de referencia fijo y realizando tres rotaciones, podía obtener cualquier otro sistema de referencia en el espacio (utilizando dos rotaciones para fijar el eje vertical y otra para fijar los otros dos ejes). Los valores de estas tres rotaciones se denominan ángulos de Euler . Comúnmente, se utiliza para denotar precesión, nutación y rotación intrínseca.
Se trata de tres ángulos, también conocidos como ángulos de guiñada, de cabeceo y de balanceo, ángulos de navegación y ángulos de Cardan. Matemáticamente constituyen un conjunto de seis posibilidades dentro de los doce conjuntos posibles de ángulos de Euler, siendo el ordenamiento el más utilizado para describir la orientación de un vehículo como un avión. En ingeniería aeroespacial se les suele denominar ángulos de Euler.
Euler también se dio cuenta de que la composición de dos rotaciones es equivalente a una sola rotación sobre un eje fijo diferente ( teorema de rotación de Euler ). Por lo tanto, la composición de los tres ángulos anteriores tiene que ser igual a una sola rotación, cuyo eje era complicado de calcular hasta que se desarrollaron las matrices.
Basándose en este hecho, introdujo una forma vectorial de describir cualquier rotación, con un vector en el eje de rotación y módulo igual al valor del ángulo. Por lo tanto, cualquier orientación puede representarse mediante un vector de rotación (también llamado vector de Euler) que conduce a ella desde el sistema de referencia. Cuando se utiliza para representar una orientación, el vector de rotación se denomina comúnmente vector de orientación o vector de actitud.
Un método similar, llamado representación eje-ángulo , describe una rotación u orientación utilizando un vector unitario alineado con el eje de rotación y un valor separado para indicar el ángulo (ver figura).
Con la introducción de las matrices, se reescribieron los teoremas de Euler. Las rotaciones se describieron mediante matrices ortogonales denominadas matrices de rotación o matrices de coseno de dirección. Cuando se utiliza para representar una orientación, una matriz de rotación se denomina comúnmente matriz de orientación o matriz de actitud.
El vector de Euler mencionado anteriormente es el vector propio de una matriz de rotación (una matriz de rotación tiene un único valor propio real ). El producto de dos matrices de rotación es la composición de rotaciones. Por lo tanto, como antes, la orientación se puede dar como la rotación desde el sistema inicial hasta alcanzar el sistema que queremos describir.
El espacio de configuración de un objeto no simétrico en un espacio n -dimensional es SO( n ) × R n . La orientación se puede visualizar uniendo una base de vectores tangentes a un objeto. La dirección en la que apunta cada vector determina su orientación.
Otra forma de describir las rotaciones es mediante cuaterniones de rotación , también llamados versores. Son equivalentes a las matrices de rotación y a los vectores de rotación. Con respecto a los vectores de rotación, se pueden convertir más fácilmente a matrices y viceversa. Cuando se utilizan para representar orientaciones, los cuaterniones de rotación se denominan normalmente cuaterniones de orientación o cuaterniones de actitud.
Para considerar la dinámica de un cuerpo rígido en el espacio tridimensional, la segunda ley de Newton debe extenderse para definir la relación entre el movimiento de un cuerpo rígido y el sistema de fuerzas y pares que actúan sobre él.
Newton formuló su segunda ley para una partícula como: "El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza impresa y se realiza en la dirección de la línea recta en la que se imprime la fuerza". [3] Debido a que Newton generalmente se refería a la masa por la velocidad como el "movimiento" de una partícula, la frase "cambio de movimiento" se refiere a la masa por la aceleración de la partícula, y por lo tanto esta ley generalmente se escribe como donde F se entiende que es la única fuerza externa que actúa sobre la partícula, m es la masa de la partícula y a es su vector de aceleración. La extensión de la segunda ley de Newton a los cuerpos rígidos se logra considerando un sistema rígido de partículas.
Si un sistema de N partículas, P i , i=1,..., N , se ensamblan en un cuerpo rígido, entonces la segunda ley de Newton se puede aplicar a cada una de las partículas del cuerpo. Si F i es la fuerza externa aplicada a la partícula P i con masa m i , entonces donde F ij es la fuerza interna de la partícula P j que actúa sobre la partícula P i y que mantiene constante la distancia entre estas partículas.
Una simplificación importante de estas ecuaciones de fuerza se obtiene introduciendo la fuerza y el par resultantes que actúan sobre el sistema rígido. Esta fuerza y par resultantes se obtienen eligiendo una de las partículas del sistema como punto de referencia, R , donde se aplican cada una de las fuerzas externas con la adición de un par asociado. La fuerza resultante F y el par T se dan mediante las fórmulas, donde R i es el vector que define la posición de la partícula P i .
La segunda ley de Newton para una partícula se combina con estas fórmulas para la fuerza y el par resultantes, donde las fuerzas internas F ij se cancelan en pares. La cinemática de un cuerpo rígido produce la fórmula para la aceleración de la partícula P i en términos de la posición R y la aceleración a de la partícula de referencia, así como el vector de velocidad angular ω y el vector de aceleración angular α del sistema rígido de partículas como,
Las propiedades de masa del cuerpo rígido están representadas por su centro de masa y su matriz de inercia . Elija el punto de referencia R de modo que satisfaga la condición
entonces se conoce como el centro de masa del sistema.
La matriz de inercia [I R ] del sistema con respecto al punto de referencia R está definida por
donde es el vector columna R i − R ; es su transpuesta, y es la matriz identidad de 3 por 3.
es el producto escalar de consigo mismo, mientras que es el producto tensorial de consigo mismo.
Utilizando la matriz del centro de masa e inercia, las ecuaciones de fuerza y torque para un solo cuerpo rígido toman la forma y se conocen como la segunda ley de movimiento de Newton para un cuerpo rígido.
La dinámica de un sistema interconectado de cuerpos rígidos, B i , j = 1, ..., M , se formula aislando cada cuerpo rígido e introduciendo las fuerzas de interacción. La resultante de las fuerzas externas y de interacción sobre cada cuerpo produce las ecuaciones de fuerza-par
La formulación de Newton produce 6 M ecuaciones que definen la dinámica de un sistema de M cuerpos rígidos. [4]
Un objeto giratorio, ya sea bajo la influencia de pares o no, puede exhibir los comportamientos de precesión y nutación . La ecuación fundamental que describe el comportamiento de un cuerpo sólido giratorio es la ecuación de movimiento de Euler : donde los pseudovectores τ y L son, respectivamente, los pares sobre el cuerpo y su momento angular , el escalar I es su momento de inercia , el vector ω es su velocidad angular, el vector α es su aceleración angular, D es el diferencial en un marco de referencia inercial y d es el diferencial en un marco de referencia relativo fijo con el cuerpo.
La solución de esta ecuación cuando no hay torque aplicado se analiza en los artículos Ecuación de movimiento de Euler y Elipsoide de Poinsot .
De la ecuación de Euler se desprende que un par τ aplicado perpendicularmente al eje de rotación, y por tanto perpendicular a L , da como resultado una rotación alrededor de un eje perpendicular tanto a τ como a L . Este movimiento se denomina precesión . La velocidad angular de precesión Ω P viene dada por el producto vectorial : [ cita requerida ]
La precesión se puede demostrar colocando una peonza con su eje horizontal y apoyado de forma suelta (sin fricción hacia la precesión) en un extremo. En lugar de caer, como podría esperarse, la peonza parece desafiar la gravedad al permanecer con su eje horizontal, cuando el otro extremo del eje se deja sin apoyo y el extremo libre del eje describe lentamente un círculo en un plano horizontal, girando con precesión. Este efecto se explica por las ecuaciones anteriores. El par en la peonza es proporcionado por un par de fuerzas: la gravedad que actúa hacia abajo sobre el centro de masa del dispositivo y una fuerza igual que actúa hacia arriba para sostener un extremo del dispositivo. La rotación resultante de este par no es hacia abajo, como podría esperarse intuitivamente, haciendo que el dispositivo caiga, sino perpendicular tanto al par gravitacional (horizontal y perpendicular al eje de rotación) como al eje de rotación (horizontal y hacia afuera desde el punto de apoyo), es decir, alrededor de un eje vertical, haciendo que el dispositivo gire lentamente alrededor del punto de apoyo.
Bajo un torque constante de magnitud τ , la velocidad de precesión Ω P es inversamente proporcional a L , la magnitud de su momento angular: donde θ es el ángulo entre los vectores Ω P y L . Por lo tanto, si el giro del trompo se ralentiza (por ejemplo, debido a la fricción), su momento angular disminuye y, por lo tanto, la velocidad de precesión aumenta. Esto continúa hasta que el dispositivo no puede girar lo suficientemente rápido como para soportar su propio peso, cuando deja de precesar y se cae de su soporte, principalmente porque la fricción contra la precesión causa otra precesión que va a causar la caída.
Por convención, estos tres vectores (torque, giro y precesión) están todos orientados entre sí según la regla de la mano derecha .
Una formulación alternativa de la dinámica del cuerpo rígido que tiene una serie de características convenientes se obtiene considerando el trabajo virtual de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido.
El trabajo virtual de las fuerzas que actúan en varios puntos sobre un único cuerpo rígido se puede calcular utilizando las velocidades de su punto de aplicación y la fuerza y el par resultantes . Para comprobarlo, supongamos que las fuerzas F 1 , F 2 ... F n actúan sobre los puntos R 1 , R 2 ... R n de un cuerpo rígido.
Las trayectorias de R i , i = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido. La velocidad de los puntos R i a lo largo de sus trayectorias es donde ω es el vector de velocidad angular del cuerpo.
El trabajo se calcula a partir del producto escalar de cada fuerza por el desplazamiento de su punto de contacto. Si la trayectoria de un cuerpo rígido está definida por un conjunto de coordenadas generalizadas q j , j = 1, ..., m , entonces los desplazamientos virtuales δ r i están dados por El trabajo virtual de este sistema de fuerzas que actúan sobre el cuerpo en términos de las coordenadas generalizadas se convierte en
o recogiendo los coeficientes de δq j
Para simplificar, considere una trayectoria de un cuerpo rígido que está especificada por una única coordenada generalizada q, como un ángulo de rotación, entonces la fórmula se convierte en
Introduzca la fuerza resultante F y el torque T de modo que esta ecuación tome la forma
La cantidad Q definida por
se conoce como la fuerza generalizada asociada al desplazamiento virtual δq. Esta fórmula se generaliza al movimiento de un cuerpo rígido definido por más de una coordenada generalizada, es decir donde
Es útil notar que las fuerzas conservativas, como la gravedad y las fuerzas de resorte, se pueden derivar de una función potencial V ( q 1 , ..., q n ) , conocida como energía potencial . En este caso, las fuerzas generalizadas están dadas por
Las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se pueden determinar utilizando la forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual. El principio del trabajo virtual se utiliza para estudiar el equilibrio estático de un sistema de cuerpos rígidos, sin embargo, al introducir términos de aceleración en las leyes de Newton, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico.
El equilibrio estático de un sistema mecánico de cuerpos rígidos se define por la condición de que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas sea cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Esto se conoce como el principio del trabajo virtual. [5] Esto es equivalente al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir Q i = 0.
Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B i , i = 1, ..., n , y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par, F i y T i , i = 1, ..., n . Nótese que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, supongamos que la velocidad V i y las velocidades angulares ω i , i = 1, ..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una única coordenada generalizada q. Se dice que un sistema de cuerpos rígidos de este tipo tiene un grado de libertad .
El trabajo virtual de las fuerzas y pares, F i y T i , aplicados a este sistema de un grado de libertad está dado por donde es la fuerza generalizada que actúa sobre este sistema de un grado de libertad.
Si el sistema mecánico está definido por m coordenadas generalizadas, q j , j = 1, ..., m , entonces el sistema tiene m grados de libertad y el trabajo virtual está dado por, donde es la fuerza generalizada asociada con la coordenada generalizada q j . El principio del trabajo virtual establece que el equilibrio estático ocurre cuando estas fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema son cero, es decir
Estas m ecuaciones definen el equilibrio estático del sistema de cuerpos rígidos.
Consideremos un único cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un par T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q . Supongamos que el punto de referencia para la fuerza resultante y el par es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q está dada por
Esta fuerza de inercia se puede calcular a partir de la energía cinética del cuerpo rígido, utilizando la fórmula
Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética que puede utilizarse para calcular las m fuerzas de inercia generalizadas [6]
La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas inerciales es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por lo tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que para cualquier conjunto de desplazamientos virtuales δq j . Esta condición produce m ecuaciones, que también se pueden escribir como El resultado es un conjunto de m ecuaciones de movimiento que definen la dinámica del sistema de cuerpo rígido.
Si las fuerzas generalizadas Q j son derivables de una energía potencial V ( q 1 , ..., q m ) , entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma
En este caso, introduzca el Lagrangiano , L = T − V , por lo que estas ecuaciones de movimiento se convierten en Estas se conocen como ecuaciones de movimiento de Lagrange .
El momento lineal y angular de un sistema rígido de partículas se formula midiendo la posición y la velocidad de las partículas con respecto al centro de masa. Sea el sistema de partículas P i , i = 1, ..., n ubicado en las coordenadas r i y velocidades v i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición y velocidad relativos.
Los vectores de momento lineal y angular totales relativos al punto de referencia R son y
Si se elige R como centro de masa, estas ecuaciones se simplifican a
Para especializar estas fórmulas en un cuerpo rígido, supongamos que las partículas están conectadas rígidamente entre sí, de modo que P i , i=1,...,n están ubicadas por las coordenadas r i y las velocidades v i . Seleccione un punto de referencia R y calcule los vectores de posición relativa y velocidad, donde ω es la velocidad angular del sistema. [7] [8] [9]
El momento lineal y el momento angular de este sistema rígido medidos en relación con el centro de masa R son
Estas ecuaciones se simplifican para convertirse en, donde M es la masa total del sistema y [I R ] es la matriz del momento de inercia definida por donde [r i − R] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector r i − R .