Subasta de pago total

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En economía y teoría de juegos , una subasta de pago total es una subasta en la que cada postor debe pagar independientemente de si gana el premio, que se otorga al mejor postor como en una subasta convencional. Como lo demostraron Riley y Samuelson (1981), ^[1] la oferta de equilibrio en una subasta de pago total con información privada es equivalente en términos de ingresos a la oferta en una subasta de oferta alta sellada o una subasta abierta de precio ascendente.

En la versión más simple, existe información completa. El equilibrio de Nash es tal que cada postor juega una estrategia mixta y los pagos esperados son cero. ^[2] El ingreso esperado del vendedor es igual al valor del premio. Sin embargo, algunos experimentos y estudios económicos han demostrado que la sobreoferta es común. Es decir, el ingreso del vendedor con frecuencia excede el valor del premio, con la esperanza de asegurar la oferta ganadora. En juegos repetidos, incluso los postores que ganan el premio con frecuencia probablemente sufrirán una pérdida a largo plazo. ^[3]

La subasta de pago total con información completa no tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras, pero sí tiene un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. ^[4]

La forma más sencilla de una subasta de pago total es la subasta Tullock, a veces llamada lotería Tullock en honor a Gordon Tullock , en la que todos presentan una oferta, pero tanto los perdedores como los ganadores pagan sus ofertas presentadas. ^[5] Esto es fundamental para describir ciertas ideas en la economía de la elección pública . ^{[ cita requerida ]}

La subasta de dólares es una subasta Tullock para dos jugadores, o un juego multijugador en el que sólo los dos postores más altos pagan sus ofertas. Otros ejemplos prácticos son la subasta de honorarios por pujas y la rifa de centavos ( conocida peyorativamente como " subasta china " ^[6] ).

Existen otras formas de subastas en las que todos pagan, como la guerra de desgaste (también conocida como subasta biológica ^[7] ), en la que gana el mejor postor, pero todos los postores (o más típicamente, ambos) pagan solo la oferta más baja. Los biólogos utilizan la guerra de desgaste para modelar concursos convencionales o interacciones agonísticas resueltas sin recurrir a la agresión física .

El siguiente análisis sigue algunas reglas básicas. ^[8]

• Cada postor presenta una oferta, que depende únicamente de su valoración.
• Los postores no conocen las valoraciones de los otros postores.
• El análisis se basa en un entorno de valor privado independiente (IPV) en el que la valoración de cada postor se extrae de forma independiente a partir de una distribución uniforme [0,1]. En el entorno de IPV, si mi valor es 0,6, la probabilidad de que otro postor tenga un valor inferior también es 0,6. En consecuencia, la probabilidad de que otros dos postores tengan un valor inferior es .${\textstyle 0.6^{2}=0.36}$

En IPV los postores son simétricos porque las valoraciones provienen de la misma distribución. Esto hace que el análisis se centre en estrategias de oferta simétricas y monótonas. Esto implica que dos postores con la misma valoración presentarán la misma oferta. Como resultado, bajo simetría, el postor con el valor más alto siempre ganará. ^[8]

Consideremos la versión de dos jugadores de la subasta de pago total y que las valoraciones privadas sean independientes y estén distribuidas de manera idéntica en una distribución uniforme de [0,1]. Deseamos encontrar una función de oferta creciente y monótona, , que forme un equilibrio de Nash simétrico.${\displaystyle v_{i},v_{j}}$${\displaystyle b(v)}$

Si el jugador puja , gana la subasta solo si su puja es mayor que la del jugador anterior . La probabilidad de que esto suceda es${\displaystyle i}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle b(v_{j})}$

${\displaystyle \mathbb {P} [b(x)>b(v_{j})]=\mathbb {P} [x>v_{j}]=x}$, ya que es monótono y${\displaystyle b}$${\displaystyle v_{j}\sim \mathrm {Unif} [0,1]}$

Por lo tanto, la probabilidad de asignación del bien a es . Por lo tanto, la utilidad esperada de cuando puja como si su valor privado fuera está dada por${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{i}(x|v_{i})=v_{i}x-b(x)}$.

Para que sea un equilibrio bayesiano-Nash, debe tener su máximo en de modo que no tenga incentivos para desviarse dado que se mantiene con su oferta de .${\displaystyle b}$${\displaystyle u_{i}(x_{i}|v_{i})}$${\displaystyle x_{i}=v_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle b(v_{j})}$

${\displaystyle \implies u_{i}'(v_{i})=0\implies 2v_{i}=b'(v_{i})}$

Al integrar, obtenemos .${\displaystyle b(v_{i})=v_{i}^{2}+c}$

Sabemos que si el jugador tiene una valoración privada , entonces ofertará 0; . Podemos usar esto para demostrar que la constante de integración también es 0.${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{i}=0}$${\displaystyle b(0)=0}$

Así, obtenemos .${\displaystyle b(v_{i})={\frac {v_{i}^{2}}{2}}}$

Dado que esta función es de hecho monótona y creciente, esta estrategia de puja constituye un equilibrio bayesiano-Nash. Los ingresos de la subasta de pago total en este ejemplo son${\displaystyle b}$

${\displaystyle R=b(v_{1})+b(v_{2})={\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}}$

Dado que los iid se extraen de Unif[0,1], el ingreso esperado es${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle \mathbb {E} [R]=\mathbb {E} [{\frac {v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}]=\mathbb {E} [v^{2}]=\int \limits _{0}^{1}v^{2}dv={\frac {1}{3}}}$.

Debido al teorema de equivalencia de ingresos , todas las subastas con 2 jugadores tendrán un ingreso esperado de cuando las valoraciones privadas sean iid de Unif[0,1]. ^[9]${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$

Supongamos que en la subasta hay postores neutrales al riesgo. Cada postor tiene un valor privado extraído iid de una distribución uniforme común . Dada la libre disposición, el valor de cada postor está limitado por debajo de cero. Sin pérdida de generalidad, entonces, normalice el valor más bajo posible a cero.${\displaystyle n}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle F}$

Como el juego es simétrico, la función de oferta óptima debe ser la misma para todos los jugadores. Llamemos a esta función de oferta óptima . Como el pago de cada jugador se define como su ganancia esperada menos su oferta, podemos definir recursivamente la función de oferta óptima de la siguiente manera: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta (v_{i})\in arg\max _{b\in \mathbb {R} }\left\{\mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq b)v_{i}-b\right\}}$

Tenga en cuenta que, como F es uniforme, la probabilidad de empate es cero. Esto significa que la probabilidad de ganar la subasta será igual a la CDF elevada al número de jugadores menos 1, es decir, . ${\displaystyle \mathbb {P} (\forall j\neq i:\beta (v_{j})\leq \beta (v_{i}))=F(v_{i})^{n-1}}$

El objetivo ahora satisface los requisitos del teorema de la envolvente . Por lo tanto, podemos escribir:${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau &=(F(v_{i})^{n-1}\cdot v_{i}-\beta (v_{i}))-(F^{n-1}(0)\cdot 0-\beta (0))\\\beta (v_{i})&=F^{n-1}(v_{i})v_{i}-\int _{0}^{v_{i}}F(\tau )^{n-1}d\tau \\\beta (v_{i})&=\int _{0}^{v_{i}}\tau dF^{n-1}(\tau )\end{aligned}}}$

Esto produce la función de oferta única de equilibrio de Nash simétrico . ${\displaystyle \beta (v_{i})}$

Consideremos un funcionario corrupto que está tratando con donantes de campaña: cada uno quiere que le haga un favor que vale entre $0 y $1000 para ellos (distribuidos uniformemente). Sus valoraciones reales son $250, $500 y $750. Solo pueden observar sus propias valoraciones. Cada uno le hace un regalo caro al funcionario: si gasta X dólares en el regalo, este vale X dólares para el funcionario. El funcionario solo puede hacer un favor y se lo hará al donante que le esté dando el regalo más caro.

Este es un modelo típico de subasta de pago total. Para calcular la oferta óptima para cada donante, debemos normalizar las valoraciones {250, 500, 750} a {0,25, 0,5, 0,75} para que se pueda aplicar el IPV.

Según la fórmula de la oferta óptima:

${\displaystyle b_{i}(v_{i})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{i}}^{n}}$

Las ofertas óptimas para tres donantes bajo IPV son:

${\displaystyle b_{1}(v_{1})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{1}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.25}^{3}=0.0104}$

${\displaystyle b_{2}(v_{2})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{2}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.50}^{3}=0.0833}$

${\displaystyle b_{3}(v_{3})=\left({\frac {n-1}{n}}\right){v_{3}}^{n}=\left({\frac {2}{3}}\right){0.75}^{3}=0.2813}$

Para obtener la cantidad óptima real que cada uno de los tres donantes debería donar, simplemente multiplique los valores de IPV por 1000:

${\displaystyle b_{1}real(v_{1}=0.25)=\$10.4}$

${\displaystyle b_{2}real(v_{2}=0.50)=\$83.3}$

${\displaystyle b_{3}real(v_{3}=0.75)=\$281.3}$

Este ejemplo implica que el funcionario finalmente obtendrá $375, pero solo el tercer donante, que donó $281,3, ganará el favor del funcionario. Tenga en cuenta que los otros dos donantes saben que sus valoraciones no son lo suficientemente altas (pocas posibilidades de ganar), por lo que no donan mucho, equilibrando así la posible ganancia enorme y la baja probabilidad de ganar.