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En teoría de la probabilidad , las probabilidades proporcionan una medida de la probabilidad de un resultado particular. Las probabilidades se utilizan comúnmente en los juegos de azar y en las estadísticas . Por ejemplo, para un evento que tiene una probabilidad del 40 %, se podría decir que las probabilidades son "2 en 5", "2 a 3 a favor" o "3 a 2 en contra".

En los juegos de azar , las probabilidades se dan a menudo como la relación entre la posible ganancia neta y la posible pérdida neta. Sin embargo, en muchas situaciones, pagas la posible pérdida ("apuesta") por adelantado y, si ganas, recibes la ganancia neta más la devolución de tu apuesta. Por lo tanto, apostar 2 a "3 a 2" , paga 3 + 2 = 5 , lo que se llama "5 por 2". Cuando las probabilidades de Moneyline se cotizan como un número positivo + X , significa que una apuesta paga X a 100. Cuando las probabilidades de Moneyline se cotizan como un número negativo − X , significa que una apuesta paga 100 a X .

Las probabilidades tienen una relación simple con la probabilidad . Cuando la probabilidad se expresa como un número entre 0 y 1, las relaciones entre la probabilidad p y las probabilidades son las siguientes. Tenga en cuenta que si la probabilidad se expresa como un porcentaje, estos valores de probabilidad deben multiplicarse por 100%.

• " X en Y " significa que la probabilidad es p = X / Y.
• " X a Y a favor" significa que la probabilidad es p = X / ( X + Y ) .
• " X a Y contra" significa que la probabilidad es p = Y / ( X + Y ) .
• "paga X a Y " significa que la apuesta es una apuesta justa si la probabilidad es p = Y / ( X + Y ) .
• "paga X por Y " significa que la apuesta es una apuesta justa si la probabilidad es p = Y / X.
• "paga + X " significa que la apuesta es justa si la probabilidad es p = 100 / ( X + 100) .
• "paga − X " significa que la apuesta es justa si la probabilidad es p = X / ( X + 100) .

Los números de probabilidades se pueden escalar. Si k es un número positivo, entonces X a Y es lo mismo que kX a kY , y lo mismo ocurre si "a" se reemplaza por "en" o "a favor". Por ejemplo, "3 a 2 en contra" es lo mismo que "1,5 a 1 en contra" y "6 a 4 en contra".

Cuando el valor de la probabilidad p (entre 0 y 1; no un porcentaje) se puede escribir como una fracción N / D , entonces se puede decir que las probabilidades son " p /(1− p ) a 1 a favor", " (1− p )/ p a 1 en contra", " N en D ", " N a D − N a favor", o " D − N a N en contra", y estas se pueden escalar a probabilidades equivalentes. De manera similar, las probabilidades de apuestas justas se pueden expresar como " (1− p )/ p a 1", " 1/ p para 1", "+ 100(1− p )/ p ", " −100 p /(1− p ) ", " D − N a N ", " D para N ", "+ 100( D − N )/ N ", o " −100 N /( D − N ) ".

El lenguaje de las probabilidades, como el uso de frases como "diez a uno" para riesgos estimados intuitivamente , se encuentra en el siglo XVI, mucho antes del desarrollo de la teoría de la probabilidad . ^[1] Shakespeare escribió:

Sabía que nos aventurábamos en mares tan peligrosos
que si nos esforzábamos por sobrevivir, la probabilidad era de diez contra uno.

—  William Shakespeare , Enrique IV, Parte II , Acto I, Escena 1, líneas 181-2

El erudito del siglo XVI Cardano demostró la eficacia de definir las probabilidades como la relación entre los resultados favorables y los desfavorables. Esta definición implica que la probabilidad de un evento está dada por la relación entre los resultados favorables y el número total de resultados posibles. ^[2]

En estadística, las probabilidades son una expresión de probabilidades relativas, generalmente citadas como probabilidades a favor . Las probabilidades (a favor) de un evento o una proposición es la razón de la probabilidad de que el evento suceda a la probabilidad de que el evento no suceda. Matemáticamente, este es un ensayo de Bernoulli , ya que tiene exactamente dos resultados. En el caso de un espacio muestral finito de resultados igualmente probables , esta es la razón del número de resultados donde el evento ocurre al número de resultados donde el evento no ocurre; estos pueden representarse como W y L (para victorias y derrotas) o S y F (para éxito y fracaso). Por ejemplo, las probabilidades de que un día de la semana elegido al azar sea durante un fin de semana son de dos a cinco (2:5), ya que los días de la semana forman un espacio muestral de siete resultados, y el evento ocurre para dos de los resultados (sábado y domingo), y no para los otros cinco. ^{[3] [4]} Por el contrario, si las probabilidades se dan como una proporción de números enteros, esto se puede representar mediante un espacio de probabilidad de un número finito de resultados igualmente probables. Estas definiciones son equivalentes, ya que al dividir ambos términos de la proporción por el número de resultados se obtienen las probabilidades: Por el contrario, las probabilidades en contra son la proporción opuesta. Por ejemplo, las probabilidades en contra de que un día aleatorio de la semana sea durante un fin de semana son 5:2.${\displaystyle 2:5=(2/7):(5/7).}$

Las probabilidades y las probabilidades se pueden expresar en prosa mediante las preposiciones to y in: "odds of so many to so many on (or against) [some event]" se refiere a odds (la relación entre el número de resultados (igualmente probables) a favor y en contra (o viceversa); "chances of so many [outcomes], in so many [outcomes]" se refiere a probability (la cantidad de resultados (igualmente probables) a favor en relación con la cantidad combinada de pro y contra). Por ejemplo, "odds of a weekend are 2 to 5", mientras que "chances of a weekend are 2 on 7". En el uso informal, las palabras odds y chances (o chance ) se usan a menudo indistintamente para indicar vagamente alguna medida de probabilidades o probabilidad, aunque el significado pretendido se puede deducir al notar si la preposición entre los dos números es to o in . ^{[5] [6] [7]}

Las probabilidades se pueden expresar como una razón de dos números, en cuyo caso no es única: escalar ambos términos por el mismo factor no cambia las proporciones: las probabilidades 1:1 y las probabilidades 100:100 son las mismas (probabilidades pares). Las probabilidades también se pueden expresar como un número, dividiendo los términos en la razón; en este caso es única (diferentes fracciones pueden representar el mismo número racional ). Las probabilidades como razón, las probabilidades como un número y la probabilidad (también un número) están relacionadas por fórmulas simples, y de manera similar las probabilidades a favor y las probabilidades en contra, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso tienen relaciones simples. Las probabilidades varían de 0 a infinito, mientras que las probabilidades varían de 0 a 1, y por lo tanto a menudo se representan como un porcentaje entre 0% y 100%: invertir la razón cambia las probabilidades a favor con las probabilidades en contra, y de manera similar la probabilidad de éxito con la probabilidad de fracaso.

Dadas las probabilidades (a favor) como la relación W:L (número de resultados que son victorias:número de resultados que son derrotas), las probabilidades a favor (como un número) y las probabilidades en contra (como un número) se pueden calcular simplemente dividiendo, y son inversas multiplicativas :${\displaystyle o_{f}}$$estilo de visualización o_{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}$

De manera análoga, si se dan las probabilidades como una razón, la probabilidad de éxito p o de fracaso q se puede calcular dividiendo, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman la unidad (uno), ya que son los únicos resultados posibles. En el caso de un número finito de resultados igualmente probables, esto se puede interpretar como el número de resultados en los que ocurre el evento dividido por el número total de eventos:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}$

Dada una probabilidad p, las probabilidades como proporción son (probabilidad de éxito a probabilidad de fracaso), y las probabilidades como números se pueden calcular dividiendo:${\estilo de visualización p:q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}$

Por el contrario, dadas las probabilidades como un número, esto se puede representar como la relación o, viceversa, a partir de la cual se puede calcular la probabilidad de éxito o fracaso:${\displaystyle o_{f},}$${\displaystyle o_{f}:1,}$${\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si se expresa como una fracción con un numerador de 1, la probabilidad y las probabilidades difieren exactamente en 1 en el denominador: una probabilidad de 1 en 100 (1/100 = 1%) es lo mismo que una probabilidad de 1 a 99 (1/99 = 0,0101... = 0,01 ) , mientras que una probabilidad de 1 a 100 (1/100 = 0,01) es lo mismo que una probabilidad de 1 en 101 (1/101 = 0,00990099... = 0,0099 ) . Esta es una diferencia menor si la probabilidad es pequeña (cercana a cero, o "probabilidades altas"), pero es una diferencia importante si la probabilidad es grande (cercana a uno).

Estos se calculan a partir de algunas probabilidades simples:

probabilidades (ratio)	${\displaystyle o_{f}}$	$estilo de visualización o_{a}}$	${\estilo de visualización p}$	${\estilo de visualización q}$
1:1	1	1	50%	50%
0:1	0	∞	0%	100%
1:0	∞	0	100%	0%
2:1	2	0,5	66,66 %​	33,33 %​
1:2	0,5	2	33,33 %​	66,66 %​
4:1	4	0,25	80%	20%
1:4	0,25	4	20%	80%
9:1	9	0.1​	90%	10%
10:1	10	0,1	90. 90 %	9,09 %​
99:1	99	0.01​	99%	1%
100:1	100	0,01	99,0099 %​	0,9900 %​

Estas transformaciones tienen ciertas propiedades geométricas especiales: las conversiones entre probabilidades a favor y probabilidades en contra (resp. probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso) y entre probabilidades y probabilidad son todas transformaciones de Möbius (transformaciones lineales fraccionarias). Por lo tanto, se especifican mediante tres puntos ( claramente 3-transitivas ). Intercambiar probabilidades a favor y probabilidades en contra intercambia 0 e infinito, fijando 1, mientras que intercambiar probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso intercambia 0 y 1, fijando .5; ambas son de orden 2, por lo tanto transformaciones circulares . Convertir probabilidades en probabilidad fija 0, envía infinito a 1 y envía 1 a .5 (las probabilidades pares son 50% probables), y a la inversa; esta es una transformada parabólica .

En teoría de probabilidad y estadística, las probabilidades y razones similares pueden ser más naturales o más convenientes que las probabilidades. En algunos casos se utilizan las probabilidades logarítmicas , que es el logit de la probabilidad. En términos más simples, las probabilidades se multiplican o dividen con frecuencia, y el logaritmo convierte la multiplicación en suma y la división en resta. Esto es particularmente importante en el modelo logístico , en el que las probabilidades logarítmicas de la variable objetivo son una combinación lineal de las variables observadas.

En otras partes de la estadística se utilizan razones similares; de importancia central es la razón de verosimilitud en la estadística verosimilitudista , que se utiliza en la estadística bayesiana como el factor de Bayes .

Las probabilidades son particularmente útiles en problemas de toma de decisiones secuenciales, como por ejemplo en problemas de cómo detenerse (en línea) en un último evento específico que se resuelve mediante el algoritmo de probabilidades .

Las probabilidades son una relación de probabilidades; una razón de probabilidades es una relación de probabilidades, es decir, una relación de razones de probabilidades. Las razones de probabilidades se utilizan a menudo en el análisis de ensayos clínicos . Si bien tienen propiedades matemáticas útiles, pueden producir resultados contraintuitivos : un evento con una probabilidad del 80% de ocurrir es cuatro veces más probable que suceda que un evento con una probabilidad del 20%, pero las probabilidades son 16 veces mayores en el evento menos probable (4–1 contra , o 4) que en el más probable (1–4, o 4–1 en , o 0,25).

Ejemplo #1

Hay 5 canicas rosas, 2 canicas azules y 8 canicas moradas. ¿Cuáles son las probabilidades de elegir una canica azul?

Respuesta: Las probabilidades a favor de una canica azul son 2:13. Se puede decir, de manera equivalente, que las probabilidades son 13:2 en contra . Hay 2 de 15 probabilidades a favor de una canica azul y 13 de 15 en contra.

En teoría de probabilidad y estadística , donde la variable p es la probabilidad a favor de un evento binario, y la probabilidad en contra del evento es por lo tanto 1- p , las "probabilidades" del evento son el cociente de las dos, o . Ese valor puede considerarse como la probabilidad relativa de que el evento ocurra, expresada como una fracción (si es menor que 1), o un múltiplo (si es igual o mayor que uno) de la probabilidad de que el evento no ocurra.${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$

Ejemplo #2

En el primer ejemplo de la parte superior, decir que las probabilidades de que sea domingo son "de uno a seis" o, menos comúnmente, "de un sexto", significa que la probabilidad de elegir un domingo al azar es un sexto de la probabilidad de no elegir un domingo. Mientras que la probabilidad matemática de un evento tiene un valor en el rango de cero a uno, "las probabilidades" a favor de ese mismo evento se encuentran entre cero e infinito. Las probabilidades en contra del evento con probabilidad dada como p son . Las probabilidades en contra de que sea domingo son 6:1 o 6/1 = 6. Es 6 veces más probable que un día aleatorio no sea domingo.${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$

En una carrera de lanzamiento de moneda o en una carrera de dos caballos que están igualados, es razonable que dos personas apuesten cantidades iguales. Sin embargo, en situaciones más variables, como una carrera de caballos con varios participantes o un partido de fútbol entre dos equipos desiguales, las apuestas "a probabilidades" ofrecen la posibilidad de tener en cuenta las probabilidades respectivas de los posibles resultados. El uso de probabilidades en los juegos de azar facilita las apuestas en eventos en los que las probabilidades de diferentes resultados varían.

En la era moderna, la mayoría de las apuestas con cuotas fijas se realizan entre una organización de apuestas, como una casa de apuestas , y un individuo, en lugar de entre individuos. Han surgido diferentes tradiciones sobre cómo expresar las cuotas a los clientes.

Favorecidas por las casas de apuestas en el Reino Unido e Irlanda , y también comunes en las carreras de caballos , las probabilidades fraccionarias cotizan el total neto que se pagará al apostador, en caso de ganar, en relación con la apuesta. ^[8] Las probabilidades de 4/1 implicarían que el apostador puede obtener una ganancia de £ 400 en una apuesta de £ 100. Si las probabilidades son 1/4, el apostador ganará £ 25 en una apuesta de £ 100. En cualquier caso, después de ganar, el apostador siempre recibe la apuesta original de vuelta; por lo que si las probabilidades son 4/1, el apostador recibe un total de £ 500 (£ 400 más las £ 100 originales). Las probabilidades de 1/1 se conocen como pares o dinero parejo .

El numerador y denominador de las probabilidades fraccionarias suelen ser números enteros , por lo que si el pago de la casa de apuestas fuera de £1,25 por cada £1 apostada, esto equivaldría a £5 por cada £4 apostadas y, por lo tanto, las probabilidades se expresarían como 5/4. Sin embargo, no todas las probabilidades fraccionarias se leen tradicionalmente utilizando el mínimo común denominador . Por ejemplo, dado que existe un patrón de probabilidades de 5/4, 7/4, 9/4, etc., las probabilidades que son matemáticamente 3/2 se comparan más fácilmente si se expresan en la forma equivalente 6/4.

Las probabilidades fraccionarias también se conocen como probabilidades británicas, probabilidades del Reino Unido ^[9] o, en ese país, probabilidades tradicionales . Por lo general, se representan con una "/", pero también se pueden representar con un "-", por ejemplo, 4/1 o 4–1. Las probabilidades con un denominador de 1 a menudo se presentan en los listados solo como numerador. ^{[ cita requerida ]}

Una variación de las cuotas fraccionarias se conoce como cuotas de Hong Kong . Las cuotas fraccionarias y de Hong Kong son intercambiables. La única diferencia es que las cuotas del Reino Unido se presentan como una notación fraccionaria (por ejemplo, 6/5), mientras que las cuotas de Hong Kong son decimales (por ejemplo, 1,2). Ambas muestran el rendimiento neto.

Las cuotas europeas también representan las ganancias potenciales (rentabilidad neta), pero además tienen en cuenta el importe de la apuesta (por ejemplo, 6/5 o 1,2 más 1 = 2,2). ^[10]

Las probabilidades decimales , muy populares en Europa continental , Australia , Nueva Zelanda , Canadá y Singapur , indican la relación entre el monto del pago, incluida la apuesta original, y la apuesta en sí. Por lo tanto, las probabilidades decimales de un resultado son equivalentes al valor decimal de las probabilidades fraccionarias más uno. ^[11] Por lo tanto, las probabilidades pares de 1/1 se indican en probabilidades decimales como 2,00. Las probabilidades fraccionarias de 4/1 analizadas anteriormente se indican como 5,00, mientras que las probabilidades de 1/4 se indican como 1,25. Esto se considera ideal para las apuestas combinadas , porque las probabilidades que se pagan son simplemente el producto de las probabilidades de cada resultado apostado. Al observar las probabilidades decimales en términos de apuestas, el perdedor tiene el mayor de los dos decimales, mientras que el favorito tiene el menor de los dos. Para calcular las probabilidades decimales, puede utilizar la ecuación Pago = Apuesta inicial × Valor decimal ^[12] . Por ejemplo, si apuestas 100 € a que el Liverpool le ganará al Manchester City con una cuota de 2,00, el pago, incluida tu apuesta, sería de 200 € (100 € × 2,00). Las casas de apuestas prefieren las cuotas decimales porque son las más fáciles de usar para hacer trading, ya que reflejan la inversa de la probabilidad de un resultado. ^[13] Por ejemplo, una cuota cotizada de 5,00 equivale a una probabilidad de 1 / 5,00, es decir, 0,20 o 20 %.

Las cuotas decimales también se conocen como cuotas europeas , cuotas digitales o cuotas continentales. ^[9]

Las casas de apuestas estadounidenses prefieren las cuotas de Moneyline. La cifra que se indica es positiva o negativa.

• Cuando las probabilidades de la línea de dinero son positivas, la cifra indica las ganancias netas de una apuesta de $100 (esto se hace para un resultado que se considera menos probable que ocurra que no). Por ejemplo, las ganancias netas de 4/1 se cotizarían como +400.
• Cuando las probabilidades de la línea de dinero son negativas, la cifra indica cuánto dinero se debe apostar para obtener una ganancia neta de $100 (esto se hace para un resultado que se considera más probable que ocurra que no). Por ejemplo, una ganancia neta de 1/4 se cotizaría como −400.

Las probabilidades de línea de dinero a menudo se denominan probabilidades americanas . Una apuesta "de línea de dinero" se refiere a las probabilidades del resultado directo de un juego sin tener en cuenta un margen de puntos . En la mayoría de los casos, el favorito tendrá probabilidades de línea de dinero negativas (menos ganancias para una apuesta más segura) y el perdedor tendrá probabilidades de línea de dinero positivas (más ganancias para una apuesta arriesgada). Sin embargo, si los equipos están igualados, ambos equipos pueden tener una línea negativa al mismo tiempo (por ejemplo, −110 −110 o −105 −115), debido a la comisión de la casa.

Las probabilidades al por mayor son las "probabilidades reales" o el 100 % de probabilidad de que ocurra un evento. Esta probabilidad del 100 % se muestra sin ningún margen de beneficio de la casa de apuestas , a menudo denominado " overround " incorporado de la casa de apuestas.

Un índice de "cuotas mayoristas" es un índice de todos los precios en un mercado probabilístico que opera con una competitividad del 100% y se muestra sin ningún margen de beneficio considerado para los participantes del mercado.

En los juegos de azar, las probabilidades que se muestran no representan las posibilidades reales (como las imagina el corredor de apuestas) de que el evento ocurra o no, sino que son la cantidad que el corredor de apuestas pagará por una apuesta ganadora, junto con la apuesta requerida. Al formular las probabilidades que se muestran, el corredor de apuestas habrá incluido un margen de beneficio que, en la práctica, significa que el pago a un apostador exitoso es menor que el representado por la probabilidad real de que ocurra el evento. Esta ganancia se conoce como "overround" en el "libro" (el "libro" se refiere al libro de contabilidad antiguo en el que se registraban las apuestas, y es la derivación del término "corredor de apuestas") y se relaciona con la suma de las "probabilidades" de la siguiente manera:

En una carrera de 3 caballos, por ejemplo, las probabilidades reales de que cada uno de los caballos gane en función de sus habilidades relativas pueden ser del 50%, 40% y 10%. La suma de estos tres porcentajes es del 100%, lo que representa una "apuesta" justa. Las probabilidades reales de que cada uno de los tres caballos no gane son 1-1, 3-2 y 9-1, respectivamente.

Para generar un beneficio sobre las apuestas aceptadas, la casa de apuestas puede decidir aumentar los valores a 60%, 50% y 20% para los tres caballos, respectivamente. Esto representa las probabilidades en contra de cada uno, que son 4-6, 1-1 y 4-1, en orden. Estos valores ahora suman 130%, lo que significa que la casa de apuestas tiene un overround de 30 (130-100). Este valor de 30 representa la cantidad de beneficio para la casa de apuestas si consigue apuestas en buenas proporciones en cada uno de los caballos. Por ejemplo, si toma £60, £50 y £20 de apuestas, respectivamente, para los tres caballos, recibe £130 en apuestas pero solo paga £100 de vuelta (incluyendo las apuestas), sea cual sea el caballo que gane. Y el valor esperado de su beneficio es positivo incluso si todos apuestan por el mismo caballo. El arte de las apuestas consiste en fijar las probabilidades lo suficientemente bajas como para tener un valor esperado de beneficio positivo, manteniendo las probabilidades lo suficientemente altas para atraer clientes y, al mismo tiempo, atraer suficientes apuestas para cada resultado para reducir su exposición al riesgo.

Un estudio sobre apuestas de fútbol concluyó que la probabilidad de que el equipo local gane era, en general, un 3,4 % menor que el valor calculado a partir de las cuotas (por ejemplo, un 46,6 % para cuotas iguales). Era un 3,7 % menor para las victorias de los visitantes y un 5,7 % menor para los empates. ^[14]

Para entender las probabilidades de la ruleta y calcularlas, es necesario conocer la fórmula. Se toman los números a los que se apuesta y se dividen por la cantidad total de números de la ruleta (según la versión del juego que se tenga). Luego se multiplica por 100. ^[15]

Para obtener ganancias en los juegos de azar es necesario predecir la relación entre las probabilidades reales y las probabilidades de pago. Los apostadores deportivos profesionales y semiprofesionales suelen recurrir a servicios de información deportiva para lograr este objetivo.

Las cuotas o cantidades que pagará la casa de apuestas se determinan en función de la cantidad total que se haya apostado en todos los eventos posibles. Reflejan el saldo de las apuestas en ambos lados del evento e incluyen la deducción de la comisión de intermediación de la casa de apuestas ("vig" o vigorish ).

Además, dependiendo de cómo se vean afectadas las apuestas por la jurisdicción, pueden estar sujetos a impuestos para la casa de apuestas y/o el jugador ganador. Esto puede tenerse en cuenta al ofrecer las cuotas y/o puede reducir la cantidad ganada por un jugador.

• Razón de probabilidades
• Algoritmo de probabilidades
• Tablero de Galton
• Matemáticas del juego
• Especificación matemática formal de la regresión logística
• Parada óptima
• Apuestas mutuas
• Predicciones estadísticas de fútbol