Automorfismos de los grupos simétricos y alternados

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , los automorfismos y automorfismos externos de los grupos simétricos y los grupos alternados son ejemplos estándar de estos automorfismos y objetos de estudio por derecho propio, particularmente el excepcional automorfismo externo de S ₆ , el grupo simétrico de 6 elementos.

${\estilo de visualización n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _ {n})}$	${\displaystyle \operatorname {Salida} (\mathrm {S} _{n})}$
${\displaystyle n\neq 2,6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$
${\estilo de visualización n=2}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$
${\estilo de visualización n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$[1]	${\displaystyle \mathrm {C} _ {2}}$

${\estilo de visualización n}$	${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _ {n})}$	${\displaystyle \operatorname {Salida} (\mathrm {A} _{n})}$
${\displaystyle n\geq 4,n\neq 6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {2}}$
${\estilo de visualización n=1,2}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$
${\estilo de visualización n=3}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {2}}$	${\displaystyle \mathrm {C} _ {2}}$
${\estilo de visualización n=6}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$	${\displaystyle \mathrm {V} =\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$

• ${\displaystyle n\neq 2,6}$: , y por lo tanto .${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Fuera} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}}$

Formalmente, es completo y el mapa natural es un isomorfismo.${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})}$

• ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$: , y el automorfismo externo es la conjugación por una permutación impar .${\displaystyle \operatorname {Fuera} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n\neq 2,3,6}$:${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _ {n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _ {n})=\mathrm {S} _ {n}}$

De hecho, los mapas naturales son isomorfismos.${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$

• ${\estilo de visualización n=1,2}$: trivial:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{ 1})=\operatorname {Fuera} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{ 2})=\operatorname {Fuera} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}}$

• ${\estilo de visualización n=3}$:${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm { A} _{3} = \ mathrm {C} _{2}}$
• ${\estilo de visualización n=6}$: , y es un producto semidirecto .${\displaystyle \operatorname {Fuera} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: , y${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.}$

Entre los grupos simétricos, sólo S ₆ tiene un automorfismo externo no trivial, que se puede llamar excepcional (en analogía con las álgebras de Lie excepcionales ) o exótico . De hecho, Out(S ₆ ) = C ₂ . ^[2]

Esto fue descubierto por Otto Hölder en 1895. ^{[2] [3]}

La naturaleza específica del automorfismo externo es la siguiente: las 360 permutaciones del subgrupo par (A ₆ ) se transforman entre sí:

• la única permutación de identidad se asigna a sí misma;
• un 3-ciclo como (1 2 3) se asigna al producto de dos 3-ciclos como (1 4 5)(2 6 3) y viceversa, lo que representa 40 permutaciones en cada sentido;
• un ciclo de 5 como (1 2 3 4 5) se asigna a otro ciclo de 5 como (1 3 6 5 2), lo que representa 144 permutaciones;
• el producto de dos 2-ciclos como (1 2)(3 4) se asigna a otro producto de dos 2-ciclos como (3 5)(4 6), lo que representa 45 permutaciones;
• el producto de un ciclo de 2 y un ciclo de 4 como (1 2 3 4)(5 6) se asigna a otra permutación como (1 4 2 6)(3 5), lo que explica las 90 permutaciones restantes.

Y la parte extraña también se conserva:

• un 2-ciclo como (1 2) se asigna al producto de tres 2-ciclos como (1 2)(3 4)(5 6) y viceversa, habiendo 15 permutaciones en cada sentido;
• el producto de un ciclo 2 y un ciclo 3 como (1 2 3)(4 5) se asigna a un ciclo 6 como (1 2 5 3 4 6) y viceversa, lo que representa 120 permutaciones en cada sentido;
• Un ciclo de 4 como (1 2 3 4) se asigna a otro ciclo de 4 como (1 6 2 4), lo que explica las 90 permutaciones restantes.

De esta manera, se tienen en cuenta las 720 permutaciones de 6 elementos. El automorfismo externo no preserva la estructura del ciclo en general, ya que asigna algunos ciclos individuales al producto de dos o tres ciclos y viceversa.

Esto también produce otro automorfismo externo de A ₆ , y este es el único automorfismo externo excepcional de un grupo simple finito: ^[4] para las familias infinitas de grupos simples, hay fórmulas para el número de automorfismos externos, y se esperaría que el grupo simple de orden 360, pensado como A ₆ , tuviera dos automorfismos externos, no cuatro. Sin embargo, cuando A ₆ se ve como PSL(2, 9) el grupo de automorfismos externos tiene el orden esperado. (Para los grupos esporádicos , es decir, aquellos que no caen en una familia infinita, la noción de automorfismo externo excepcional está mal definida, ya que no hay una fórmula general).

Existen numerosas construcciones, enumeradas en (Janusz y Rotman 1982).

Nótese que, como automorfismo externo, es una clase de automorfismos, bien determinada solo hasta un automorfismo interno, por lo tanto, no hay uno natural para escribir.

Un método es:

• Construir un mapa exótico (incrustación) S ₅  → S ₆ ; ver abajo
• S ₆ actúa por conjugación sobre los seis conjugados de este subgrupo, dando como resultado una función S ₆  → S _X , donde X es el conjunto de conjugados. Identificar X con los números 1, ..., 6 (que depende de una elección de numeración de los conjugados, es decir, hasta un elemento de S ₆ (un automorfismo interno)) da como resultado un automorfismo externo S ₆  → S ₆ .
• Este mapa es un automorfismo externo, ya que una transposición no se asigna a una transposición, pero los automorfismos internos preservan la estructura del ciclo.

A lo largo de lo que sigue, se puede trabajar con la acción de multiplicación sobre clases laterales o con la acción de conjugación sobre conjugados.

Para ver que S ₆ tiene un automorfismo externo, recordemos que los homomorfismos de un grupo G a un grupo simétrico S _n son esencialmente los mismos que las acciones de G sobre un conjunto de n elementos, y el subgrupo que fija un punto es entonces un subgrupo de índice como máximo n en G . Por el contrario, si tenemos un subgrupo de índice n en G , la acción sobre las clases laterales da una acción transitiva de G sobre n puntos, y por lo tanto un homomorfismo a S _n .

Antes de entrar en construcciones matemáticamente más rigurosas, es útil entender una construcción sencilla.

Tomemos un grafo completo con 6 vértices, K ₆ . Tiene 15 aristas, que pueden dividirse en emparejamientos perfectos de 15 maneras diferentes, siendo cada emparejamiento perfecto un conjunto de tres aristas de las cuales ninguna de las dos comparte un vértice. Es posible encontrar un conjunto de 5 emparejamientos perfectos a partir del conjunto de 15 de manera que ninguna de las dos coincidencias comparta una arista, y que entre ellas incluya las 5 × 3 = 15 aristas del grafo; esta factorización del grafo puede realizarse de 6 maneras diferentes.

Consideremos una permutación de los 6 vértices y observemos su efecto en las 6 factorizaciones diferentes. Obtenemos una función de 720 permutaciones de entrada a 720 permutaciones de salida. Esa función es precisamente el automorfismo externo de S ₆ .

Al ser un automorfismo, el mapa debe preservar el orden de los elementos, pero a diferencia de los automorfismos internos , no preserva la estructura del ciclo, lo que indica que debe ser un automorfismo externo . Por ejemplo, un 2-ciclo se mapea a un producto de tres 2-ciclos; es fácil ver que un 2-ciclo afecta a todas las 6 factorizaciones del grafo de alguna manera y, por lo tanto, no tiene puntos fijos cuando se ve como una permutación de factorizaciones. El hecho de que sea posible construir este automorfismo depende de una gran cantidad de coincidencias numéricas que se aplican solo a n = 6 .

Hay un subgrupo (de hecho, 6 subgrupos conjugados) de S ₆ que es abstractamente isomorfo a S ₅ , pero que actúa transitivamente como subgrupos de S ₆ en un conjunto de 6 elementos. (La imagen de la función obvia S _n  → S _{n +1} fija un elemento y, por lo tanto, no es transitiva).

Janusz y Rotman lo construyen así:

• S ₅ actúa transitivamente por conjugación en el conjunto de sus 6 subgrupos de Sylow 5 , produciendo una incrustación S ₅  → S ₆ como un subgrupo transitivo de orden 120.

Esto se desprende de la inspección de 5-ciclos: cada 5-ciclo genera un grupo de orden 5 (por lo tanto, un subgrupo de Sylow), hay 5!/5 = 120/5 = 24 5-ciclos, lo que produce 6 subgrupos (ya que cada subgrupo también incluye la identidad), y S _n actúa transitivamente por conjugación en el conjunto de ciclos de una clase dada, por lo tanto, transitivamente por conjugación en estos subgrupos.

Alternativamente, se podrían utilizar los teoremas de Sylow, que establecen en general que todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados.

El grupo lineal proyectivo de dimensión dos sobre el cuerpo finito de cinco elementos, PGL(2, 5), actúa sobre la recta proyectiva sobre el cuerpo de cinco elementos, P ¹ ( F ₅ ), que tiene seis elementos. Además, esta acción es fiel y 3- transitiva , como siempre es el caso de la acción del grupo lineal proyectivo sobre la recta proyectiva. Esto produce una función PGL(2, 5) → S ₆ como subgrupo transitivo. Identificando PGL(2, 5) con S ₅ y el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 5) con A ₅ se obtienen las funciones exóticas deseadas S ₅  → S ₆ y A ₅  → A ₆ . ^[5]

Siguiendo la misma filosofía, se puede realizar el automorfismo externo como las siguientes dos acciones inequivalentes de S ₆ sobre un conjunto con seis elementos: ^[6]

• la acción habitual como grupo de permutación;
• las seis estructuras no equivalentes de un conjunto abstracto de 6 elementos como la línea proyectiva P ¹ ( F ₅ ): la línea tiene 6 puntos y el grupo lineal proyectivo actúa de manera 3-transitiva, por lo que al fijar 3 de los puntos, hay 3! = 6 formas diferentes de organizar los 3 puntos restantes, lo que produce la acción alternativa deseada.

Otra forma: para construir un automorfismo externo de S ₆ , necesitamos construir un subgrupo "inusual" de índice 6 en S ₆ , en otras palabras, uno que no sea uno de los seis subgrupos obvios de S ₅ que fijan un punto (que simplemente corresponden a automorfismos internos de S ₆ ).

El grupo de Frobenius de transformaciones afines de F ₅ (mapas donde a  ≠ 0) tiene orden 20 = (5 − 1) · 5 y actúa sobre el campo con 5 elementos, por lo tanto es un subgrupo de S ₅ . (De hecho, es el normalizador de un grupo de Sylow 5 mencionado anteriormente, considerado como el grupo de orden 5 de traslaciones de  F ₅ .)${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

S ₅ actúa transitivamente sobre el espacio clase-coset, que es un conjunto de 120/20 = 6 elementos (o por conjugación, lo que produce la acción anterior).

Ernst Witt encontró una copia de Aut(S ₆ ) en el grupo de Mathieu M ₁₂ (un subgrupo T isomorfo a S ₆ y un elemento σ que normaliza a T y actúa por automorfismo externo). De manera similar a que S ₆ actúa sobre un conjunto de 6 elementos de 2 maneras diferentes (tiene un automorfismo externo), M ₁₂ actúa sobre un conjunto de 12 elementos de 2 maneras diferentes (tiene un automorfismo externo), aunque como M ₁₂ es en sí mismo excepcional, no se considera que este automorfismo externo sea excepcional en sí mismo.

El grupo de automorfismo completo de A ₆ aparece naturalmente como un subgrupo maximal del grupo de Mathieu M ₁₂ de dos maneras: como un subgrupo que fija una división de los 12 puntos en un par de conjuntos de 6 elementos o como un subgrupo que fija un subconjunto de 2 puntos.

Otra forma de ver que S ₆ tiene un automorfismo externo no trivial es usar el hecho de que A ₆ es isomorfo a PSL ₂ (9), cuyo grupo de automorfismo es el grupo semilineal proyectivo PΓL ₂ (9), en el que PSL ₂ (9) es de índice 4, produciendo un grupo de automorfismo externo de orden 4. La forma más visual de ver este automorfismo es dar una interpretación mediante geometría algebraica sobre cuerpos finitos, de la siguiente manera. Considere la acción de S ₆ en el 6-espacio afín sobre el cuerpo k con 3 elementos. Esta acción preserva varias cosas: el hiperplano H en el que las coordenadas suman 0, la línea L en H donde coinciden todas las coordenadas y la forma cuadrática q dada por la suma de los cuadrados de las 6 coordenadas. La restricción de q a H tiene línea de defecto L , por lo que hay una forma cuadrática inducida Q en el H / L de 4 dimensiones que se verifica que no es degenerada ni dividida. El esquema cero de Q en H / L define una superficie cuadrática suave X en el 3-espacio proyectivo asociado sobre k . Sobre un cierre algebraico de k , X es un producto de dos líneas proyectivas, por lo que por un argumento de descenso X es la restricción de Weil a k de la línea proyectiva sobre un álgebra étale cuadrática K . Dado que Q no está dividido sobre k , un argumento auxiliar con grupos ortogonales especiales sobre k obliga a K a ser un cuerpo (en lugar de un producto de dos copias de k ). La S ₆ -acción natural sobre todo lo que está a la vista define una función de S ₆ al grupo de k -automorfismos de X , que es el producto semidirecto G de PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) contra la involución de Galois. Este mapa lleva al grupo simple A ₆ de manera no trivial al subgrupo PSL ₂ (9) de índice 4 en el producto semidirecto G , por lo que S ₆ se identifica como un subgrupo de índice 2 de G (es decir, el subgrupo de G generado por PSL ₂(9) y la involución de Galois). La conjugación por cualquier elemento de G fuera de S ₆ define el automorfismo externo no trivial de S ₆ .

En los ciclos, intercambia permutaciones de tipo (12) con (12)(34)(56) (clase 2 ¹ con clase 2 ³ ), y de tipo (123) con (145)(263) (clase 3 ¹ con clase 3 ² ). El automorfismo externo también intercambia permutaciones de tipo (12)(345) con (123456) (clase 2 ¹ 3 ¹ con clase 6 ¹ ). Para cada uno de los otros tipos de ciclo en S ₆ , el automorfismo externo fija la clase de permutaciones del tipo de ciclo.

En A ₆ , intercambia los 3-ciclos (como (123)) con elementos de la clase 3 ² (como (123)(456)).

Para ver que ninguno de los otros grupos simétricos tiene automorfismos externos, es más fácil proceder en dos pasos:

1. En primer lugar, demuestre que cualquier automorfismo que preserva la clase de conjugación de las transposiciones es un automorfismo interno. (Esto también demuestra que el automorfismo externo de S ₆ es único; véase más abajo). Nótese que un automorfismo debe enviar cada clase de conjugación (caracterizada por la estructura cíclica que comparten sus elementos) a una clase de conjugación (posiblemente diferente).
2. En segundo lugar, demuestre que cada automorfismo (excepto el anterior para S ₆ ) estabiliza la clase de transposiciones.

Esto último se puede demostrar de dos maneras:

• Para cada grupo simétrico distinto de S ₆ , no existe otra clase de conjugación compuesta por elementos de orden 2 que tenga el mismo número de elementos que la clase de transposiciones.
• O de la siguiente manera:

Cada permutación de orden dos (llamada involución ) es un producto de k > 0 transposiciones disjuntas, por lo que tiene estructura cíclica 2 ^k 1 ^{n −2 k} . ¿Qué tiene de especial la clase de transposiciones ( k = 1)?

Si se forma el producto de dos transposiciones distintas τ ₁ y τ ₂ , entonces siempre se obtiene un 3-ciclo o una permutación de tipo 2 ² 1 ^{n −4} , por lo que el orden del elemento producido es 2 o 3. Por otro lado, si se forma el producto de dos involuciones distintas σ ₁ , σ ₂ de tipo k > 1 , entonces siempre que n ≥ 7 , siempre es posible producir un elemento de orden 6, 7 o 4, de la siguiente manera. Podemos disponer que el producto contenga

• dos ciclos de 2 y un ciclo de 3 (para k = 2 y n ≥ 7)
• un ciclo de 7 (para k = 3 y n ≥ 7)
• dos ciclos de 4 (para k = 4 y n ≥ 8)

Para k ≥ 5, agregamos a las permutaciones σ ₁ , σ ₂ del último ejemplo 2-ciclos redundantes que se cancelan entre sí, y aún obtenemos dos 4-ciclos.

Ahora llegamos a una contradicción, porque si la clase de transposiciones se envía vía el automorfismo f a una clase de involuciones que tiene k > 1, entonces existen dos transposiciones τ ₁ , τ ₂ tales que f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) tiene orden 6, 7 o 4, pero sabemos que τ ₁ τ ₂ tiene orden 2 o 3.

S ₆ tiene exactamente una (clase) de automorfismos externos: Out(S ₆ ) = C ₂ .

Para ver esto, observe que solo hay dos clases de conjugación de S ₆ de tamaño 15: las transposiciones y las de clase 2 ³ . Cada elemento de Aut(S ₆ ) o bien conserva cada una de estas clases de conjugación, o bien las intercambia. Cualquier representante del automorfismo externo construido anteriormente intercambia las clases de conjugación, mientras que un subgrupo de índice 2 estabiliza las transposiciones. Pero un automorfismo que estabiliza las transposiciones es interno, por lo que los automorfismos internos forman un subgrupo de índice 2 de Aut(S ₆ ), por lo que Out(S ₆ ) = C ₂ .

En términos más concisos: un automorfismo que estabiliza las transposiciones es interno, y solo hay dos clases de conjugación de orden 15 (transposiciones y transposiciones triples), por lo tanto, el grupo de automorfismos externos es como máximo de orden 2.

Para n = 2, S ₂  = C ₂  =  Z /2 y el grupo de automorfismos es trivial (obviamente, pero más formalmente porque Aut( Z /2) = GL(1,  Z /2) =  Z /2 ^*  = C ₁ ). Por lo tanto, el grupo de automorfismos internos también es trivial (también porque S ₂ es abeliano).

Para n = 1 y 2, A ₁  = A ₂  = C ₁ es trivial, por lo que el grupo de automorfismos también es trivial. Para n  = 3, A ₃  = C ₃  =  Z /3 es abeliano (y cíclico): el grupo de automorfismos es GL(1,  Z /3 ^* ) = C ₂ , y el grupo de automorfismos interno es trivial (porque es abeliano).

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• Algunas reflexiones sobre el número 6, de John Baez: relaciona el automorfismo externo con el icosaedro regular
• "12 puntos en PG(3, 5) con 95040 autotransformaciones" en "La belleza de la geometría", de Coxeter: analiza el automorfismo externo en las primeras 2 páginas
• Janusz, Gerald; Rotman, Joseph (junio-julio de 1982), "Automorfismos externos de S ₆ ", The American Mathematical Monthly , 89 (6): 407–410, doi :10.2307/2321657, JSTOR  2321657
• Fournelle, Thomas A. (1 de enero de 1993), "Simetrías del cubo y automorfismos externos de S ₆ ", The American Mathematical Monthly , 100 (4): 377–380, doi :10.2307/2324961, JSTOR  2324961
• Lorimer, PJ (1 de enero de 1966), "Los automorfismos externos de S ₆ ", The American Mathematical Monthly , 73 (6): 642–643, doi :10.2307/2314806, JSTOR  2314806
• Miller, Donald W. (1 de enero de 1958), "Sobre un teorema de Hölder", The American Mathematical Monthly , 65 (4): 252–254, doi :10.2307/2310241, JSTOR  2310241