Árbol browniano

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En teoría de la probabilidad , el árbol browniano , o árbol de Aldous , o árbol aleatorio continuo (CRT) ^{[1] es un} árbol real aleatorio que se puede definir a partir de una excursión browniana . El árbol browniano fue definido y estudiado por David Aldous en tres artículos publicados en 1991 y 1993. Desde entonces, este árbol se ha generalizado.

Este árbol aleatorio tiene varias definiciones y construcciones equivalentes: ^[2] utilizando subárboles generados por un número finito de hojas, utilizando una excursión browniana, Poisson separando una línea recta o como límite de árboles de Galton-Watson.

Intuitivamente, el árbol browniano es un árbol binario cuyos nodos (o puntos de ramificación) son densos en el árbol; es decir, para dos puntos distintos del árbol, siempre existirá un nodo entre ellos. Es un objeto fractal que puede aproximarse con computadoras ^[3] o mediante procesos físicos con estructuras dendríticas .

Las siguientes definiciones son diferentes caracterizaciones de un árbol browniano, tomadas de los tres artículos de Aldous. ^{[4] [5] [6]} Las nociones de hoja, nodo, rama, raíz son las nociones intuitivas sobre un árbol (para más detalles, consulte árboles reales ).

Esta definición proporciona las leyes de dimensión finita de los subárboles generados por un número finito de hojas.

Consideremos el espacio de todos los árboles binarios con hojas numeradas de a . Estos árboles tienen aristas con longitudes . Un árbol se define entonces por su forma (es decir, el orden de los nodos) y las longitudes de las aristas. Definimos una ley de probabilidad de una variable aleatoria en este espacio mediante: ^{[ aclaración necesaria ]}${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización 2k-1}$${\displaystyle (\ell _{1},\puntos ,\ell _{2k-1})\in \mathbb {R} _{+}^{2k-1}}$${\estilo de visualización \tau}$ ${\displaystyle \mathbb {P}}$${\displaystyle (T,(L_{i})_{1\leq i\leq 2k-1})}$

${\displaystyle \mathbb {P} (T=\tau \,,\,L_{i}\in [\ell _{i},\ell _{i}+d\ell _{i}],\forall 1\leq i\leq 2k-1)=s\exp(-s^{2}/2)\,d\ell _{1}\ldots d\ell _{2k-1}}$

dónde .${\displaystyle \textstyle s=\sum \ell _ {i}}$

En otras palabras, no depende de la forma del árbol, sino de la suma total de las longitudes de todos los bordes.${\displaystyle \mathbb {P}}$

En otras palabras, el árbol browniano se define a partir de las leyes de todos los subárboles finitos que se pueden generar a partir de él.

El árbol browniano es un árbol real definido a partir de una excursión browniana (ver caracterización 4 en Árbol real ).

Sea una excursión browniana. Defina una pseudométrica con${\displaystyle e=(e(x),0\leq x\leq 1)}$ ${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización [0,1]}$

${\displaystyle d(x,y):=e(x)+e(y)-2\min {\big \{}e(z)\,;z\in [x,y]{\big \}},}$Para cualquiera${\displaystyle x,y\en [0,1]}$

Definimos entonces una relación de equivalencia , señalada en la cual se relacionan todos los puntos tales que .${\displaystyle \sim _{e}}$${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización x,y}$${\displaystyle d(x,y)=0}$

${\displaystyle x\sim _ {e}y\Leftrightarrow d(x,y)=0.}$

${\estilo de visualización d}$es entonces una distancia en el espacio cociente . ${\displaystyle [0,1]\,/\!\sim _ {e}}$

Es costumbre considerar la excursión más que .${\estilo de visualización e/2}$${\estilo de visualización e}$

Esto también se llama construcción rompe palos .

Consideremos un proceso puntual de Poisson no homogéneo N con intensidad . En otras palabras, para cualquier , es una variable de Poisson con parámetro . Sean los puntos de . Entonces las longitudes de los intervalos son variables exponenciales con medias decrecientes. Realizamos entonces la siguiente construcción:${\displaystyle r(t)=t}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle N_{t}}$${\displaystyle t^{2}}$${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots }$${\displaystyle N}$${\displaystyle [C_{i},C_{i+1}]}$

• ( inicialización ) El primer paso es escoger un punto aleatorio uniformemente en el intervalo . Luego pegamos el segmento a (matemáticamente hablando, definimos una nueva distancia). Obtenemos un árbol con una raíz (el punto 0), dos hojas ( y ), así como un punto de ramificación binaria (el punto ).${\displaystyle u}$ ${\displaystyle [0,C_{1}]}$${\displaystyle ]C_{1},C_{2}]}$${\displaystyle u}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle u}$
• ( iteración ) En el paso k , el segmento se pega de manera similar al árbol , en un punto uniformemente aleatorio de .${\displaystyle ]C_{k},C_{k+1}]}$${\displaystyle T_{k-1}}$${\displaystyle T_{k-1}}$

Este algoritmo se puede utilizar para simular numéricamente árboles brownianos.

Consideremos un árbol de Galton-Watson cuya ley de reproducción tiene varianza finita distinta de cero, condicionada a tener nodos. Sea este árbol, con las longitudes de las aristas divididas por . En otras palabras, cada arista tiene longitud . La construcción se puede formalizar considerando el árbol de Galton-Watson como un espacio métrico o utilizando procesos de contorno renormalizados.${\displaystyle n}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {n}}}}$

Aquí, el límite utilizado es la convergencia en distribución de procesos estocásticos en el espacio de Skorokhod (si consideramos los procesos de contorno) o la convergencia en distribución definida a partir de la distancia de Hausdorff (si consideramos los espacios métricos).